中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：幾何證明 知識歸納與題型突破（21類題型清單）（原卷版）

第十九章幾何證明知識歸納與題型突破（21類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

03題型歸納

題型一命題

1.下列命題中，是真命題的是（）

A.對頂角相等B.內(nèi)錯角相等

C.若m2=〃2,則加二〃D.若a>b,貝!］一5。>一5/?

2.下列選項中，可以用來證明命題“若則/>1”的逆命題是假命題的反例是（）

A.〃=—2B.a=—lC.a=lD.a=2

3.下列命題是真命題的有（）

A.若〃2=/,則。=一

B.若m6是有理數(shù),則k+4=同+科

C.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

D.如果NA=ZB,那么'A與是對頂角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，銳角三角形ABC中，NABC=ZACB,點D,E分別在邊48,AC上，連接BE,CD.下列命

題中，假命理是（）

A.若ZACD=ZABE,則CD=3EB.若BD=CE,則BE=C￡>

C.若CD=BE,則ZACD=ZABED.若AD=AE,則/CBE=/OC8

2.下列四個命題其中正確的有（填序號）.

①全等三角形的對應(yīng)角相等；

?AB=DE,BC=EF,ZC=ZF=120°,則△ABC=△￡>/；

③ZA=ZD,NC=NF,BC=DE,則VABC和DEF全等;

④如果兩個三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個三角形全等.

3.寫出下列命題的條件和結(jié)論.

（D如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；

（3）等角的補角相等.

題型二證明

4.A,B,C,D,E五名學(xué)生猜測自己能否進入市中國象棋前三強.A說：“如果我進入，那么3也進

入.”8說：“如果我進入，那么C也進入.”C說：“如果我進入，那么D也進入.”￡）說：“如果我進入，

那么E也進入，”大家都沒有說錯，則進入前三強的三個人是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

5.如圖，在AABC中，ZABC=45°,AC=5,F是高AD和BE的交點，則BF的長（）

A.7B.6C.5D.4

@Z1=Z3；?Z3=Z5；@Z4+Z7=180°；@Z5+Z3=180°.能判斷a||b的是().

A.①②④B,①③④C.①②③④D.①③

鞏固訓(xùn)練

1.利用反證法證明命題”在/4BC中,若AB=AC,則4<90?！睍r，應(yīng)假設(shè)（）

A.若AB=AC,貝l|ZB>90。B.若ABwAC,則/B<90°

C.若AB=AC,則NA.90。D.若ABHAC,貝ljNA.90。

2.如圖所示，如果BD平分/ABC,補上一個條件作為己知，就能推出AB〃CD.

3.如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：BD//EC；/D=/C；ZA=ZF.

（1）請以其中兩個為條件，另一個為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個命題?

（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明.

題型三逆命題和逆定理

7.下列各命題的逆命題成立的是（）

A.對頂角相等

B.如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等

C.兩直線平行，同位角相等

D.如果兩個角都是45。，那么這兩個角相等

8.數(shù)學(xué)中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題.例如：如果a=2,那么

a2=4.下列命題中，具有以上特征的命題是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.如果同=1,那么。=1

c.全等三角形的對應(yīng)角相等D.如果龍〉y,那么如＞沖

9.已知下列命題：①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；③直角三角形的兩個銳角互余；④三

條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

鞏固訓(xùn)練

1.已知下列命題：①若則同=-。；②若胸貝物AW；③三角形的中線把三角形分成面積相

等的兩部分；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行?其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列命題中，其逆命題成立的是（填序號）

①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

②如果三角形的三邊長a,b,c（c為最長邊）且滿足〃+62=02,那么這個三角形是直角三角形.

③如果兩個角是直角，那么它們相等;

④如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；

3.寫出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.

（1）若次則

（2）角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.

（3）若奶=0,貝!Ja=0.

