中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何證明 知識(shí)歸納與題型突破（21類題型清單）（原卷版）

第十九章幾何證明知識(shí)歸納與題型突破（21類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

03題型歸納

題型一命題

1.下列命題中，是真命題的是（）

A.對(duì)頂角相等B.內(nèi)錯(cuò)角相等

C.若m2=〃2,則加二〃D.若a>b,貝!］一5。>一5/?

2.下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)證明命題“若則/>1”的逆命題是假命題的反例是（）

A.〃=—2B.a=—lC.a=lD.a=2

3.下列命題是真命題的有（）

A.若〃2=/,則。=一

B.若m6是有理數(shù),則k+4=同+科

C.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

D.如果NA=ZB,那么'A與是對(duì)頂角

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，銳角三角形ABC中，NABC=ZACB,點(diǎn)D,E分別在邊48,AC上，連接BE,CD.下列命

題中，假命理是（）

A.若ZACD=ZABE,則CD=3EB.若BD=CE,則BE=C￡>

C.若CD=BE,則ZACD=ZABED.若AD=AE,則/CBE=/OC8

2.下列四個(gè)命題其中正確的有（填序號(hào)）.

①全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

?AB=DE,BC=EF,ZC=ZF=120°,則△ABC=△￡>/；

③ZA=ZD,NC=NF,BC=DE,則VABC和DEF全等;

④如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等.

3.寫(xiě)出下列命題的條件和結(jié)論.

（D如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（3）等角的補(bǔ)角相等.

題型二證明

4.A,B,C,D,E五名學(xué)生猜測(cè)自己能否進(jìn)入市中國(guó)象棋前三強(qiáng).A說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么3也進(jìn)

入.”8說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么C也進(jìn)入.”C說(shuō)：“如果我進(jìn)入，那么D也進(jìn)入.”￡）說(shuō)：“如果我進(jìn)入，

那么E也進(jìn)入，”大家都沒(méi)有說(shuō)錯(cuò)，則進(jìn)入前三強(qiáng)的三個(gè)人是（）

A.A,B,CB.B,C,DC.C,D,ED.D,E,A

5.如圖，在AABC中，ZABC=45°,AC=5,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)（）

A.7B.6C.5D.4

@Z1=Z3；?Z3=Z5；@Z4+Z7=180°；@Z5+Z3=180°.能判斷a||b的是().

A.①②④B,①③④C.①②③④D.①③

鞏固訓(xùn)練

1.利用反證法證明命題”在/4BC中,若AB=AC,則4<90?！睍r(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.若AB=AC,貝l|ZB>90。B.若ABwAC,則/B<90°

C.若AB=AC,則NA.90。D.若ABHAC,貝ljNA.90。

2.如圖所示，如果BD平分/ABC,補(bǔ)上一個(gè)條件作為己知，就能推出AB〃CD.

3.如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：BD//EC；/D=/C；ZA=ZF.

（1）請(qǐng)以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個(gè)命題?

（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請(qǐng)你選擇一個(gè)真命題加以證明.

題型三逆命題和逆定理

7.下列各命題的逆命題成立的是（）

A.對(duì)頂角相等

B.如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等

C.兩直線平行，同位角相等

D.如果兩個(gè)角都是45。，那么這兩個(gè)角相等

8.數(shù)學(xué)中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題.例如：如果a=2,那么

a2=4.下列命題中，具有以上特征的命題是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.如果同=1,那么。=1

c.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D.如果龍〉y,那么如＞沖

9.已知下列命題：①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④三

條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.已知下列命題：①若則同=-。；②若胸貝物AW；③三角形的中線把三角形分成面積相

等的兩部分；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列命題中，其逆命題成立的是（填序號(hào)）

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c（c為最長(zhǎng)邊）且滿足〃+62=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

③如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等;

④如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；

3.寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題.

（1）若次則

（2）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.

（3）若奶=0,貝!Ja=0.

