工程力學(xué) 第5版 課件 第9章 圓軸的扭轉(zhuǎn)

第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)自本章起，開(kāi)始涉及桿件橫截面上應(yīng)力非均布的變形狀態(tài)，本章介紹圓截面軸受到扭轉(zhuǎn)作用下的內(nèi)力、應(yīng)力和變形，給出扭轉(zhuǎn)變形強(qiáng)度與剛度的計(jì)算與校核方法。第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖

桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個(gè)力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種受力與變形形式稱(chēng)為扭轉(zhuǎn)（torsion）。以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱(chēng)為軸。

當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖三峽水輪發(fā)電機(jī)主軸是三峽地下電站單機(jī)70萬(wàn)千瓦發(fā)電機(jī)與水輪機(jī)連軸的關(guān)鍵部件。主軸直徑達(dá)4.1米，長(zhǎng)6.3米，壁厚116毫米，重達(dá)117噸；水輪機(jī)和發(fā)電機(jī)要通過(guò)主軸連接才能發(fā)電，對(duì)軸線的精度要求特別嚴(yán)，要求徑向和端面跳動(dòng)要小于0.05毫米。其尺寸之大和質(zhì)量要求之高，在世界水電設(shè)備制造史上都屬空前。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖北宋《武經(jīng)總要》（1040年）“絞車(chē)，合大木為床，前建二叉手，柱上為絞車(chē)，下施四卑輪，皆極壯大，力可挽二千斤。”我國(guó)最早的絞車(chē)實(shí)物（殘件）發(fā)掘于江西銅綠山一座戰(zhàn)國(guó)晚期的礦井遺址，它也是世界上最早的絞車(chē)實(shí)物。

《武經(jīng)總要》絞車(chē)圖9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖外力偶矩的計(jì)算制動(dòng)器為什么裝在高速軸上？1-電動(dòng)機(jī)2-帶制動(dòng)輪的聯(lián)軸器3-減速器；4-開(kāi)式齒輪5-行程限制器6-卷筒組7-荷載限制器8-吊具9-制動(dòng)器固定卷?yè)P(yáng)式啟閉機(jī)卷?yè)P(yáng)機(jī)構(gòu)9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖外力偶矩的計(jì)算

工程中作用于軸上的外力偶矩Me往往不是直接給出的，而是根據(jù)軸所傳遞的功率P(kW)和軸的轉(zhuǎn)速n(r/min)計(jì)算獲得。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖受扭構(gòu)件的內(nèi)力矩(扭矩)如何？截面法

由被截下部分的靜力平衡(勻速轉(zhuǎn)動(dòng))，橫截面上必有內(nèi)力矩(扭矩)T

根據(jù)右手定則確定力偶矩矢的方向力偶旋轉(zhuǎn)方向力偶矩矢方向9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定力偶旋轉(zhuǎn)方向力偶矩矢方向

按照右手螺旋法則，扭矩矢量的指向與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)。截面扭矩矢量n截面外法線9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖扭矩的計(jì)算及扭矩圖的繪制1、計(jì)算各外力偶矩的大?。ㄒ阎β屎娃D(zhuǎn)速）；2、將各外力矩采用右手螺旋定則繪出外力偶矩矢；3、取各控制截面，預(yù)設(shè)扭矩矢（內(nèi)力矩矢）為正方向，列平衡方程，計(jì)算扭矩矢的大??；4、以軸線方向?yàn)闄M坐標(biāo)，扭矩大小為縱坐標(biāo)繪出扭矩圖。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖【例題】

如圖所示一傳動(dòng)系統(tǒng)，A為主動(dòng)輪，B、C、D為從動(dòng)輪。各輪的功率：PA=60kW，PB=25kW，PC=25kW，PD=10kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min。畫(huà)出軸的扭矩圖。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖(1)求外力偶矩9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖(2)求各段上的扭矩將外力偶畫(huà)成力偶矩矢的形式取3個(gè)截面計(jì)算扭矩矢量方程:投影方程:矢量方程:投影方程:9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖取BAC:矢量方程:投影方程:取D(C):矢量方程:投影方程:(沿外法線n方向)取截面的左、右部得到的結(jié)果絕對(duì)值相等，正負(fù)號(hào)相同。9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖(3)畫(huà)扭矩圖扭矩和扭矩圖9.1扭轉(zhuǎn)的概念扭矩與扭矩圖扭矩和扭矩圖討論：若將從動(dòng)輪B和主動(dòng)輪A交換位置，會(huì)發(fā)生何種變化，對(duì)軸的設(shè)計(jì)會(huì)產(chǎn)生何種影響？9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力(1)所有縱向線仍近似為直線，但都傾斜了同一角度g，變形前圓軸表面上的小矩形，變形后錯(cuò)動(dòng)成菱形。(2)所有圓周線都相對(duì)地繞軸線轉(zhuǎn)過(guò)了不同角度，且圓周線的長(zhǎng)度、形狀及其相互之間的距離均保持不變。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力平面假設(shè):變形后，橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，且半徑仍為直線。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力由平截面假設(shè)，通過(guò)幾何關(guān)系可以推知圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)至截面形心的距離成正比。由剪切胡克定律可知，橫截面上各點(diǎn)必有切應(yīng)力存在，且垂直于半徑呈線性分布，如圖所示其中K是暫定的比例系數(shù)，r