題型四線段垂直平分線的性質(zhì)

10.如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分垂足為E,下列結(jié)論不正確的是（）

A.ABE8ADECB.BC=CD

C.AB=DCD.AC平分N3AD

11.如圖，在RtZ\A3C中，ZC=90°,A3邊的垂直平分線DE交BC于點，交AB于點E,連接A￡）,AD

將一C4s分成兩個角，且/C4D:/B4D=2:5,則NADC的度數(shù)是（）

12.如圖，VABC邊A3,AC的垂直平分線DM,EN相交于點O,M,N在BC邊上，若/M4N=20。,

則NA4c的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.140°D.160°

鞏固訓(xùn)練

1.A、氏C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一

個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃赩ABC的（）

A.三邊中線的交點B.三邊垂直平分線的交點

C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點

2.如圖，在.ABC中，AB=U,AC=16,BC=22,4B的垂直平分線分別交力B,BC于點、D、E,AC

的垂直平分線分別交AC,于點尸、G,則AEG的周長為.

3.如圖，在VABC中，/是AC的垂直平分線，交3C于點。，AB=AD,ZBAD=2.0°.

（1）求zB的度數(shù);

（2）求—C的度數(shù).

題型五線段垂直平分線的判定

13.如圖，在VABC中，已知點。在上，S.BD+AD=BC,下列說法正確的是（）

A.點。是8C的中點B.AD平分工BAC

C.點。在AC的垂直平分線上D.點。在AB的垂直平分線上

14.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形ABC。是一個箏形，其中AD=C。，AB=CB,

小明在探究箏形的性質(zhì)時，連結(jié)了AC,BD,并設(shè)交點為。，得到了如下結(jié)論，其中錯誤的是（）

D

A.ACJ.BDB.AO=CO=-AC

2

C.AABD^ACBDD.AO+DO=BO

15.如圖，點尸在直線/外，請閱讀以下作圖步驟：①以點P為圓心，以大于點尸到直線/的距離的長為半

徑作弧，交/于點A和點8；②分別以點A和點B為圓心，大于《A3的同一長度為半徑作弧，兩弧相交于

點。，如圖所示；③作射線尸。，連接R4,PB,AQ,BQ,根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是（）

B.Nl=/3且尸ABQ

C./2=/3且尸QSASD.N1=N2且

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，將長方形紙片沿AC折疊后點8落在點E處,則下列關(guān)于線段BE與AC的關(guān)系描述正確的是（）

A.AC=BEB.AC和8E相互垂直平分

C.ACVBE^.AC=BED.AC_L3E且AC平分BE

2.風(fēng)箏又稱“紙鶯”、“風(fēng)鶯”、“紙ST等，起源于中國東周春秋時期，距今已有2000多年的歷史，如圖是

一款風(fēng)箏骨架的簡化圖，已知=BC=CD,AC=90cm,BD=60cm,制作這個風(fēng)箏需要的布料

至少為cm2.

A

3.如圖，在VA3C中，邊A3,AC的垂直平分線分別交2C于點E.

⑴若2C=15,DE=4,貝IJAD+AE=_；

(2)若ZBAC=100。，求1D4E的度數(shù);

（3）設(shè)直線DM,EN交于點。，判斷點。是否在8C的垂直平分線上.

題型六作垂線

16.如圖，在VABC中，AC=3,BC=5,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則△ADC的周長是（）

A.13B.11C.8D.6.5

17.如圖，在VABC中，分別以A,8為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，相交于點。，E,

連結(jié)DE,交3c于點P.若AC=3,△ACP的周長為10,則2C的長為（）

D

B

E

A.6B.7C.8D.9

18.如圖，在VABC中，分別以點A和點B為圓心，大于工A8長為半徑畫弧，兩弧相交于點/、N,作

2

直線腦V,交5C于點。，連接若AC=7,BC=12,則八40。的周長為（)

C.19D.26

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：①分別以8,C為圓心，以大于g8C的長為半徑作弧，

兩弧相交于兩點跖N；②作直線肱V交于點D,連接CD若AC=3,AB=9,則ACD的周長為（）

2.如圖，在VA3C中，按以下步驟作圖：①分別以點8和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧

相交于點M和N；②作直線分別交邊AB,BC于點。和E,連接CD.若/BC4=90。，AB=8,則

CD的長為.

3.已知：線段左，Za,利用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡，不寫作法.

k

（1）求作：線段上的垂直平分線.

(2)求作：ABC,使AB=BC=k,/B=/a.