題型四線段垂直平分線的性質(zhì)

10.如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分垂足為E,下列結(jié)論不正確的是（）

A.ABE8ADECB.BC=CD

C.AB=DCD.AC平分N3AD

11.如圖，在RtZ\A3C中，ZC=90°,A3邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E,連接A￡）,AD

將一C4s分成兩個(gè)角，且/C4D:/B4D=2:5,則NADC的度數(shù)是（）

12.如圖，VABC邊A3,AC的垂直平分線DM,EN相交于點(diǎn)O,M,N在BC邊上，若/M4N=20。,

則NA4c的度數(shù)為（）

A.100°B.120°C.140°D.160°

鞏固訓(xùn)練

1.A、氏C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，要求在他們中間放一

個(gè)木凳，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃赩ABC的（）

A.三邊中線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

2.如圖，在.ABC中，AB=U,AC=16,BC=22,4B的垂直平分線分別交力B,BC于點(diǎn)、D、E,AC

的垂直平分線分別交AC,于點(diǎn)尸、G,則AEG的周長(zhǎng)為.

3.如圖，在VABC中，/是AC的垂直平分線，交3C于點(diǎn)。，AB=AD,ZBAD=2.0°.

（1）求zB的度數(shù);

（2）求—C的度數(shù).

題型五線段垂直平分線的判定

13.如圖，在VABC中，已知點(diǎn)。在上，S.BD+AD=BC,下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)B.AD平分工BAC

C.點(diǎn)。在AC的垂直平分線上D.點(diǎn)。在AB的垂直平分線上

14.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形ABC。是一個(gè)箏形，其中AD=C。，AB=CB,

小明在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，連結(jié)了AC,BD,并設(shè)交點(diǎn)為。，得到了如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

D

A.ACJ.BDB.AO=CO=-AC

2

C.AABD^ACBDD.AO+DO=BO

15.如圖，點(diǎn)尸在直線/外，請(qǐng)閱讀以下作圖步驟：①以點(diǎn)P為圓心，以大于點(diǎn)尸到直線/的距離的長(zhǎng)為半

徑作弧，交/于點(diǎn)A和點(diǎn)8；②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于《A3的同一長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于

點(diǎn)。，如圖所示；③作射線尸。，連接R4,PB,AQ,BQ,根據(jù)以上作圖，下列結(jié)論正確的是（）

B.Nl=/3且尸ABQ

C./2=/3且尸QSASD.N1=N2且

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊后點(diǎn)8落在點(diǎn)E處,則下列關(guān)于線段BE與AC的關(guān)系描述正確的是（）

A.AC=BEB.AC和8E相互垂直平分

C.ACVBE^.AC=BED.AC_L3E且AC平分BE

2.風(fēng)箏又稱“紙鶯”、“風(fēng)鶯”、“紙ST等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有2000多年的歷史，如圖是

一款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知=BC=CD,AC=90cm,BD=60cm,制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料

至少為cm2.

A

3.如圖，在VA3C中，邊A3,AC的垂直平分線分別交2C于點(diǎn)E.

⑴若2C=15,DE=4,貝IJAD+AE=_；

(2)若ZBAC=100。，求1D4E的度數(shù);

（3）設(shè)直線DM,EN交于點(diǎn)。，判斷點(diǎn)。是否在8C的垂直平分線上.

題型六作垂線

16.如圖，在VABC中，AC=3,BC=5,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則△ADC的周長(zhǎng)是（）

A.13B.11C.8D.6.5

17.如圖，在VABC中，分別以A,8為圓心，大于線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)。，E,

連結(jié)DE,交3c于點(diǎn)P.若AC=3,△ACP的周長(zhǎng)為10,則2C的長(zhǎng)為（）

D

B

E

A.6B.7C.8D.9

18.如圖，在VABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于工A8長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)/、N,作

2

直線腦V,交5C于點(diǎn)。，連接若AC=7,BC=12,則八40。的周長(zhǎng)為（)

C.19D.26

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：①分別以8,C為圓心，以大于g8C的長(zhǎng)為半徑作弧，

兩弧相交于兩點(diǎn)跖N；②作直線肱V交于點(diǎn)D,連接CD若AC=3,AB=9,則ACD的周長(zhǎng)為（）

2.如圖，在VA3C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

相交于點(diǎn)M和N；②作直線分別交邊AB,BC于點(diǎn)。和E,連接CD.若/BC4=90。，AB=8,則

CD的長(zhǎng)為.

3.已知：線段左，Za,利用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

k

（1）求作：線段上的垂直平分線.

(2)求作：ABC,使AB=BC=k,/B=/a.

