中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)和幾何綜合（熱考題型）-解析版

專題02反比例函數(shù)與一次函數(shù)和幾何綜合

【思維導(dǎo)圖】

◎考點(diǎn)題型1一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像綜合判斷

例.（2022?重慶一中八年級(jí)期末）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)＞=Qx+b（ab。0）的圖象與反

比例函數(shù)＞=茲（。6片0）的圖象大致可以是（）

X

【答案】c

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象所在象限，確定出a,6的符號(hào)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限，確定出

a,6的符號(hào)，至此找出一次函數(shù)和反比例函數(shù)a,6的符號(hào)一致的選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A.由一次函數(shù)圖象知a,6異號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知a,6同號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題

思；

B.由一次函數(shù)圖象知a,b同號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知a,6異號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.由一次函數(shù)圖象知a,6異號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知a,6異號(hào)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D.由一次函數(shù)圖象知a,6異號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知a,6同號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于確定出a,6的符號(hào)，明

確系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系.

變式1.（2022?山東青島?八年級(jí)期末）反比例函數(shù)>=與一次函數(shù)了=6-3在同一坐標(biāo)系中的大致圖象

X

可能是（）

【答案】c

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象所處的象

限.

k

【詳解】解：由反比例函數(shù)產(chǎn)與一次函數(shù)支履-3可知，

x

當(dāng)左>0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，一次函數(shù)的圖象通過(guò)一、三、四象限，

當(dāng)人<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，一次函數(shù)的圖象通過(guò)二、三、四象限，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河南南陽(yáng)?八年級(jí)期中）已知加邦，b<0,則下列圖中能正確表示一次函數(shù)尸ZMX+6和反比

例函數(shù)y=依的圖象的是（）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定機(jī)和6的符號(hào)，進(jìn)一步確定反比例函數(shù)的圖象即可.

【詳解】解：A.根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，m>0,b<0,

???反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，

故A選項(xiàng)不符合題意；

B.根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，m<0,b<0,

???反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第二、四象限，

故B選項(xiàng)不符合題意；

C.根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，m＜0,b＞0,

與已知6＜0相矛盾.

故C選項(xiàng)不符合題意；

D.根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，m＞0,b＞0,

.?.反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，

故D選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?湖南?中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)夕=丘+1（左片0）和了=?（無(wú)片0）的圖像大致

X

是（）

【分析】分左＞0或左＜0,根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)后＞0時(shí)，一次函數(shù)＞=履+1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，反比例函數(shù)＞=8位于第一、三象

X

限；

k

當(dāng)左＜0時(shí)，一次函數(shù)＞=依+1經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，反比例函數(shù)》=—位于第二、四象限；

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握左＞0,圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限,

k＜0,圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型2一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

例.（2022?遼寧朝陽(yáng)?中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=ax（0為常數(shù)，且存0）和反比例函數(shù)（左為

X

常數(shù)，且厚0）的圖象相交于/（-2,M和8兩點(diǎn)，則不等式辦〉人的解集為（）

X

A.x<-2或x>2B.-2<x<2C.-2<x<0或x>2D.x<-2或0<x<2

【答案】D

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得3（2,?,“），然后根據(jù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)

論.

k

【詳解】解：???正比例函數(shù)產(chǎn)依（。為常數(shù)，且在0）和反比例函數(shù)尸一（左為常數(shù)，且?。┑膱D象相交

x

于4（-2,加）和5兩點(diǎn)，

???B（2,?m）,

k

???不等式ax>-的解集為xV-2或0<x<2,

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

變式1.（2022?浙江金華?八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系工帆中，直線》="+左（成*0）與x軸交

于點(diǎn)/、與〉軸交于點(diǎn)2,過(guò)點(diǎn)/作/C_Lx軸，交反比例函數(shù)*=：（x>0）的圖象于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CZ）_Ly

軸于點(diǎn)。，與直線》=*+上交于點(diǎn)E,若CE=DE,則左與。的關(guān)系正確的是（）

A.2a+k=0B.2a-k=0C.2a+3k=0D.2a-3k=0

【答案】A

【分析】先求出/坐標(biāo)，可以得到C的坐標(biāo)，由CE=DE,可以得E的坐標(biāo)，把E的坐標(biāo)代入直線即可得

出答案.

