《數(shù)字信號處理》課件-第5章

5.1引言5.2數(shù)字濾波器的定義和分類5.3實際濾波器的設計指標5.4幾種常見的特殊濾波器習題與上機題

數(shù)字濾波器與模擬濾波器都是一種選頻器件，它對某些頻率的信號給予很小的衰減，使具有這些頻率分量(如有用信號的頻率分量)的信號比較順利地通過，而對其他不需要的頻率分量(如噪聲的頻率分量)的信號給予較大幅度衰減，盡可能阻止這些信號通過。數(shù)字濾波器和模擬濾波器具有不同的濾波方法，數(shù)字濾波器是通過對輸入信號進行數(shù)值運算的方法來實現(xiàn)濾波的，而模擬濾波器則用電阻、電容、電感及有源器件等構成電路對信號進行濾波。5.1引言因此，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定性強、靈活度大、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配以及實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點。數(shù)字濾波器要求輸入、輸出信號均為數(shù)字信號。

本章主要介紹數(shù)字濾波器的定義、分類及實際濾波器的設計指標，重點介紹幾種常見的特殊數(shù)字濾波器。5.2.1數(shù)字濾波器的定義

數(shù)字濾波器(DigitalFilter)通常是指一個用有限精度算法實現(xiàn)的離散線性時不變系統(tǒng)。因此它具有線性時不變系統(tǒng)的所有特性。

通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數(shù)字濾波器的頻率響應H(ejω)用下式表示：

H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)

5.2數(shù)字濾波器的定義和分類式中，|H(ejω)|稱為濾波器幅頻響應；θ(ω)稱為濾波器相頻響應。幅頻響應表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻響應反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻響應相同，只要相頻響應不一樣，對相同的輸入，濾波器的輸出信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術要求由幅頻響應給出，相頻響應一般不作要求，但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻響應的技術指標，例如語音合成、波形傳輸、圖像處理等。如果對輸出波形有嚴格要求，則需要設計線性相位數(shù)字濾波器，這部分內(nèi)容在第6章進行介紹。圖5.2.1低通濾波器幅頻響應示意圖濾波器的特性最容易通過它的幅頻響應的形狀來描述。濾波器在某個頻率的幅度增益(Gain)決定了濾波器對此頻率輸入的放大因子，增益可取任意值。增益高的頻率范圍，信

號可以通過，稱之為濾波器的通帶(PassBand)，如圖5.2.1所示;相反，增益低的頻率范圍，濾波器對信號有衰減或阻塞作用，稱之為濾波器的阻帶(StopBand)。例如，低通濾波器使低頻成分通過，阻礙高頻成分;高通濾波器則相反，使高頻成分通過，阻礙低頻成分。理想濾波器的幅頻響應是矩形，即通帶的增益為1，阻帶的增益為0，然而這種理想的濾波器是不可實現(xiàn)的，這一點在5.3節(jié)進行討論。數(shù)字濾波器的實現(xiàn)方式一般可以分為兩種，即軟件實現(xiàn)和硬件實現(xiàn)。軟件實現(xiàn)指的是在通用計算機上執(zhí)行濾波程序。這種方法靈活，但一般不能完成實時處理。硬件實現(xiàn)指的

是在單片機、FPGA或DSP芯片上實現(xiàn)，由于硬件運算速度快，可以實現(xiàn)實時處理，因此在實際系統(tǒng)中經(jīng)常用硬件來實現(xiàn)各種數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器的輸出可以有兩種方法求出，一種是用濾波器的差分方程計算濾波器的輸出，另一種是利用卷積過程計算輸出。后一種方法有限定條件，即系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)必須為有限長序列。5.2.2數(shù)字濾波器的分類

數(shù)字濾波器按照不同的分類方法，有許多種類，但總體可以分為兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器，即一般的線性系統(tǒng)濾波器。另一類即所謂的現(xiàn)代濾波器?，F(xiàn)代濾波器的理論

建立在隨機信號處理的理論基礎上，它利用了隨機信號內(nèi)部的統(tǒng)計特性對信號進行濾波，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等，這一部分內(nèi)容留在研究生《現(xiàn)代信號

處理》課程中進行介紹。下面介紹經(jīng)典濾波器的分類。

1.根據(jù)H(ejω)的通帶特性分類

一般數(shù)字濾波器從濾波功能上分類，和模擬濾波器一樣，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。它們的理想幅頻響應如圖5.2.2所示。圖5.2.2理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅頻響應(a)低通;(b)高通;(c)帶通;(d)帶阻需要注意的是，數(shù)字濾波器的頻率響應H(ejω)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高通頻帶處于π的奇數(shù)倍附近，這一點和模擬濾波器是有區(qū)別的。

2.根據(jù)濾波器的實現(xiàn)方式分類

數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或者單位脈沖響應分類，可以分成無限脈沖響應(InfiniteImpulseResponse，IIR)濾波器和有限脈沖響應(FiniteImpulseResponse，F(xiàn)IR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為