題型七角平分線的判定與性質(zhì)

19.如圖，在VA5c中，AB=8,AC=6,。為VABC角平分線的交點(diǎn)，若的面積為20,則△ACO

的面積為是（）

20.如圖，在VABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，/ASC的平分線8。與/ACE

A.35°B.45°C.55°D.65°

21.如圖，在RtAABC中，/A4c=90。，AB=\,M為邊2C上的點(diǎn)，連接AM,如果將沿直線AM

翻折后，點(diǎn)8恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是（）

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)。.已知AB=16,CD=5,則△ABD

的面積為（）

A

A.50B.40C.30D.20

2.如圖，是VABC的角平分線，DE±AB,DE=2,AB=8,VABC的面積為14,則3C=

3.如圖，在RtZXABC中，？B90?.

(1)尺規(guī)作圖：作/A的角平分線AP,交BC于點(diǎn)Z).(基本作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并標(biāo)明字母)

(2)若AB=3,BC=4,AC=5,求的長(zhǎng)及ACE)的面積.

題型八作角平分線

22.如圖，在VA3C中，ZC=90°,利用尺規(guī)在AC,A3上分別截取AE,AD,使鉆=AD,分別以

E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在4c內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線AF交BC于點(diǎn)G.若CG=4,

AB=8,則ASG的面積為()

A.12B.16C.24D.32

23.如圖，RtZ^ABC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在BC,上分別截取BE,BD,使BE=BD,分別以DE

為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NCSA內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線班'交AC于點(diǎn)G.在AB上找

一點(diǎn)尸，使得AP=AG,若ZAPG=65。，則ZABG的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.18°D.15°

24.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交AB、3c于點(diǎn)M、

N、再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧.兩弧交于點(diǎn)P,作射線3尸交邊AC于點(diǎn)D若

CD=6,AB=12,則△ABD的面積為（）

A.6A/3B.12A/3C.18也D.24出

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在VA3C中，ZC=90°,ZCAB=50°,按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交A3、AC于點(diǎn)￡、F；

②分別以點(diǎn)E、尸為圓心，大于所長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)G；

③作射線AG,交BC邊于點(diǎn)D.則/WC的度數(shù)為（）

A.40°B.55°C.65°D.75°

2.如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=40°,以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC

于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)〃、N為圓心，大于;的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接AP并延長(zhǎng)，交BC

于點(diǎn)D則°.

3.如圖，電信部門(mén)要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等,

到兩條高速公路相和”的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.（尺規(guī)作圖）

題型九直角三角形全等的判定與綜合

25.如圖，在VABC中，ZC=90°,DE_LAB于點(diǎn)E,CD=DE,NCBD=20°,則/A的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.20°

26.如圖,是VABC的角平分線，DF，于點(diǎn)尸，點(diǎn)E,G分別在A8,AC上，且DE=DG,若SAADG=24,

S/\AED~18,貝I]DE尸的面積為（）

C.5D.6

27.如圖，在VABC中，ZABC=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,DE=DC,若△ADC的面積為10,

△AEO的面積為6,貝!LOBE的面積為（）

B

￡

D

A.2B.2.5C.3D.4

鞏固訓(xùn)練

1.ABC中，NC=65。，AD是8C邊上的高，A￡>=8￡>,點(diǎn)E在AC上，3E交4D于點(diǎn)/，BF=AC,

貝ljNAFB=()

C.55°D.65°

2.如圖，點(diǎn)。在BC上，NBED=NCDF=90,BD=CF,BE=CD.若NA=40.則/即P=

3.如圖，在VABC中AB=AC,尸是BC上的一點(diǎn)，BD±AF,CELAF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AD=CE.

⑴求證：△ABD至△AEC.

(2)判斷8。、DE、CE這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題型十含30度角的直角三角形

28.如圖，在VA3C中，AB=AC,NC=30。，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE垂直A8交3c于點(diǎn)E,

DE=2,則CE的長(zhǎng)度為()

A

n

A.7B.9C.8D.10

29.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AD平分ZA4C,交AC邊上的高BE于點(diǎn)尸.己知NC=30。,

BC=n,則()

A.2B.3C.4D.5

30.VABC中，AB=AC=12cm,尸在線段BC上，PE_LAB于E,PDJ.AC于。，若它一腰上的高與另

一腰所成的銳角等于60。，則PE+PD的值為（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，ZAO8=30。，點(diǎn)。是—AO3平分線OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。E〃03交0A于點(diǎn)E,作。尸，OB,

垂足為點(diǎn)RDF=35,貝UDE的長(zhǎng)為（）

C.7.5D.5

2.如圖，在VABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CE=2,邊AB的垂直平分線交48于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,

那么AE的長(zhǎng)為.