是所求的點(diǎn)至軸心的距離。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力靜力學(xué)關(guān)系：定義為截面的極慣性矩9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力適應(yīng)條件等直圓（環(huán)）截面桿；橫截面上的最大切應(yīng)力小于剪切比例極限t(r)：距軸心r處點(diǎn)的切應(yīng)力。計(jì)算單位：Pa；MPaT：扭矩。計(jì)算單位：N·m；

N·mmIp：橫截面的極慣性矩。計(jì)算單位：m4；mm4r：所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離。計(jì)算單位：m；mm9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力最大切應(yīng)力軸(圓)心處r

=0

t=0外表面r

=r

max

t

=t

max取Wp∶扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位mm3m3切應(yīng)力分布：9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓與空心圓截面的極慣性矩與抗扭截面系數(shù)9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓與空心圓截面的極慣性矩與抗扭截面系數(shù)空心圓截面:9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：塑性材料：脆性材料：強(qiáng)度設(shè)計(jì)問(wèn)題：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)直徑、確定許可載荷9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算受扭圓軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的外周邊各點(diǎn)處。為了使圓軸能夠正常工作，必須使軸上的最大切應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力。設(shè)在軸向x位置的截面，其上的扭矩為T(mén)(x)，其抗扭截面系數(shù)為Wp(x)，則要求9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算【例題】階梯軸如圖所示，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=60MPa。校核該軸的強(qiáng)度。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算【例題】畫(huà)出扭矩圖

AB段

BC段9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算【例題】畫(huà)出扭矩圖軸的強(qiáng)度不能滿足要求。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算【例題】

實(shí)心圓軸和空心圓軸通過(guò)牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示。已知軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率

P=7.5kW。若兩傳動(dòng)軸橫截面上的最大切應(yīng)力均等于40MPa，并且已知空心軸的內(nèi)外徑之比a=0.5，試確定實(shí)心軸的直徑與空心軸的外徑。9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算(1)計(jì)算扭矩(2)根據(jù)切應(yīng)力計(jì)算直徑實(shí)心軸9.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度計(jì)算空心軸(3)實(shí)心和空心軸的橫截面面積之比軸長(zhǎng)度相同，承受扭矩相同，則在最大切應(yīng)力相同的情況下，實(shí)心軸要使用更多的材料。思考：若a=0.9，則空心軸的外徑為多少？空心軸和實(shí)心軸的材料用量比為多少？由此可以得到什么結(jié)論？9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算第九章圓軸的扭轉(zhuǎn)9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式單位長(zhǎng)度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角B截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算公式多段不同扭矩，材料不同，截面直徑不同：9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

用來(lái)表示扭轉(zhuǎn)變形的大小單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的單位:rad/m抗扭剛度轉(zhuǎn)換為(°/m)9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度設(shè)計(jì)對(duì)于主要承受扭轉(zhuǎn)的圓軸，剛度設(shè)計(jì)主要是使軸上最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角滿足扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。精密機(jī)械軸：許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角一般傳動(dòng)軸：9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算【例題】圖示鋼軸，所受的扭轉(zhuǎn)外力偶矩和尺寸分別為：軸的許用切應(yīng)力和許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角分別為，根據(jù)強(qiáng)度和剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑尺寸。9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算畫(huà)扭矩圖按照強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)直徑9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算按照剛度條件設(shè)計(jì)直徑9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算綜合強(qiáng)度剛度條件設(shè)計(jì)直徑取設(shè)計(jì)直徑9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算【例題】

如圖所示鉆桿橫截面直徑為20mm，在旋轉(zhuǎn)時(shí)BC段受均勻分布的扭力矩m的作用。已知使其轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶矩Me=120N·m，材料的切變模量G=80GPa，求鉆桿兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。9.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算解(1)求各段扭矩由截面法，BC任一截面上的扭矩(2)求相對(duì)扭轉(zhuǎn)角AB段