【詳解】解：對(duì)于>左#0）,

當(dāng)x=0時(shí)，y=k；當(dāng)j=0時(shí)，x,

a

?,?點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-5o],

???4C，x軸,且點(diǎn)。在反比例函數(shù)歹=々％>0）的圖象上，

X

二點(diǎn)c的坐標(biāo)為',

CE=DE,CD_Ly軸，

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為,

把a(bǔ)j代入y=空+k（akw0）得：

—a=ax.2-1+左，解得：2a+k=Q.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解此題的

關(guān)鍵.

k

變式2.（2022?浙江寧波?八年級(jí)期末）如圖，反比例函數(shù)必=—和一次函數(shù)為=x+6圖像交于/,3兩

x

點(diǎn)，/點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,當(dāng)弘〉為時(shí)，x的取值范圍為（）

A.x<-2或0<x<lB.-2<x<0或x>lC.x<-l或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【答案】A

k

【分析】把/點(diǎn)坐標(biāo)代入％=一中求出發(fā)得到反比例函數(shù)解析式，把/點(diǎn)坐標(biāo)代入%=x+6中求出6得到

x

一次函數(shù)解析式，然后把解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得2的坐標(biāo)，通過(guò)觀察圖像即可求得當(dāng)

時(shí)，x的取值范圍.

k

【詳解】解：把/（1,2）代入必=一得左=2,

x

???反比例函數(shù)解析式為必=4,

X

把/(1,2)代入歹2=%+6得2=1+6,解得6=1,

???一次函數(shù)解析式為%=X+1,

_2

X=1x=-2

聯(lián)立乂=1，解得I或

*=x+l

■■B(—2,-1),

觀察圖像，當(dāng)必>%時(shí)，x的取值范圍為x<-2或0cx<1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函

數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn).也考查了待定系

數(shù)法求函數(shù)解析式.

變式3.（2022?河南南陽(yáng)?八年級(jí)期中）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)力=與上在同一直角坐標(biāo)系

X

中的圖象如圖所示，則當(dāng)肩x十6<芻■時(shí)，x的取值范圍是（）

X

B.-l<x<0或x>3C.-l<x<0D.x>3

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象知，兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是（-1,3）,（3,-1）.由圖象可以直接寫出當(dāng)乃〈力時(shí)所對(duì)

應(yīng)的x的取值范圍.

【詳解】解：根據(jù)圖象知，一次函數(shù)”=依+6與反比例函數(shù)處=務(wù)的交點(diǎn)是（-1，3）,（3,-1）,

X

:當(dāng)力<力時(shí)，或x>3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.解答此題時(shí)，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思

想.

◎考點(diǎn)題型3一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

2

例.（2022?江蘇?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)》=而與歹=—的圖象交于/,8兩

3

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)5作y軸的平行線，交函數(shù)y=—―的圖象于點(diǎn)C,連接4G則A45C的面積為（）

A.2.5B.5C.6D.10

【答案】B

\y=kx

【分析】由12,可得4,8的坐標(biāo)，再求解。的坐標(biāo)，再直接利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.

iy=-

IX

ly=kx

【詳解】解：Q,I2,

iy=-

IX

!42k|

解得：1k或ik，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

\y=41k\y=-叵

15y/2k2V2I

—X-------------X--------------

=5

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，坐標(biāo)與圖形的面積，二次根式的運(yùn)算，一元二次方

程的解法，求解48的坐標(biāo)，再表示C的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?山東?禹城市龍澤實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動(dòng)物