(5.2.2)(5.2.1)式(5.2.1)中的H(z)稱為N階IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)，(5.2.2)式中的H(z)稱為N-1階FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

1)IIR系統(tǒng)(遞歸系統(tǒng))

IIR濾波器的差分方程為

(5.2.3)由于N≥1，y(n)不僅與x(n-i)有關，還與y(n-i)有關，即系統(tǒng)存在著輸出對輸入的反饋，所以稱為遞歸系統(tǒng)(RecursiveSystem)。

又因為N≥1時，H(z)在z平面上存在著極點，所以h(n)為無限長序列，故遞歸系統(tǒng)也稱為IIR濾波器。

2)FIR系統(tǒng)(非遞歸系統(tǒng))

FIR濾波器的差分方程為

(5.2.4)顯然，該系統(tǒng)不存在著輸出對輸入的反饋，所以稱為非遞歸系統(tǒng)(NonrecursiveSystem)。

又因為h(n)=bn，0≤n≤M，h(n)為有限長序列，故非遞歸系統(tǒng)也稱為FIR系統(tǒng)。

IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)的特性不同，實現(xiàn)方法也不同，后面將詳細介紹。5.3.1實際濾波器對理想濾波器的逼近

圖5.3.1是理想低通濾波器的幅頻響應，該理想低通濾波器具有截止頻率ωd?？梢钥闯?，理想濾波器在通帶內(nèi)幅度為常數(shù)(非零)，在阻帶內(nèi)幅度為零。另外，一般理想濾波器

要求具有線性相位(在第8章討論)，這里假設相頻響應θ(ω)=0。它的脈沖響應可以由離散傅里葉逆變換得到，即

(5.3.1)5.3實際濾波器的設計指標圖5.3.1理想低通濾波器的幅頻響應圖5.3.2給出了理想濾波器的脈沖響應，顯然該響應為非因果且無限長序列。圖5.3.2理想低通濾波器的脈沖響應由于脈沖響應是非因果且無限長的序列，因此它不能通過時移來轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬到y(tǒng)。另外，無限長脈沖響應不能直接轉(zhuǎn)換為非遞歸差分方程。一個簡單的解決辦法就是把圖5.3.2所示脈沖響應兩邊響應值很小的采樣點截去，將脈沖響應變?yōu)橛邢揲L，再進行時移得到因果系統(tǒng)，使得脈沖響應所描述的濾波器可用。例如圖5.3.3(b)，除了中間的33項外，其余的部分被截取掉了，再通過移位即得到因果序列。圖5.3.3理想低通濾波器脈沖響應(a)理想低通脈沖響應h(n)；(b)截短移位后的h(n)截短脈沖響應自然會對頻率響應產(chǎn)生影響。截短后，濾波器幅頻響應曲線不再是理想矩形，通帶不再平坦，有過渡帶，同時阻帶衰減不再為零。圖5.3.4給出了因果脈沖響應

的幅頻響應。當然，脈沖響應保留的采樣點越多，即濾波器階數(shù)越高，濾波器形狀越接近理想。圖5.3.4非理想低通濾波器因果脈沖響應的幅頻響應5.3.2實際濾波器的設計指標

當濾波器形狀為非理想時，要用一些參數(shù)指標來描述其關鍵特性。圖5.3.5表示低通濾波器的幅頻響應。濾波器的通帶定義了濾波器允許通過的頻率范圍。在阻帶內(nèi)，濾波器對

信號嚴重衰減。ωp和ωs分別稱為通帶截止頻率(或通帶上限頻率)和阻帶截止頻率(或阻帶下限頻率)。參數(shù)δ1定義了通帶波紋(PassBandRipple)，即濾波器通帶內(nèi)偏離單位增

益的最大值。參數(shù)δ2定義了阻帶波紋(StopBandRipple)，即濾波器阻帶內(nèi)偏離零增益的最大值。參數(shù)Bt定義了過渡帶寬度(TransitionWidth)，即阻帶下限和通帶上限之間的距離，Bt=|ωs-ωp|。過渡帶一般是單調(diào)下降的。通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用單位dB表示，通帶允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，它們分別定義為

(5.3.3)(5.3.2)式中，Amax是通帶內(nèi)幅度最大值；Amin是通帶內(nèi)幅度最小值；As是阻帶內(nèi)最大值。幅度下降到0.707即時，ω=ωc，此時αp=3dB，稱ωc為3dB通帶截止頻率。如果濾波器為帶通或帶阻濾波器，則增加了低端通(阻)帶頻率ωpl(ωsl)(見圖5.3.6)和高端通(阻)帶頻率ωpu(ωsu)(見圖5.3.7)。圖5.3.5低通濾波器的幅頻響應圖5.3.6帶通濾波器的技術指標圖5.3.7帶阻濾波器的技術指標5.4.1全通濾波器

如果濾波器的幅頻響應對所有的頻率響應幅度均為常數(shù)或1，即

|H(ejω)|=1，0≤ω≤2π

(5.4.1)

