基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)公式教學(xué)設(shè)計

摘要：兩角差的余弦公式作為三角恒等變換公式中的“母公式”，其發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)過程極為重要，為后續(xù)兩角和、二倍角等公式的生成提供方法借鑒。教師教學(xué)“兩角差的余弦公式”時，可以引導(dǎo)學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)并體悟兩角差的余弦公式，將學(xué)生思維引向深層，凸顯數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的深度，在公式的主動生成中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)公式；教學(xué)設(shè)計；核心素養(yǎng)；兩角差的余弦公式數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。課堂是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的主陣地，筆者現(xiàn)以“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計為例，探討在數(shù)學(xué)公式教學(xué)中發(fā)展高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的策略。一、教學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)目標(biāo)確立“兩角差的余弦公式”來自人教版高中數(shù)學(xué)必修一第五章5.5三角恒等變換的第一課時，本課屬于公式研究型課，介紹了兩角差的余弦公式，這個公式是其他三角恒等變換的邏輯起點。與傳統(tǒng)的特殊角關(guān)系不同，該公式針對的是任意兩個角，它們的頂點都是坐標(biāo)原點，但終邊位置可以是任意的。課本利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性和兩點距離公式來建立坐標(biāo)之間的聯(lián)系，推導(dǎo)了該公式。這種方法簡潔明了，與誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法一脈相承，體現(xiàn)了知識之間的聯(lián)系，因此本課在三角函數(shù)教學(xué)中起到承上啟下的作用。從知識儲備方面看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了弧度制、銳角三角函數(shù)和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，這些知識有助于他們理解和接受兩角差的余弦公式。此外，學(xué)生在本單元的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有了用單位圓證明誘導(dǎo)公式的經(jīng)歷，他們能夠?qū)⒋朔椒惐群瓦w移到本節(jié)課。然而，學(xué)生在認知方面存在一些障礙：一是對兩角差余弦展開式感到困惑，二是在證明過程中容易忽視“任意性”。基于上述分析，筆者從知識、能力和素養(yǎng)三個方面確立本課教學(xué)目標(biāo)如下。在知識方面，學(xué)生經(jīng)歷“提出問題—猜想結(jié)果—論證思路—解決問題”的過程，體會單位圓法證明的通性；理解兩角差的余弦公式本質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示。在能力方面，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，通過觀察、實驗、猜想和證明，提升分析、歸納、數(shù)形結(jié)合與合作交流的能力；經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，領(lǐng)悟兩角差的余弦公式的本質(zhì)，掌握兩個角的差角與某一個角三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，能運用公式進行簡單的恒等變換，經(jīng)歷從提出問題到解決問題的過程，提升運用圓的性質(zhì)證明命題的能力。在素養(yǎng)方面，學(xué)生能從特殊情形中發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論并合理猜想目標(biāo)，對任意角α、β及α-β進行界定，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；經(jīng)歷從特殊到一般進行猜想以及嚴謹論證過程，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；在求解cos15°的過程中構(gòu)建幾何模型，在單位圓上找出角的始邊與終邊，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；通過推導(dǎo)與運用公式發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。二、以解決問題為主線的教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題教師根據(jù)用無人機運送愛心食物的場景創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生思考。教師提出問題：已知點A對點C的俯角為60°，點A對點B的俯角為15°，AB距離28米，計算無人機從起始點A到達小紅家點C的距離AC是多少米。這個情境設(shè)計貼近生活，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚，他們能夠在情境中將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實問題聯(lián)系起來。同時，問題的設(shè)置能夠引發(fā)學(xué)生對角度和距離的思考，并促使他們運用已學(xué)知識解決問題?！