實(shí)驗(yàn)，首次用于臨床人體試驗(yàn)，測(cè)得成人服藥后血液中藥物濃度丁（微克/毫升）與服藥時(shí)間x小時(shí)之間函

數(shù)關(guān)系如圖所示（當(dāng)4VXV10時(shí)，丁與x成反比例）.血液中藥物濃度不低于6微克毫升的持續(xù)時(shí)間為

【答案】A

【分析】先分別利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式，再利用夕=6分別得出x的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：當(dāng)g爛4時(shí)，設(shè)直線解析式為：y=履，

將（4,8）代入得：8=4鼠

解得：k=2,

故直線解析式為：y=2x,

當(dāng)4OW10時(shí)，設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=3,

X

將（4,8）代入得：8=:，

4

解得：a=32,

故反比例函數(shù)解析式為：y=絲32；

因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關(guān)系式為y=2x（0<x<4）,

32

下降階段的函數(shù)關(guān)系式為（4<x<10）.

當(dāng)y=6,則6=2x,解得：x=3,

當(dāng)尸6,貝1]6=%，解得：

--3=（小時(shí)），

33

__7

???血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時(shí)間w小時(shí)

故選/.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

33

變式2.（2022?貴州遵義?二模）小亮為了求不等式士>x+2的解集，繪制了如圖所示的反比例函數(shù)、=三與

xx

一次函數(shù)y=x+2的圖像，觀察圖像可得該不等式的解集為（）

A.x<—3B.x>\C.-3<x<1D.x<-3或0<x<l

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出不等式的解集.

【詳解】解：觀察函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x<-3或0<x<l時(shí)，反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像的上方，

3

?,?不等式—>x+2的解集為x<-3或0<x<l.

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函

數(shù)解析式.

k

變式3.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)》=—（際0）與正比例函數(shù)y=wx（m^O）的圖像

x

交于點(diǎn)4點(diǎn)左/Clx軸于點(diǎn)C,ADlx軸于點(diǎn)。，S^CO+SABDO=2,貝殊=_.

【答案】-2

【分析】首先由題意可得點(diǎn)力和點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)三角形全等可得=S△皿。=1,最后根據(jù)

k的幾何意義可得答案.

【詳解】解：?.?點(diǎn)/、3是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn),

.?.點(diǎn)/和點(diǎn)2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

：.OA=OB,

在—OC和△50。中，

Zco=/BDO

<ZAOC=/BOD,

OA=OB

.'.AAOC=ABOD(AAS)f

S/\ACO+S^BDO=2,

.C—1

,?_1，

???反比例函數(shù)圖像位于第二象限，

1?k=-2?

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)和解析式與面積的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型4一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其它綜合應(yīng)用

例.(2022?重慶市第七中學(xué)校一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)%=履+6(左#0)圖象與反比

例函數(shù)乃='(俏wO)圖象交于4,2兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為-2.

]>

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，

(2)若點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，且S/B0=6,求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)當(dāng)乂2%時(shí)，直接寫出自變量x的取值范圍.

14

【答案】(1)一次函數(shù)解析式為弘=彳》-1,反比例函數(shù)解析式為%=—

2x

(2)(-2,0)或(6,0)；

(3)-2<x<0^%>4

【分析】(1)把點(diǎn)/(4,1)代入乃=?(加HO)可得反比函數(shù)解析式，從而得到點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-2,-2),再

把點(diǎn)4(4,1),B(-2,-2)代入乃=船+/后x0),可求出一次函數(shù)解析式，即可求解，

(2)設(shè)直線N8交x軸于點(diǎn)￡,根據(jù)S/BDMS/EO+JBE。，即可求解;

(3)根據(jù)圖象即可求得.