3.如圖，在VABC中，ZC=90°,NA=30。，AB=60cm,動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在A3、

BC邊上勻速移動(dòng)，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，P、。兩點(diǎn)

同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/S.

(1)當(dāng)/為何值時(shí)，PBQ為等邊三角形?

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，P8Q為直角三角形?

題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半

31.如圖，在VABC中，。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)下在￡)￡1上，且ZAFB=90。，若AB=8,EF=3,

則BC的長(zhǎng)為()

A

BC

A.11B.12C.12.5D.14

32.如圖，在Rt^ABC中，2C的中垂線與BC交于點(diǎn)。，與AC交于點(diǎn)E,連接BE,尸為BE的中點(diǎn),

若DF=2,則AE的長(zhǎng)為()

33.如圖，在中，ZACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)。，ZBCD=18°,E是斜邊AB的中點(diǎn)，則/OCE

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，AMON=90°,矩形ABC。的頂點(diǎn)A、8分別在邊ON,ON上，當(dāng)3在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨

之在上運(yùn)動(dòng)，矩形ABC。的形狀保持不變，其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距

C.75+1D.72+1

2.如圖，在VABC中，/ABC=90。，點(diǎn)。是8C邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)石是凡。的中點(diǎn)，連結(jié)BE.若點(diǎn)。在邊

AC的垂直平分線上，且OC=6,則BE的長(zhǎng)為.

3.如圖，在VABC中，中，48于點(diǎn)尸，3￡，4。于點(diǎn)￡,M為BC的中點(diǎn).

(1)求證：歷是等腰三角形；

⑵若N￡BC=30。，BC=10cm,求CE的長(zhǎng)度.

題型十二勾股定理的證明方法

34.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

ba

h

35.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中不能證

明勾股定理的是（）

36.在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對(duì)于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的

是（）

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

鞏固訓(xùn)練

1.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下列四幅圖中，不能驗(yàn)證勾股定理的是（）

2.如圖，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，則4個(gè)直角三角形面積+小正方形

面積=大正方形面積，即+=，化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2.

3.我們知道，有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對(duì)

的邊叫斜邊(如圖①所示).數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的

平方.即如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是。和6,斜邊長(zhǎng)度是c,那么/+62=02.

(1)直接填空:如圖①，若。=3,6=4,則。=；若。+匕=4,。=3.則直角三角形的面積是.

(2)觀察圖②，其中兩個(gè)相同的直角三角形邊AK在一條直線上，請(qǐng)利用幾何圖形的之間的面積關(guān)系,

試說(shuō)明片+匕2=°2.

題型十三以弦圖為背景的計(jì)算題

37.如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積

是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a,較短直角邊為6,則(a+b)2的值為()

A.25B.19C.13D.169

38.如圖，用4個(gè)全等直角三角形與1個(gè)正方形拼成正方形圖案.已知大正方形面積為100.小正方形面

積為9.若用x，y表示直角三角形的兩條直角邊(x>y).下列說(shuō)法正確的有()

?x2+y2=100；②x-y=3；?X+^=A/191；?xy=—

A.①②B.②③C,①②③D,①②③④

39.“趙爽弦圖”巧妙地利用了面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”

是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為

a，較短的直角邊長(zhǎng)為6,若ab=6,大正方形的面積為13,則小正方形的邊長(zhǎng)為.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形A5CD,中間陰影部分是一個(gè)小正方形這樣

就組成一個(gè)“趙爽弦圖”.若AB=10,EF=2,則ABE的面積為（）

2.如圖是在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的

一個(gè)大正方形，若大正方形的邊長(zhǎng)是13cm,每個(gè)直角三角形較短的一條直角邊的長(zhǎng)是5cm,則小正方形

3.對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

a

a

（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的.用兩種不同的方法

計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是二

（2）如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（“6為直角邊）和一個(gè)

正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究。、6、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系.

題型十四勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題

40.如圖，在4x5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若是VABC的高,

則5D的長(zhǎng)為（）.