皠?chuàng)設(shè)情境，提出問題”環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生進入學(xué)習(xí)的起點，教師需要在本環(huán)節(jié)通過情境引入和問題提出，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生思考，使他們能夠主動思考和解決問題，主動建立已有知識與本課所學(xué)知識的聯(lián)系。同時，通過將數(shù)學(xué)知識與實際問題相結(jié)合，幫助學(xué)生認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。（二）實驗操作，合理猜想為解決教師提出的問題，學(xué)生提出了兩種思路。思路一是通過構(gòu)造底角為15°的等腰三角形（如圖1所示），并進一步建構(gòu)30°、60°的特殊三角形來得出cos15°；思路二是通過巧拼三角形（如圖2所示），讓45°與30°作差，構(gòu)造出15°來得出cos15°。兩種思路都涉及特殊三角形構(gòu)造和運用。接著，學(xué)生根據(jù)思路進行實際操作。他們使用尺子、量角器、計算器等工具輔助操作和測量，運用三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)對稱性等知識進行推導(dǎo)和計算，驗證他們的猜想或推理的準確性。最后，教師指導(dǎo)學(xué)生記錄實驗操作的步驟、所得數(shù)據(jù)和結(jié)果，并進行分析總結(jié)。學(xué)生通過比較實驗結(jié)果與猜想，進一步探究幾何關(guān)系的規(guī)律和性質(zhì)。如果實驗結(jié)果與猜想一致，說明猜想正確，可以得出結(jié)論；如果實驗結(jié)果與猜想不符，則重新思考并調(diào)整猜想，再次進行實驗操作。通過建構(gòu)特殊幾何模型與巧拼三角板，學(xué)生體會到用“形”來解“數(shù)”的價值，發(fā)展了幾何直觀和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。這個環(huán)節(jié)通過數(shù)學(xué)實驗引發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力、團隊合作與交流能力，為將所學(xué)知識運用于解決實際問題打下堅實基礎(chǔ)。（三）嚴謹論證，深化認知教師首先拋出一個問題：由誘導(dǎo)公式滿足猜想，就能夠說明猜想一定是恒成立的嗎？這個問題引導(dǎo)學(xué)生思考：即使某個公式在特定情況下成立，是否能夠推廣到所有情況下都成立。教師接著追問：如何進行嚴謹論證？這個問題引導(dǎo)學(xué)生思考如何進行嚴密的推導(dǎo)和論證。學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)證明、邏輯推理、特例分析等方法來解釋為什么這些論證是嚴謹和可信的。接著，學(xué)生通過證明三角形全等公式來驗證猜想。在這個過程中，學(xué)生需要嚴謹?shù)剡\用幾何性質(zhì)和其他數(shù)學(xué)知識，確保推導(dǎo)的正確性和嚴密性。此外，學(xué)生還需要特別注意論證過程與類比之間的區(qū)別。類比是將一個問題和已知情況進行對比的推理，而嚴謹論證則需要嚴格的邏輯推理和數(shù)學(xué)證明，不能簡單地依賴類比推理。最后，學(xué)生需要總結(jié)論證過程中的關(guān)鍵步驟、所用公式和推理方法以及得出的結(jié)論。這個環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生加深對知識的理解和運用，培養(yǎng)他們嚴謹?shù)倪壿嬎季S，同時強化他們對數(shù)學(xué)概念和幾何關(guān)系的掌握。學(xué)生之間互動、合作，從不同的角度思考問題，提高了分析問題和解決問題的能力。（四）學(xué)以致用、加深理解在這一環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了四個問題。1.證明：（1）cos[π2-α]=sinα；（2）cos[π-α]=-cosα。解答本題需通過計算和推導(dǎo)，考查學(xué)生對所學(xué)知識的理解和應(yīng)用能力。學(xué)生可以運用數(shù)學(xué)公式、幾何性質(zhì)等進行計算和推導(dǎo)，并得出結(jié)論。這個過程可以幫助學(xué)生加深對公式的理解，并提高他們運用知識的能力。2.已知cosα=[-35，]α∈[，][[π2π]]，求cos[π4-α]的值。此題要求根據(jù)給定的條件求解未知量的值。學(xué)生需要運用數(shù)學(xué)方法和技巧進行計算和推理，進而得出正確的答案，同時需要注意論證過程的嚴謹性和準確性，清晰地展示每一步的推理和計算過程，并提供詳細的解釋和論證。通過解決這個問題，學(xué)生能夠加深對公式和解題方法的理解，并提高問題解決能力。3.變式：已知cos[π4-α]=[210，]α∈[，][[π2π]]，求cosα的值。問題3是問題2的變式，是在問題2的基礎(chǔ)上進行的修改和擴展，要求學(xué)生運用相同的知識和方法來解決相應(yīng)問題。通過解決變式問題，學(xué)生可以進一步鞏固和拓展他們的知識，提高問題解決能力和思維靈活性。4.你能利用圖3驗證公式[Cα-β]嗎？學(xué)生解答此題時可以利用給定的圖示和已知條件進行幾何構(gòu)造和計算。通過這個過程，學(xué)生可以深入理解公式的推理過程和幾何意義，并體會到數(shù)學(xué)的美妙及其應(yīng)用的廣泛性。教師還可以提問學(xué)生是否能夠根據(jù)圖示推導(dǎo)出兩角差的正弦公式，激發(fā)學(xué)生的潛能，鼓勵他們在觀察和分析中發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)關(guān)系和規(guī)律。（五）梳理總結(jié)、反思升華在這個環(huán)節(jié)，教師首先利用多媒體技術(shù)展示一張流程圖，圖中呈現(xiàn)了本節(jié)課的教學(xué)邏輯、學(xué)習(xí)步驟和關(guān)鍵點，幫助學(xué)生更加清晰地理解和掌握本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。