題型七角平分線的判定與性質(zhì)

19.如圖，在VA5c中，AB=8,AC=6,。為VABC角平分線的交點，若的面積為20,則△ACO

的面積為是（）

20.如圖，在VABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,點E在8C的延長線上，/ASC的平分線8。與/ACE

A.35°B.45°C.55°D.65°

21.如圖，在RtAABC中，/A4c=90。，AB=\,M為邊2C上的點，連接AM,如果將沿直線AM

翻折后，點8恰好落在邊AC的中點處，那么點M到AC的距離是（）

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于點。.已知AB=16,CD=5,則△ABD

的面積為（）

A

A.50B.40C.30D.20

2.如圖，是VABC的角平分線，DE±AB,DE=2,AB=8,VABC的面積為14,則3C=

3.如圖，在RtZXABC中，？B90?.

(1)尺規(guī)作圖：作/A的角平分線AP,交BC于點Z).(基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并標明字母)

(2)若AB=3,BC=4,AC=5,求的長及ACE)的面積.

題型八作角平分線

22.如圖，在VA3C中，ZC=90°,利用尺規(guī)在AC,A3上分別截取AE,AD,使鉆=AD,分別以

E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在4c內(nèi)交于點尸，作射線AF交BC于點G.若CG=4,

AB=8,則ASG的面積為()

A.12B.16C.24D.32

23.如圖，RtZ^ABC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在BC,上分別截取BE,BD,使BE=BD,分別以DE

為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在NCSA內(nèi)交于點尸，作射線班'交AC于點G.在AB上找

一點尸，使得AP=AG,若ZAPG=65。，則ZABG的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.18°D.15°

24.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點8為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB、3c于點M、

N、再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧.兩弧交于點P,作射線3尸交邊AC于點D若

CD=6,AB=12,則△ABD的面積為（）

A.6A/3B.12A/3C.18也D.24出

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在VA3C中，ZC=90°,ZCAB=50°,按以下步驟作圖：

①以點A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交A3、AC于點￡、F；

②分別以點E、尸為圓心，大于所長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點G；

③作射線AG,交BC邊于點D.則/WC的度數(shù)為（）

A.40°B.55°C.65°D.75°

2.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=40°,以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB、AC

于點M、N,再分別以點〃、N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接AP并延長，交BC

于點D則°.

3.如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔.按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等,

到兩條高速公路相和”的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？在圖上標出它的位置.（尺規(guī)作圖）

題型九直角三角形全等的判定與綜合

25.如圖，在VABC中，ZC=90°,DE_LAB于點E,CD=DE,NCBD=20°,則/A的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.20°

26.如圖,是VABC的角平分線，DF，于點尸，點E,G分別在A8,AC上，且DE=DG,若SAADG=24,

S/\AED~18,貝I]DE尸的面積為（）

C.5D.6

27.如圖，在VABC中，ZABC=90°,AD平分/BAC交BC于點D,DE=DC,若△ADC的面積為10,

△AEO的面積為6,貝!LOBE的面積為（）

B

￡

D

A.2B.2.5C.3D.4

鞏固訓(xùn)練

1.ABC中，NC=65。，AD是8C邊上的高，A￡>=8￡>,點E在AC上，3E交4D于點/，BF=AC,

貝ljNAFB=()

C.55°D.65°

2.如圖，點。在BC上，NBED=NCDF=90,BD=CF,BE=CD.若NA=40.則/即P=

3.如圖，在VABC中AB=AC,尸是BC上的一點，BD±AF,CELAF的延長線于點E,AD=CE.

⑴求證：△ABD至△AEC.

(2)判斷8。、DE、CE這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

題型十含30度角的直角三角形

28.如圖，在VA3C中，AB=AC,NC=30。，點。是A8的中點，過點。作DE垂直A8交3c于點E,

DE=2,則CE的長度為()

A

n

A.7B.9C.8D.10

29.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AD平分ZA4C,交AC邊上的高BE于點尸.己知NC=30。,

BC=n,則()

A.2B.3C.4D.5

30.VABC中，AB=AC=12cm,尸在線段BC上，PE_LAB于E,PDJ.AC于。，若它一腰上的高與另

一腰所成的銳角等于60。，則PE+PD的值為（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，ZAO8=30。，點。是—AO3平分線OC上一點，過點。作。E〃03交0A于點E,作。尸，OB,

垂足為點RDF=35,貝UDE的長為（）

C.7.5D.5

2.如圖，在VABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CE=2,邊AB的垂直平分線交48于點。，交AC于點E,

那么AE的長為.

