魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(四)利用勾股定理解題的五種常見題型練方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(四)利用勾股定理解題的五種常見題型類型一利用勾股定理求三角形中的線段長1.如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,AC=20,CD=12,BD=9.(1)求BC的長.(2)求△ABC的面積.(3)判斷△ABC的形狀.解析

(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△BCD中,由勾股定理得BC2=CD2+BD2=122+92=225=152,

∴BC=15.(2)在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=202-122=256=162,∴AD=16.∵BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25,∴△ABC的面積=

AB·CD=

×25×12=150.(3)∵AC=20,BC=15,AB=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.2.(方程思想)(2024山東淄博周村期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,將△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處.(1)當(dāng)∠B=28°時(shí),求∠CAE的度數(shù).(2)當(dāng)AC=6,AB=10時(shí),求線段DE的長.

解析

(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,∴∠BAC=90°-28°=62°,∵△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴∠CAE=

∠CAB=

×62°=31°.(2)在Rt△ABC中,AC=6,AB=10,∴BC2=AB2-AC2=102-62=64=82,∴BC=8.∵△ACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴AD=AC=6,CE=DE,∴BD=AB-AD=4,設(shè)DE=x,則BE=BC-CE=BC-DE=8-x,∵在Rt△BDE中,DE2+BD2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,即DE的長為3.類型二利用勾股定理證明線段相等3.如圖,在四邊形ABFC中,BC為對(duì)角線,∠ABC=90°,CD⊥AD,

AD2=2AB2-CD2.求證:AB=BC.證明∵在△ABC中,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵在△ACD中,CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2,∴AB2+BC2=AD2+CD2,∵AD2=2AB2-CD2,∴AB2+BC2=2AB2-CD2+CD2,即AB2=BC2,∴AB=BC.類型三利用勾股定理求四邊形中的線段長4.(構(gòu)造法)在四邊形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,

四邊形的周長為32,求BC和CD的長.

解析如圖,連接BD.∵AB=AD,∠A=60°.∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AB=AD=8,∠1=60°.∵∠ADC=150°,即∠1+∠2=150°,∴∠2=90°.設(shè)BC=x,則CD=32-8-8-x=16-x,由勾股定理得x2=82+(16-x)2,解得x=10,16-x=6,∴BC=10,CD=6.類型四利用勾股定理解動(dòng)點(diǎn)問題5.(方程思想)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著三角形的三邊,先運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,再運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,最后運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)A,vP=2cm/s,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上?(2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上?解析

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),如圖,連接PB,

由勾股定理得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82,所以AC=8.∵點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上,∴PA=PB=2t,∴PC=8-2t,∴在Rt△BCP中,(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=

.當(dāng)P在AB上時(shí),PA=PB=5,∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為8+6+5=19,∴t=

,∴當(dāng)t為

或

時(shí),點(diǎn)P恰好在AB的垂直平分線上.(2)當(dāng)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上時(shí),如圖,過點(diǎn)P作

PF⊥AB于點(diǎn)F,則PF=PC=2t-8,BP=14-2t,AF=AC=8,∴BF=2.在Rt△BPF中,由勾股定理得(2t-8)2+22=(14-2t)2,解得t=

,∴當(dāng)t為

時(shí),點(diǎn)P在BC上,且恰好在∠BAC的平分線上.類型五利用勾股定理求路線最短問題6.(化曲為直法)如圖所示的是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的

長、寬、高分別為20分米、3分米、2分米,A和B是這個(gè)臺(tái)階

的兩個(gè)端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物,則

它所走的最短路線的長度為

.25分米解析如圖,三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形,長為20分米,寬

為(2+3)×3分米,則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是此

長方形的對(duì)角線長.可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路

程為x分米,由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2=252,解得x=25.故

答案為25分米.

7.如圖,長方體盒子(無蓋)的長、寬、高分別是12cm、8

cm、30cm,在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖,一只小蟲從D處爬

到C處去吃,有無數(shù)種走法,則最短路程是多少?

解析將長方體盒子的前面和右面展開在同一平面,展開圖

如圖,連接DC,則DC的長就是從D處爬到C處的最短路程,

在Rt△DAC中,AD=12+8=20(cm),AC=

×30=15(cm),由勾股定理得DC2=202+152=625=252,所以DC=25cm,即從D處爬到C

處的最短路程是25cm.8.如圖,A,B是直線l同側(cè)的兩點(diǎn),且點(diǎn)A,B到l的距離分別為4.5,

10.5,垂足C,D間的距離為8,若點(diǎn)P是l上一點(diǎn),求PA+PB的最小

值.

解析

如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,交直線l于

點(diǎn)P,連接PA,則線段A'B的長即為PA+PB的最小值,過點(diǎn)A'作A

'E⊥BD,交BD的延長線于點(diǎn)E,易知四邊形A'EDC為長方形,則

A'C=DE,CD=A’E.因?yàn)?/p>