在流程圖的引導(dǎo)下，學(xué)生可以看到本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)路徑，了解各個環(huán)節(jié)之間的邏輯關(guān)系。這有助于學(xué)生將所學(xué)的知識點整合起來形成知識體系。同時，學(xué)生也可以根據(jù)流程圖梳理本節(jié)課所學(xué)的研究步驟。流程圖清晰地展示了學(xué)習(xí)過程中的具體步驟和操作，幫助學(xué)生厘清思路，掌握解題的方法和技巧。學(xué)生可以根據(jù)流程圖進行復(fù)習(xí)和回顧，加深對每個步驟的理解和記憶。除了梳理知識和學(xué)習(xí)步驟，流程圖還可以幫助學(xué)生反思和升華本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。學(xué)生可以通過觀察流程圖，回顧整個學(xué)習(xí)過程，思考自己在學(xué)習(xí)中遇到的困難、解決問題的方法和策略，以及學(xué)習(xí)的收獲和體會，發(fā)現(xiàn)自己的不足和改進的空間，進而提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)能力。（六）布置作業(yè)，拓展鞏固在本環(huán)節(jié)中，教師先呈現(xiàn)一道思考題：你還有其他方法證明兩角差余弦公式嗎？這個問題能夠再次激發(fā)學(xué)生的探究興趣。通過思考和討論，學(xué)生可以拓寬自己的思維，探索不同的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和問題解決能力。接下來，教師布置必做題和選做題。必做題包含一道只考查兩角差余弦公式知識的題目，如計算題，幫助學(xué)生鞏固對該公式的理解。選做題為一道跨學(xué)科題目，描述了一個物理實驗，涉及天花板上固定繩子、懸掛的小球和傾斜的平面。學(xué)生需要根據(jù)給定的條件，計算斜面對小球的支撐力和繩子對小球的拉力。這道題目將物理和數(shù)學(xué)有機結(jié)合，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)和物理之間的密切聯(lián)系。通過完成這樣的作業(yè)，學(xué)生能夠運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用。同時，這樣的作業(yè)也促進了學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科思維能力。在完成作業(yè)的過程中，學(xué)生需要進行思考、分析和計算，進一步提升他們的問題解決能力和推理能力。此外，學(xué)生還需要書面表達自己的解題思路和結(jié)果，發(fā)展表達能力和溝通能力。三、關(guān)于數(shù)學(xué)公式研究型教學(xué)的思考（一）突破思維定式，提煉教學(xué)興趣點在教學(xué)過程中融入趣味性因素，對提高課堂教學(xué)效率具有促進作用。但教師要潛心思考：趣從何來？怎么營造出適切的教學(xué)氛圍？如果教師不認真思考推敲，只是不假思索地照本宣科，很難引發(fā)學(xué)生渴求知識的興趣點。例如教學(xué)“兩角差的余弦公式”，若教師照搬教材，形同于直接要求學(xué)生記背公式。這樣一來，知識變成了冰冷的數(shù)字與符號，學(xué)生“知其然但不知其所以然”，必然會影響對數(shù)學(xué)知識的深刻理解和靈活運用。如何破解這一局面，筆者提出三點教學(xué)建議。首先，轉(zhuǎn)換教學(xué)視角，課前主動提煉興趣點。例如在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師結(jié)合本節(jié)課的真實需要，選擇能使學(xué)生集中注意力聽講的事例。其次，機智教學(xué)，現(xiàn)場隨機提煉興趣點。例如開展小組合作、動手操作和探究等學(xué)生喜聞樂見的活動。最后，將其他學(xué)科知識融入數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。（二）重視學(xué)生思維，創(chuàng)設(shè)能力生長點數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升需多方面共同協(xié)調(diào)并進，其中最根本的一點就是數(shù)學(xué)基本技能的生成。不一樣的學(xué)生，能力的形成速度不同，形成的能力結(jié)構(gòu)也不盡相同。因此，教師要把握好學(xué)生思維活動的跳躍點，創(chuàng)設(shè)能力生成點。例如教學(xué)“兩角差的余弦公式”，關(guān)于求cos15°的值大小這一問題，有些學(xué)生已經(jīng)熟知大部分解題要點，但不一定知道數(shù)值[6+24]是如何得出的。針對這一棘手問題，教師要放慢教學(xué)腳步，讓學(xué)生親自計算cos15°。學(xué)生通過構(gòu)造特殊三角形和巧拼三角板，計算出cos15°的大小，該環(huán)節(jié)便是學(xué)生直觀想象能力和動手操作能力的生長點。（三）緊扣課堂現(xiàn)場，凝聚思維頓悟點在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生在某一節(jié)點所獲得的思維頓悟是難能可貴的。這些頓悟點看似隨機，但是對掃清思維障礙、疏通思維疑點、厘清思維脈絡(luò)起到關(guān)鍵作用。因此，教師在課堂教學(xué)中，要有意識地為學(xué)生創(chuàng)造頓悟時機。例如在本節(jié)課教學(xué)中，學(xué)生雖然掌握了cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°，但是如何將單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱不變性這一解決問題的核心知識點遷移到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，是需要教師在教學(xué)中聚焦并突破的難點之一。因此，前邊研究誘導(dǎo)公式的經(jīng)歷和經(jīng)驗就是啟發(fā)學(xué)生思維順利進階的頓悟點。（四）勇于舍去完美，誘導(dǎo)最新發(fā)展點大多數(shù)教師會情不自禁地追求完美的課堂，盡可能講遍所有概念，講完所有題目，教會所有技巧和方法，講透