3.如圖，在VABC中，ZC=90°,NA=30。，AB=60cm,動點P、。同時從A、B兩點出發(fā)，分別在A3、

BC邊上勻速移動，點尸的運動速度為2cm/s,點。的運動速度為lcm/s,當(dāng)點尸到達點8時，P、。兩點

同時停止運動，設(shè)點尸的運動時間為/S.

(1)當(dāng)/為何值時，PBQ為等邊三角形?

(2)當(dāng)/為何值時，P8Q為直角三角形?

題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半

31.如圖，在VABC中，。、E分別是AB、AC的中點，點下在￡)￡1上，且ZAFB=90。，若AB=8,EF=3,

則BC的長為()

A

BC

A.11B.12C.12.5D.14

32.如圖，在Rt^ABC中，2C的中垂線與BC交于點。，與AC交于點E,連接BE,尸為BE的中點,

若DF=2,則AE的長為()

33.如圖，在中，ZACB=90°,CD_LAB于點。，ZBCD=18°,E是斜邊AB的中點，則/OCE

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，AMON=90°,矩形ABC。的頂點A、8分別在邊ON,ON上，當(dāng)3在邊ON上運動時，A隨

之在上運動，矩形ABC。的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運動過程中，點。到點。的最大距

C.75+1D.72+1

2.如圖，在VABC中，/ABC=90。，點。是8C邊上的一點，點石是凡。的中點，連結(jié)BE.若點。在邊

AC的垂直平分線上，且OC=6,則BE的長為.

3.如圖，在VABC中，中，48于點尸，3￡，4。于點￡,M為BC的中點.

(1)求證：歷是等腰三角形；

⑵若N￡BC=30。，BC=10cm,求CE的長度.

題型十二勾股定理的證明方法

34.我國是最早了解勾股定理的國家之一.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

ba

h

35.勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中不能證

明勾股定理的是（）

36.在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的

是（）

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

鞏固訓(xùn)練

1.我國是最早了解勾股定理的國家之一.下列四幅圖中，不能驗證勾股定理的是（）

2.如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，則4個直角三角形面積+小正方形

面積=大正方形面積，即+=，化簡得：a2+b2=c2.

3.我們知道，有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對

的邊叫斜邊(如圖①所示).數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的

平方.即如果一個直角三角形的兩條直角邊長度分別是。和6,斜邊長度是c,那么/+62=02.

(1)直接填空:如圖①，若。=3,6=4,則。=；若。+匕=4,。=3.則直角三角形的面積是.

(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊AK在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系,

試說明片+匕2=°2.

題型十三以弦圖為背景的計算題

37.如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積

是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長直角邊為a,較短直角邊為6,則(a+b)2的值為()

A.25B.19C.13D.169

38.如圖，用4個全等直角三角形與1個正方形拼成正方形圖案.已知大正方形面積為100.小正方形面

積為9.若用x，y表示直角三角形的兩條直角邊(x>y).下列說法正確的有()

?x2+y2=100；②x-y=3；?X+^=A/191；?xy=—

A.①②B.②③C,①②③D,①②③④

39.“趙爽弦圖”巧妙地利用了面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”

是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長的直角邊長為

a，較短的直角邊長為6,若ab=6,大正方形的面積為13,則小正方形的邊長為.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形A5CD,中間陰影部分是一個小正方形這樣

就組成一個“趙爽弦圖”.若AB=10,EF=2,則ABE的面積為（）

2.如圖是在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會標，它是由四個相同的直角三角形與中間一個小正方形拼成的

一個大正方形，若大正方形的邊長是13cm,每個直角三角形較短的一條直角邊的長是5cm,則小正方形

3.對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式.

a

a

（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的.用兩種不同的方法

計算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是二

（2）如圖2所示的大正方形，是由四個三邊長分別為a、b、c的全等的直角三角形（“6為直角邊）和一個

正方形拼成，試通過兩種不同的方法計算中間正方形的面積，并探究。、6、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系.

題型十四勾股定理與網(wǎng)格問題

40.如圖，在4x5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若是VABC的高,

則5D的長為（）.

3L

A.2B.V3C.3D.-V3

41.如圖，在3x2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C,。都在格點上，以A為圓

心，48的長為半徑畫弧，交CD于點E,貝"CE的長為（）.

