北京大學(xué)2023中學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題真題答案詳解

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2023年北大夏令營(yíng)試題解答與評(píng)析2023年8月5日和6日進(jìn)行了兩場(chǎng)考試，每天上午各一場(chǎng)，每場(chǎng)4小時(shí)4題．試題第1，5，7題較簡(jiǎn)單，第3，4，6題難度中等，第2，8題較困難．試題整體思想性較強(qiáng)，需要將問(wèn)題想到位，想清楚．試題1．設(shè)奇數(shù)，求證：是無(wú)理數(shù).2．對(duì)正整數(shù)，用表示在十進(jìn)制中的數(shù)碼和之和，求證：對(duì)任意正整數(shù)，3．在中，是最長(zhǎng)邊，設(shè)的中垂線與直線分別交于點(diǎn)關(guān)于此中垂線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)的中垂線與直線分別交于點(diǎn)關(guān)于此中垂線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)交于點(diǎn)，的外接圓與直線交于另一點(diǎn)，的外接圓與直線交于另一點(diǎn)，過(guò)作的平行線交直線于，設(shè)是的交點(diǎn)，是外接圓平行于的直徑，求證：直線交于一點(diǎn)．4．將一個(gè)方格表的每個(gè)格黑白染色,滿足每個(gè)小正方形中均至少有一個(gè)黑格,且每個(gè)黑格均在一個(gè)小黑色正方形中,記為每行中黑格的個(gè)數(shù),為每列中黑格的個(gè)數(shù),求的最大值.5．給定正整數(shù)．求所有的數(shù)組，使得對(duì)任意滿足的實(shí)數(shù)組，都有．6．是否存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得？7．魔術(shù)師和小美在的方格表中放入或的骨牌．魔術(shù)師先放入一些兩兩無(wú)公共格的骨牌，滿足對(duì)任意，方格表中每個(gè)的正方形至多與個(gè)已放入的骨牌有公共格，求證：小美可以再放入骨牌恰覆蓋方格表中余下的方格．8．設(shè)簡(jiǎn)單有向圖的頂點(diǎn)是（10行1000列）的格點(diǎn)．的邊滿足：除最后一列外，每個(gè)頂點(diǎn)恰有三條有向邊指向下一列的三個(gè)不同頂點(diǎn)；除第一列外，每個(gè)頂點(diǎn)恰有三條有向邊被前一列的三個(gè)不同頂點(diǎn)指向；中無(wú)其他邊．對(duì)最后一列的每個(gè)頂點(diǎn)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，對(duì)其余每個(gè)頂點(diǎn)，若從出發(fā)指向，則遞歸定義，求證：．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．證明見(jiàn)解析【分析】證明無(wú)理數(shù)，常使用反證法【詳解】方法一：先證明2個(gè)引理：引理1：首一整系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)若是有理數(shù)，則必是整數(shù).證明：設(shè)有首一整系數(shù)多項(xiàng)式.若有一個(gè)有理數(shù)零點(diǎn)，則，故，從而是的倍數(shù)，但互質(zhì)，所以是的倍數(shù)，得，故是整數(shù).引理1證畢.引理2：對(duì)正整數(shù)，存在首一整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意的都有.證明：設(shè)多項(xiàng)式列滿足，，.則，，.再結(jié)合恒等式，歸納即知.而根據(jù)遞推式，可知總是整系數(shù)多項(xiàng)式，且時(shí)首項(xiàng)系數(shù)為1，故引理2得證.回到原題，設(shè)是正整數(shù)，若是有理數(shù)，可設(shè).則，從而，.據(jù)引理2，設(shè)，則是首一整系數(shù)多項(xiàng)式，且.而是有理數(shù)，根據(jù)引理1，是整數(shù)，所以是整數(shù).再由是正整數(shù)，知.而奇數(shù)，則一定是無(wú)理數(shù).方法二：用反證法,若是有理數(shù),設(shè)為,其中為正整數(shù).則記次多項(xiàng)式滿足，其中，，一方面，可由遞推特征方程求出，另一方面，由遞推關(guān)系式歸納可得，因此的根為，于是有，于是有且,得為一根.化簡(jiǎn)得,模并結(jié)合,可得,與為大于1的奇數(shù)矛盾!方法三：用反證法,假設(shè)存在大于1的奇數(shù)是有理數(shù).設(shè),則,下面證明:對(duì)任何正整數(shù),且1.當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.2.設(shè),且由得設(shè),則,且.因此，對(duì)一切正整數(shù)都成立,所以,故,因此，又，所以或2的方冪,而這與是大于1的奇數(shù)矛盾.【點(diǎn)睛】法二引入切比雪夫多項(xiàng)式,是考場(chǎng)上大多數(shù)同學(xué)的證法.法三較為巧妙.由法一可以看出是代數(shù)整數(shù),故若其為有理數(shù)則必定為整數(shù),則為奇數(shù)的條件可加強(qiáng)為.法二、法三本質(zhì)上和法一是一樣的.2．證明見(jiàn)解析.【分析】記為在十進(jìn)制中數(shù)碼和．不妨設(shè)，只需證明；采用數(shù)學(xué)歸納法證明，若命題對(duì)小于的數(shù)均成立，設(shè)，關(guān)鍵的想法是把看作在退位上對(duì)應(yīng)最佳，從而走通歸納法．