(1)

解：把點(diǎn)/(4,1)代入為=：(加二0)得：m=4,

4

???反比例函數(shù)解析式為%=—；

???點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為-2,

???點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-2,-2),

把點(diǎn)4(4,1),B(-2,-2)代入力=—+6(左一。),得:

4左+b=1

-2k+b=-2,解得：\2,

b=-l

???一次函數(shù)解析式為必=；X-1;

(2)

解：如圖，設(shè)直線N3交x軸于點(diǎn)E,

對(duì)于弘=gx-l,當(dāng)乃=0時(shí)，x=2,

,點(diǎn)E(2,0),

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(。，0),貝！］?！?|2-4,

..C—CIVV—A

,O4BD-3AED丁u^BED'3ABD~v'

-x1x|2-+-x2x|2-=6,

解得：a=-2或6,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,0)或(6,0)；

(3)

解：觀察圖象得：當(dāng)-24x<0或時(shí)，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)圖象的上方或兩圖象相交,

二.當(dāng)必2%時(shí)，自變量x的取值范圍為-2<x<0或x>4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

k

變式1.(2022?浙江寧波?八年級(jí)期末)如圖，已知反比例函數(shù)》=—20,人為常數(shù))的圖象與一次函

x

數(shù)了=如+6的圖象交于4(1,3)、8(私1)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)尸(",0),過(guò)點(diǎn)尸作平行于〉軸的直線，交一次函數(shù)圖象于點(diǎn)且點(diǎn)M第一象限內(nèi)，交反比例

函數(shù)圖象于點(diǎn)N.若點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離小于線段尸N的長(zhǎng)度，結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出〃的取值范圍.

3

【答案］⑴尸一;y=f+4

X

⑵0<"<1或">3

【分析】(1)由反比例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，再求出點(diǎn)2的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐

標(biāo)代入>=狽+6,可求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)題意找出一次函數(shù)落在反比例函數(shù)圖象下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

(1)

解：???反比例函數(shù)尸匕心0)圖象經(jīng)過(guò)/(1,3),

X

.?"=1x3=3,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式是廣二3

x

???反比例函數(shù)V=：的圖象過(guò)點(diǎn)8(m.l),

.,?加=3,

.?.2(3,1),

3=a+b

把4(1,3),8(3,1)代入了=辦+6,得

l=3a+b"

a-1

解得

b=4

???一次函數(shù)的表達(dá)式是V=r+4；

(2)

若尸M</W,根據(jù)圖象，可得〃的取值范圍是0<〃<1或3c”.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，利用函數(shù)圖象性質(zhì)解決問(wèn)

題是本題的關(guān)鍵.

33

變式2.(2022?河南鶴壁?八年級(jí)期末)如圖，直線刃=2x-1與雙曲線”=一相交于點(diǎn)4(-,2),B

x2

3

⑴根據(jù)圖象直接寫出2x-1>—的解集為；

(2)過(guò)點(diǎn)4作/。1歹軸于點(diǎn)C,連接BC,求A45C的面積；

(3)過(guò)點(diǎn)。的直線交48與點(diǎn)若直線CD將ZU5C分成了面積相等的兩個(gè)三角形，求出直線CD的解析

式.

3

【答案】(l)x>,或?1<XVO

⑵？

(3)y——10x+2

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)確定不等式的解集即可求解;

3

(2)根據(jù)題意求得/c=5,進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解;

(3)根據(jù)三角形中線的性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，繼而待定系數(shù)法求解析式即可求解.

(1)

33

直線%=2x-1與雙曲線竺=—相交于點(diǎn)/(彳，2),5(-1,-3)

x2

33

2x-1>—的解集為：x>大或

x2

(2)

-.-AC±y^,/g,2),8(-1,-3)

3

,4c上的IWJ%=心一%=2-(-3)=5

S^BC=|^C-A=1x|x5=^

(3)

當(dāng)。為48的中點(diǎn)時(shí)，直線CD符合題意.

3

5(-1,-3)

2

2_1

■■AB的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(J2-3)

2,2

即。(L-L又「C(0,2)

42

設(shè)加=丘+6，則

f1,1

—k+bL=——

<42

b=2

[k=-10

解得..