A.3-后B.幣—2C.3-75D.2忘-2

42.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，下面結(jié)論：①AB=26；

②ZBAC=90。；③VABC的面積為10；④點A到直線2C的距離是2.正確的結(jié)論共有（）個

A.1個B.2個C.3個D.4個

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示邊長為1的的正方形網(wǎng)格中，VABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點

三角形，則點A到的距離等于（）

2.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則下列結(jié)論：①AB=2'

②/ABC=90。；③VABC的面積為10；④點A到直線的距離是2,其中正確的是.（填序號）

3.（1）請你在圖1中畫一個邊長為■的正方形，要求所畫正方形的頂點都在格點上;

（2）如圖2,面積為7的正方形ABC。的頂點A在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為-1,若點E在數(shù)軸上，（點

E在點A的右側(cè)）且=則點E所表示的數(shù)為_；

（3）以圖1中1個方格的邊長為單位1,畫出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示2+J萬和2-

題型十五用勾股定理解三角形

43.如圖，ZB=ZD=90°,AC=EC,AB=4,￡0=2,點C在線段5。上，若NACE=90。，則"CE的

面積是（）

44.如圖，Rt^ABC中，?B90?,E為48邊上的一點，連接CE并延長，過點A作ADLCE,垂足為

D,若AD=7,AB=20,BC=15.記VADE的面積為岳，3CE的面積為S?，則$2-H的值為（）.

45.如圖，在VABC中，NABC=90。，AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線上444，且4,

之間的距離為1,44之間的距離為2,則AC的值為（）

D.Vio

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，直線/上有三個正方形mb,c.若a,b的面積分別為5和11,則c的面積為(

A.6B.16C.4D.55

2.如圖，在RtABC中，ZABC=90°,AB=BC=2?，將一ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到

連接CE,則CE的長是

3.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線折疊，使

點C落在斜邊上的點E處，試求C。的長.

⑴求跖的長;

(2)求的長.

題型十六勾股定理與折疊問題

46.如圖，三角形紙片ABC中，ABAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD和所將紙片折疊，使點B和點C

都落在邊BC上的點尸處，則EC的長是（）

47.如圖，Rt^ABC中，ZA=90°,AC=12,AB=9,DEJ.AC,CD=^BC,CE=：AC,尸是直線AC

上一點，把沿。尸所在的直線翻折后，點C落在直線DE上的點H處，CP=（）.

48.如圖，ZACB=90°,AC=6,BC=8,將邊AC沿CE翻折，使點A落在48上的點。處；再將邊8C沿

CP翻折，使點2落在CD的延長線上的點&處，兩條折痕與斜邊43分別交于點及F,則線段8下的長為

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，長方形紙片ABCD中，AB=6,AD=18,將此長方形紙片折疊，使點。與點3重合，點C落在

點H的位置，折痕為EP,則3E的長度為（）

A.6B.10C.24D.48

2.如圖，在直角VABC中，直角邊AC=6,3c=8,現(xiàn)要在BC上找一點使得將.ACD沿AD翻折后,

點C落在斜邊A3上，則CD=.

3.如圖，5C=20cm,寬AB=16cm的長方形紙片ABC。；將紙片沿著直線AE折疊，點。恰好落在BC邊

上的點尸處，解答下列問題：

⑴求所的長;

（2）求EC的長.

題型十七勾股定理的應(yīng)用1

49.如圖，一架25分米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底部7分米，如果梯子的

頂端沿墻下滑4分米，那么梯子的底端將向外平滑（）

50.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，問折高者幾何？意思是：一根竹

子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.x2+62=102B.(10-X)2+62=X2

C.x2+(10-x)2=62D.X2+62=(10-X)2

51.如圖，某自動感應(yīng)門的正上方裝著一個感應(yīng)器A,離地距離AB=2米，當(dāng)人體進入感應(yīng)范圍內(nèi)時，感

應(yīng)門就會自動打開，一個身高L5米的學(xué)生剛走到離門間距CB=1.2米的地方時，感應(yīng)門自動打開，則

該感應(yīng)器感應(yīng)長度AD為（）

感應(yīng)器”

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

鞏固訓(xùn)練

1.一架長10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那

么梯足將滑（）

A.0.5米B.0.75米C.1米D.2米

2.如圖在一棵樹的10m高的。處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20m處的池塘A處，另一只

爬到樹頂C處后直接躍向池塘A處.如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹高_m.