【詳解】證明：記為在十進(jìn)制中數(shù)碼和．不妨設(shè)，只需證明，對(duì)歸納，時(shí)成立．若命題對(duì)小于的數(shù)均成立，設(shè)．①．設(shè)．對(duì)．有，又歸納假設(shè)有，兩式相加即證，即證.②．有，只需證，又時(shí)，．只需證，即，化為歸納假設(shè)．③．設(shè)．有，只需證.若，化為更弱的①②情形；若，即,化為更弱的更小情形．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題較為復(fù)雜，雖然入手點(diǎn)較多，但無(wú)論是直接表示還是討論進(jìn)位次數(shù)最多的數(shù)都容易卡住．關(guān)鍵的想法是把看作在退位上對(duì)應(yīng)最佳，從而走通歸納法．除了此作法外，還可以應(yīng)用用類似Kummer公式表示．通過(guò)討論進(jìn)位次數(shù)來(lái)解決一部分的情形，其余的情況可用歸納法解決．3．證明見(jiàn)解析【分析】設(shè)為與交點(diǎn)，得到共圓，再由，得到共圓1，再由共圓2，進(jìn)而求得與圓1相切，且，設(shè)與交于，求得和共圓，進(jìn)而求得，證得與重合，即可得證．【詳解】由題意，可得共線，如圖所示，設(shè)為與交點(diǎn)，則是的外心，由共圓，有，可得共圓，由，可得共圓，記為圓1．又由，可得共圓，記為圓2，由，可得,再由，得與圓1相切，且，再結(jié)合，可得為圓1與圓2的根軸．設(shè)與交于，由，得與圓2相切，故為圓1，圓2，點(diǎn)圓的根心，由，可得共圓，進(jìn)而共圓，同理共圓，又由共圓，可得，延長(zhǎng)與圓1交于，由在圓1和點(diǎn)圓根軸上，可得，故，所以共圓，直線與圓1交于，故與重合，即共線．4．1840727700【分析】染色問(wèn)題，通常需要通過(guò)構(gòu)造模型解決.【詳解】構(gòu)造為行均染黑,其余染白.因?yàn)?，因此只需?只需，設(shè)第行中某段連續(xù)黑格長(zhǎng)為,由每個(gè)黑格均在黑色正方形中,第、第行中與這一段同列的黑格總數(shù)個(gè).設(shè)第行中某段連續(xù)白格長(zhǎng)為,由每個(gè)小正方形中均至少有一個(gè)黑格,第、第行中與這一段同列黑格數(shù)各有個(gè).若，由以上論述，,由及二次函數(shù)凸性，有結(jié)合得證.若,第行白格被分為至多674段,故，，得證.將這674條式子與相加得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：答案較容易猜出，此后調(diào)整法可以走通，也可以通過(guò)取等配湊均值.這一類題目需敢于下手處理，抓住要點(diǎn)即可做出，難度中等.5．滿足的所有數(shù)組【分析】容易看出數(shù)列應(yīng)集中于較大的一側(cè)，進(jìn)而用密度大于刻畫(huà)得到最后答案，構(gòu)造和證明自然就得到了．【詳解】答案為滿足的所有數(shù)組，證明如下：若存在，即，取，，，，使趨向于且之和為0，則，趨向于0時(shí)，矛盾!若有，即且時(shí)該式大于等于，不取等，所以，即，得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：容易看出數(shù)列應(yīng)集中于較大的一側(cè)，進(jìn)而用密度大于刻畫(huà)得到最后答案，構(gòu)造和證明自然就得到了．6．不存在【分析】通過(guò)對(duì)次數(shù)歸納證明，然后利用反證法證明結(jié)論.【詳解】不存在常數(shù)，使存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得．對(duì)次數(shù)歸納證明．時(shí)平凡．若對(duì)成立，考慮的情況．用反證法．若存在常數(shù)，質(zhì)數(shù)和多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得．引入優(yōu)化版本的Hensel引理：為整數(shù)，由反證假設(shè)中至少有個(gè)正整數(shù)使得．待定正整數(shù)，設(shè)有個(gè)正整數(shù)使得．若不整除，則中有個(gè)數(shù)滿足；（由），即，所有模同余，至多個(gè)，若整除，則中有個(gè)數(shù)滿足．故，取，即．則存在個(gè)數(shù)滿足．由的任意性及為定值，也即存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得．又，由歸納假設(shè)得矛盾．7．證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)，并且給出構(gòu)造，即可證明.【詳解】證明只用到的情況，即每個(gè)只與一個(gè)給定多米諾相交，這時(shí)給出構(gòu)造．將棋盤(pán)劃分為個(gè)兩兩不交的．若某個(gè)與給定多米諾均不交，用兩個(gè)多米諾填充該；若與一個(gè)給定多米諾相交，分類：（1）給定多米諾落在內(nèi)部．則再放入一個(gè)多米諾填充該；（2）給定多米諾與這個(gè)（記為）與另一個(gè)（記為）均恰有一格相交．由條件，相鄰且不與其他任一個(gè)給定多米諾相交，易得可再放入三個(gè)多米諾填充和．綜上，找到了符合條件的構(gòu)造．【點(diǎn)睛】評(píng)注很有腦筋急轉(zhuǎn)彎的感覺(jué)．敢于用情況去做可以得到意外簡(jiǎn)單的答案．也可用一般的及Hall定理處理．8．證明見(jiàn)解析【分析】首先證明，再推理證明.【詳解】證明設(shè)行列處數(shù)為，記．記為列指向列的有向邊．下證對(duì)均成立．對(duì)某個(gè)，記列上的數(shù)為列上的數(shù)為．存在使得兩兩不同，中各出現(xiàn)3次．則最后一個(gè)等號(hào)可以