[b=2

???直線CD的解析式為：y=T0x+2

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象求不等式的解集，求直線圍成的三角形的面積，待定系數(shù)法求一次函數(shù)

解析式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式3.(2022?河北石家莊?九年級(jí)期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(3,°)和點(diǎn)8是一次函數(shù)y=x-2和

反比例函數(shù)y='圖像的交點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)利用圖像，直接寫出當(dāng)x-2>”時(shí)x的取值范圍；

X

口F

(3)。為線段48上一點(diǎn)，作CDIIy軸與反比例函數(shù)圖像交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)E,當(dāng)〒=3時(shí)，直接寫

EC

出點(diǎn)。的坐標(biāo).

3

【答案】⑴反比例函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)―，5(-1,-3)；

x

m

(2)當(dāng)x-2>一時(shí)，-l<x<0或x>3；

x

(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)(1+收，-1+收)或(1-亞，-1-收)或(1,-1).

【分析】(1)由一次函數(shù)y=x-2求得/的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，解析式聯(lián)立

成方程組，解方程組求得8的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象即可求得；

3

(3)設(shè)C(x,x-2)則。(x,-),根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.

x

(1)

解：把4(3,q)代入y=x-2可得,

a=l,即4(3,1),

??」=￡，解得加=3,

???反比例函數(shù)表達(dá)式為嚴(yán)巳，

x

???^(-1,-3)；

(2)

解：由圖象可得,

m

當(dāng)x-2>一時(shí)，-IVxVO或x>3；

x

(3)

3

解：設(shè)E(x,0),貝iJC(x,x-2),D(x,-),

x

DE

---=3,

EC

?,■1-|=3|x-2|,

X

3

當(dāng)一=3(x—2)時(shí)，

x

解得X=1士也，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)(1+后，1+及)或(1-亞，-1-也)，

3

當(dāng)一=3(2-x)時(shí),

x

解得xj=x2=l,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)(1,-1),

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)(1+亞，-1+收)或(1-拒，-1-收)或(1,-1).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求一次函

數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)

鍵.

◎考點(diǎn)題型5反比例函數(shù)與幾何綜合

例.(2022?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)期末)如圖，已知點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=-2x圖像上，過(guò)點(diǎn)A作N8_Lx軸于點(diǎn)

B,四邊形N2CD是正方形，點(diǎn)D在反比例函數(shù)了=(圖像上.

(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為一2,求上的值；

(2)若設(shè)正方形ABCD的面積為m,試用含m的代數(shù)式表示左值.

【答案】⑴左=-24

3

【分析】(1)先求出A的橫坐標(biāo)，就可以得到。的坐標(biāo)，即可求上的值；

(2)由正方形/BCD的面積為機(jī)，求出邊長(zhǎng)為赤，再表示出。和A的縱坐標(biāo)為標(biāo)，進(jìn)而求出。的坐

k

標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=—即可.

(1)

解：=當(dāng)％=-2時(shí)，y=4f

/.A的坐標(biāo)為(-2.4),

：.AD=AB=BC=DC=4,0B=2,

???D的坐標(biāo)為(-6.4),

k

???點(diǎn)。在反比例函數(shù)歹=人圖象上，

x

.k.

——=4,

—6

左=—24；

(2)

解：.??正方形43co的面積為加，

AD=AB=BC=DC=4m,

???。和A的縱坐標(biāo)為標(biāo)，

4的坐標(biāo)為,

OC=OB+BC=^~,

2

...D的坐標(biāo)為,y/m),

代入得

X

k7=xy=--3m.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握利用正方形的邊長(zhǎng)相

等來(lái)表示出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).

變式1.(2022?福建泉州?八年級(jí)期末)如圖，矩形O4BC的邊CM、0c分別在x軸、丁軸的正半軸上，點(diǎn)

8在反比例函數(shù)歹=2(》＞0)的圖象上，且8c=2.將矩形CU8C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得

X

k

到矩形E4DE,函數(shù)丁=一的圖象剛好經(jīng)過(guò)E尸的中點(diǎn)N,交DE于點(diǎn)M.