3.如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即C￡>=8米），一只

小鳥從一棵樹的樹梢A點處飛到另一棵樹的樹梢B點處，則小鳥至少要飛行多少米？

題型十八勾股定理的應(yīng)用2

52.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹

高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，在VA3C中，

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長，如果設(shè)AC=x,則可列方程為（）

222

A.x+(10-x)=3B.尤2+32=(10-x『

C.C+32=10?D.(10-X)2+32=X2

53.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm,則這支鉛筆在筆筒

內(nèi)部的長度/的取值范圍是（）

A.12cm</<15cmB.9cm<l<12cm

C.10cm<Z<15cmD.10cm<l<12cm

54.如圖，鐵路腦V和公路P。在點。處交匯，ZQON=30°.公路P。上A處距。點240米，如果火車行

駛時，周圍200米以內(nèi)會受到噪音的影響.那么火車在鐵路MN上沿QV方向以20米/秒的速度行駛時，A

處受噪音影響的時間為（）

C.20秒D.30秒

鞏固訓(xùn)練

1.《九章算術(shù)》有個問題“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問折高者幾何？意思是：一

根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠，問

折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尤尺，則可列方程為()

A.%2-4=(10-X)2B.%2-42=(10-X)2

C.X2+4=(10-%)2D.X2+42=(10-X)2

2.如圖，有一個長方體盒子，其長、寬、高分別是8cm、6cm、V^Tcm,則該長方體盒子內(nèi)可放入的木

棒(木棒的粗細忽略不計)的長度最長是cm.

D'c

\/D---------------

4B

3.今年，第13號臺風(fēng)“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號臺風(fēng)“普拉桑”和第15號臺風(fēng)“蘇

力”又于19日登陸.A市接到臺風(fēng)警報時，臺風(fēng)中心位于距離A市52km的8處(即AB=52km),正以8km/h

的速度沿BC直線方向移動.

B

(1)已知A市到BC的距離AD=20km,那么臺風(fēng)中心從B點移到D點經(jīng)過多長時間？

⑵如果在距臺風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)影響，那么A市受到臺風(fēng)影響的時間是多長?

題型十九勾股定理的逆定理

55.如圖，已知NA=90。，AC=AB=4,CD=2,BD=6.則NACD的度數(shù)為()

A.30°B.35°C.40°D.45°

56.若VA3C的三邊長分別為2點,而衣則VABC的面積為()

A.2月B.2A/2C.4夕D.473

57.下列條件能判定VABC是直角三角形的是（）

A.ZA—NB=NCB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.AB=6，BC=4，AC=V5D.AB-.BC:AC=2:2:3

鞏固訓(xùn)練

1.VABC中，NA、/B、NC所對的邊分別為0、b、c,由下列條件不能判斷它是直角三角形的是()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZA=ZB-ZC

C.a2-(b+c)(b-c)D.a:b:c=3:4:5

2.如圖，VABC中，E為AB邊上的一點，連接CE并延長，過點A作ADLCE,垂足為。，若AD=7,

AB=20,BC=15,DC=2.4.

⑴4=________

（2）記VADE的面積為S-3CE的面積為邑，則S2-H的值為.

3.如圖，在一塊直角三角形（NACB=90。）土地上，準備規(guī)劃出圖中陰影部分作為綠地，若規(guī)劃圖設(shè)計

中要求NA￡>C=90。，AD=8,CD=6,AB=26,求綠地的面積.

題型二十最短路徑問題

58.如圖，一圓柱體的底面圓周長為12,高A5為8,8c是上底的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱

()

C.4日D.10

59.如圖，在長方體ASCD-AB'C'D'中，AB=BB'=4,AD=6,一只螞蟻從A點出發(fā)，沿長方體表面爬

到C'點，求螞蟻怎樣走路程最短，最短路程是（）

C.2yfnD.10

60.如圖，要在河邊/上修建一個水泵站，分別向A村和8村送水，已知A村、8村到河邊的距離分別為2km

和5km,且C、。相距"Tkm,則鋪水管的最短長度是（）

B

A

------3-----------------°-------/

—C--------------D——

A.5kmB.2&kmC.7km