3L

A.2B.V3C.3D.-V3

41.如圖，在3x2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C,。都在格點(diǎn)上，以A為圓

心，48的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)E,貝"CE的長(zhǎng)為（）.

A.3-后B.幣—2C.3-75D.2忘-2

42.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，下面結(jié)論：①AB=26；

②ZBAC=90。；③VABC的面積為10；④點(diǎn)A到直線2C的距離是2.正確的結(jié)論共有（）個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示邊長(zhǎng)為1的的正方形網(wǎng)格中，VABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)

三角形，則點(diǎn)A到的距離等于（）

2.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①AB=2'

②/ABC=90。；③VABC的面積為10；④點(diǎn)A到直線的距離是2,其中正確的是.（填序號(hào)）

3.（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為■的正方形，要求所畫(huà)正方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上;

（2）如圖2,面積為7的正方形ABC。的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)

E在點(diǎn)A的右側(cè)）且=則點(diǎn)E所表示的數(shù)為_(kāi)；

（3）以圖1中1個(gè)方格的邊長(zhǎng)為單位1,畫(huà)出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示2+J萬(wàn)和2-

題型十五用勾股定理解三角形

43.如圖，ZB=ZD=90°,AC=EC,AB=4,￡0=2,點(diǎn)C在線段5。上，若NACE=90。，則"CE的

面積是（）

44.如圖，Rt^ABC中，?B90?,E為48邊上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作ADLCE,垂足為

D,若AD=7,AB=20,BC=15.記VADE的面積為岳，3CE的面積為S?，則$2-H的值為（）.

45.如圖，在VABC中，NABC=90。，AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上444，且4,

之間的距離為1,44之間的距離為2,則AC的值為（）

D.Vio

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，直線/上有三個(gè)正方形mb,c.若a,b的面積分別為5和11,則c的面積為(

A.6B.16C.4D.55

2.如圖，在RtABC中，ZABC=90°,AB=BC=2?，將一ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

連接CE,則CE的長(zhǎng)是

3.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線折疊，使

點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)E處，試求C。的長(zhǎng).

⑴求跖的長(zhǎng);

(2)求的長(zhǎng).

題型十六勾股定理與折疊問(wèn)題

46.如圖，三角形紙片ABC中，ABAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD和所將紙片折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)C

都落在邊BC上的點(diǎn)尸處，則EC的長(zhǎng)是（）

47.如圖，Rt^ABC中，ZA=90°,AC=12,AB=9,DEJ.AC,CD=^BC,CE=：AC,尸是直線AC

上一點(diǎn)，把沿。尸所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)H處，CP=（）.

48.如圖，ZACB=90°,AC=6,BC=8,將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在48上的點(diǎn)。處；再將邊8C沿

CP翻折，使點(diǎn)2落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)&處，兩條折痕與斜邊43分別交于點(diǎn)及F,則線段8下的長(zhǎng)為

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=6,AD=18,將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，點(diǎn)C落在

點(diǎn)H的位置，折痕為EP,則3E的長(zhǎng)度為（）

A.6B.10C.24D.48

2.如圖，在直角VABC中，直角邊AC=6,3c=8,現(xiàn)要在BC上找一點(diǎn)使得將.ACD沿AD翻折后,

點(diǎn)C落在斜邊A3上，則CD=.

3.如圖，5C=20cm,寬AB=16cm的長(zhǎng)方形紙片ABC。；將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊

上的點(diǎn)尸處，解答下列問(wèn)題：

⑴求所的長(zhǎng);

（2）求EC的長(zhǎng).

題型十七勾股定理的應(yīng)用1

49.如圖，一架25分米長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距墻底部7分米，如果梯子的

頂端沿墻下滑4分米，那么梯子的底端將向外平滑（）

50.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹

子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.x2+62=102B.(10-X)2+62=X2

C.x2+(10-x)2=62D.X2+62=(10-X)2

51.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器A,離地距離AB=2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感

應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高L5米的學(xué)生剛走到離門(mén)間距CB=1.2米的地方時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)，則

該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度AD為（）

感應(yīng)器”

A.1.2米B.1.3米C.1.5米D.2米

鞏固訓(xùn)練

1.一架長(zhǎng)10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那

么梯足將滑（）

A.0.5米B.0.75米C.1米D.2米

2.如圖在一棵樹(shù)的10m高的。處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只

爬到樹(shù)頂C處后直接躍向池塘A處.如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)高_(dá)m.