X

(1)求該反比例函數(shù)關(guān)系式;

(2)求A08收的面積.

Q

【答案】(1)1

32

⑵了

kk

【分析】(1)根據(jù)題意得出點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,5),進(jìn)一步求得N(2+；,2),代入曲線方程中即可得出

左的值，便可得出反比例函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)k的值可得出點(diǎn)“、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S4OBM=S—OB+S梯

彩ABMD-S4DOM=S梯形ABMD,故可得出△03/的面積.

(1)

k

???矩形0/8。的邊CM、0c分別在x軸、了軸的正半軸上，點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=￡(x>0)的圖象上，且

X

BC=2,

k

?.?點(diǎn)3的坐標(biāo)為(2%),

/.AB=—,

2

???將矩形OABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形FADE,

:.DE=BC=2,EF=AB=~,

2

:.OD=2+-,

2

k

??,函數(shù)>=上的圖象剛好經(jīng)過(guò)EF的中點(diǎn)N,

X

.?.N(2+。，2),

4

解得左二8,

Q

??.反比例函數(shù)的解析式為歹=—;

(2)

,：k=8,

「.00=2+4=6,5(2,4),

84

把x=6代入歹=一得，y=-,

x3

?S^OBM~^\AOB+S梯形3Vg—^\DOM~S梯形為5Mo,

?'?SAOBM=；（4+|J（6_2）=,.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，反比例函

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義，求得3、M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?浙江寧波?八年級(jí)期末）如圖，菱形/BCD的頂點(diǎn)/、2分別在y軸與x軸正半軸上，C、D

k

在第一象限，NC〃x軸，反比例函數(shù)》=—的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)。.

⑴若4(0,2),5(1,0)

①求反比例函數(shù)的解析式；

k

②證明：點(diǎn)C落在反比例函數(shù)＞=士的圖象上；

（2）若％=18。，NABD=30°,求菱形N3CO的邊長(zhǎng).

4

【答案】⑴①"一；②見(jiàn)解析

X

（2）6

【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)。做y軸垂線交于點(diǎn)尸，由N3CD為菱形得ADL/C,BE=DE,進(jìn)而求得

AO=BE=DE=2,從而求得。（1,4）即可求出反比例函數(shù)的解析式；②過(guò)點(diǎn)C做x軸垂線交于點(diǎn)G,先

求得C（2,2）,即可判斷C落在反比例函數(shù)了=勺的圖象上；

X

(2)設(shè)/E=a,則3E=6a，AB=2a,仄而求得BD=2BE=2后,得。(a,2百a)進(jìn)而有

26?2=186，解得。=3,即可求解.

(1)

①解：過(guò)點(diǎn)。做y軸垂線交于點(diǎn)R

???4BCD為菱形,

BDVAC,BE=DE,AE=AC

易證四邊形/OBE、/切廠為矩形

AO=BE=DE=2,

4

r.y=一

X

②證明：過(guò)點(diǎn)C做X軸垂線交于點(diǎn)G,

易證四邊形NEBO、NCGO為矩形

AO=CG=2,AC=2AE=2

??.C(2,2),

??.C落在反比例函數(shù)＞=&的圖象上；

X

(2)

施軌VZABD=30°,ACLBD,DB=2BE,AC=2AE,

??.設(shè)AE—a,貝IjBE—gtz，AB=2a,

：.BD=2BE=2,

；.D(a,2也Q

，：D在反比例函數(shù)上,

???2岳2=18百，

a=3（a>0）,

AB-2a—6,

菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，求反比例函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練

掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?江蘇泰州?八年級(jí)期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形”和點(diǎn)尸，給出如下定義：將圖

形M繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形"關(guān)于點(diǎn)尸的“直憶圖形”.例如，圖中點(diǎn)。為點(diǎn)

C關(guān)于點(diǎn)尸的“直產(chǎn)圖形”.

3

（i）y=-三的圖像關(guān)于原點(diǎn)。的“直憶圖形”的