3.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高AC是10米，另一棵樹(shù)高BD是4米，兩樹(shù)相距8米（即C￡>=8米），一只

小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢B點(diǎn)處，則小鳥(niǎo)至少要飛行多少米？

題型十八勾股定理的應(yīng)用2

52.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹

高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，在VA3C中，

ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC=x,則可列方程為（）

222

A.x+(10-x)=3B.尤2+32=(10-x『

C.C+32=10?D.(10-X)2+32=X2

53.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm,則這支鉛筆在筆筒

內(nèi)部的長(zhǎng)度/的取值范圍是（）

A.12cm</<15cmB.9cm<l<12cm

C.10cm<Z<15cmD.10cm<l<12cm

54.如圖，鐵路腦V和公路P。在點(diǎn)。處交匯，ZQON=30°.公路P。上A處距。點(diǎn)240米，如果火車(chē)行

駛時(shí)，周?chē)?00米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響.那么火車(chē)在鐵路MN上沿QV方向以20米/秒的速度行駛時(shí)，A

處受噪音影響的時(shí)間為（）

C.20秒D.30秒

鞏固訓(xùn)練

1.《九章算術(shù)》有個(gè)問(wèn)題“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問(wèn)折高者幾何？意思是：一

根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)，問(wèn)

折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尤尺，則可列方程為()

A.%2-4=(10-X)2B.%2-42=(10-X)2

C.X2+4=(10-%)2D.X2+42=(10-X)2

2.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別是8cm、6cm、V^Tcm,則該長(zhǎng)方體盒子內(nèi)可放入的木

棒(木棒的粗細(xì)忽略不計(jì))的長(zhǎng)度最長(zhǎng)是cm.

D'c

\/D---------------

4B

3.今年，第13號(hào)臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”9月16日登陸后的影響還在持續(xù)，第14號(hào)臺(tái)風(fēng)“普拉?！焙偷?5號(hào)臺(tái)風(fēng)“蘇

力”又于19日登陸.A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于距離A市52km的8處(即AB=52km),正以8km/h

的速度沿BC直線方向移動(dòng).

B

(1)已知A市到BC的距離AD=20km,那么臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？

⑵如果在距臺(tái)風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長(zhǎng)?

題型十九勾股定理的逆定理

55.如圖，已知NA=90。，AC=AB=4,CD=2,BD=6.則NACD的度數(shù)為()

A.30°B.35°C.40°D.45°

56.若VA3C的三邊長(zhǎng)分別為2點(diǎn),而衣則VABC的面積為()

A.2月B.2A/2C.4夕D.473

57.下列條件能判定VABC是直角三角形的是（）

A.ZA—NB=NCB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.AB=6，BC=4，AC=V5D.AB-.BC:AC=2:2:3

鞏固訓(xùn)練

1.VABC中，NA、/B、NC所對(duì)的邊分別為0、b、c,由下列條件不能判斷它是直角三角形的是()

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.ZA=ZB-ZC

C.a2-(b+c)(b-c)D.a:b:c=3:4:5

2.如圖，VABC中，E為AB邊上的一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A作ADLCE,垂足為。，若AD=7,

AB=20,BC=15,DC=2.4.

⑴4=________

（2）記VADE的面積為S-3CE的面積為邑，則S2-H的值為.

3.如圖，在一塊直角三角形（NACB=90。）土地上，準(zhǔn)備規(guī)劃出圖中陰影部分作為綠地，若規(guī)劃圖設(shè)計(jì)

中要求NA￡>C=90。，AD=8,CD=6,AB=26,求綠地的面積.

題型二十最短路徑問(wèn)題

58.如圖，一圓柱體的底面圓周長(zhǎng)為12,高A5為8,8c是上底的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱

()

C.4日D.10

59.如圖，在長(zhǎng)方體ASCD-AB'C'D'中，AB=BB'=4,AD=6,一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬

到C'點(diǎn)，求螞蟻怎樣走路程最短，最短路程是（）

C.2yfnD.10

60.如圖，要在河邊/上修建一個(gè)水泵站，分別向A村和8村送水，已知A村、8村到河邊的距離分別為2km

和5km,且C、。相距"Tkm,則鋪水管的最短長(zhǎng)度是（）

B

A

------3-----------------°-------/

—C--------------D——

A.5kmB.2&kmC.7km