則該濾波器稱為全通濾波器。全通濾波器的頻率響應函數(shù)可表示為

H(ejω)=ejθ(ω)

(5.4.2)

式(5.4.2)表明信號通過全通濾波器后，幅頻響應保持不變，僅相頻響應隨ω改變。5.4幾種常見的特殊濾波器圖5.4.1a為實數(shù)，0<a<1時，一階全通濾波器的零、極點位置簡單的一階全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.3)

式中，a為實數(shù)且0<|a|<1。這一系統(tǒng)所對應的零、極點位置如圖5.4.1所示。圖5.4.2a為復數(shù)，一階全通系統(tǒng)的零、極點位置高階全通濾波器是由一串一階系統(tǒng)組成的，可以包括如式(5.4.3)的實零點和實極點的一階系統(tǒng)，還可以包括復數(shù)零點和復數(shù)極點對。復數(shù)零點和極點的全通系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.4)式中，a為復數(shù)且0<|a|<1。全通系統(tǒng)函數(shù)的零、極點出現(xiàn)在共軛鏡像位置上(以單位圓為“鏡子”)，如圖5.4.2所示。一般來講，要求系統(tǒng)為實，即h(n)是實序列，此時H(z)的系數(shù)應為實數(shù)，因而其系統(tǒng)函數(shù)的復數(shù)極點(零點)必須以共軛對形式出現(xiàn)。例如，一個實系數(shù)二階全通系統(tǒng)函數(shù)應

為

(5.4.5)

也就是說，它是由兩個一階全通系統(tǒng)(其極點(零點)成共軛對)級聯(lián)組成的，如圖5.4.3所示。圖5.4.3二階全通系統(tǒng)的零、極點位置可以證明，式(5.4.3)和式(5.4.4)的一階全通系統(tǒng)在任何頻率上，其頻率響應的模都為1。例如，對式(5.4.4)，設a=rejθ為復數(shù)，在任一頻率ω處研究，令z=ejω，則有

一般來說，N階數(shù)字全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為

(5.4.6)

式中

D(z)=1+d1z-1+…+dN-1z-(N-1)+dNz-N

(5.4.7)

D(z)為具有實系數(shù)的多項式，其根全部在單位圓內(nèi)，當z=ejω時，滿足

D(ejω)=D*(e-jω)

所以有

|H(ejω)|=1，0≤ω<2π

H(z)滿足全通系統(tǒng)的要求。下面分析全通濾波器的零點和極點的分布規(guī)律。設zk為H(z)的零點，按照式(5.4.6)，zk-1必然是H(z)的極點，記為pk=zk-1，則全通濾波器的極點和零點互為倒數(shù)關系。如果

考慮到D(z)和D(z-1)的系數(shù)為實數(shù)，其極點、零點均以共軛對出現(xiàn)，這樣，對復數(shù)零點、復數(shù)極點必然以四個一組出現(xiàn)。例如，zk為H(z)的零點，則必有零點zk*、極點pk=zk-1、

pk*=(zk-1)*。

對實數(shù)零、極點，則以兩個一組出現(xiàn)，且零點與極點互為倒數(shù)關系。全通濾波器起純相位濾波作用，常常用作延時均衡器。當一個系統(tǒng)與另一個離散時間系統(tǒng)級聯(lián)時，全通濾波器可以使整個級聯(lián)系統(tǒng)在感興趣的頻帶內(nèi)有一個常數(shù)延時。5.4.2數(shù)字陷波器

數(shù)字陷波器是一個在頻率響應特征上包含了一個或多個深槽，在理想情況下，這些深槽完全為零的濾波器，也就是在頻率響應中有一些被完全抑制的部分。圖5.4.4表示出了在

頻率ω0和ω1出現(xiàn)深槽的陷波器。陷波器在許多實際應用中非常有用，這些應用中要求完全消除某些頻率分量。圖5.4.4陷波器的頻率響應為了在濾波器的頻率ω0處完全抑制頻率響應，簡單地在單位圓上且角度為ω0處引入一對復共軛零點，即

所以陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.8)

圖5.4.5給出了時的陷波器的幅頻響應。圖5.4.5時的陷波器的幅頻響應和相頻響應(a)幅頻響應;(b)相頻響應陷波器的問題在于陷波有一個相對大的帶寬，這意味著在陷波頻率附近的其他頻率分量也會被嚴重抑制。為了降低陷波的帶寬，可以通過在系統(tǒng)函數(shù)中引入極點來改善頻率響應特征。

假定，將一對復共軛極點放置在，引入極點使得陷波點附近出現(xiàn)了共振峰，同時減少了陷波的帶寬。此時所得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.9)圖5.4.6給出了當，r=0.65或，r=0.95時式(5.4.9)的濾波器的幅頻響應。

將|H(ejω)|與圖5.4.5中的濾波器的頻率響應作比較時，可看到極點的作用減少了陷波帶寬。圖5.4.6極點位于r=0.65和r=0.95處兩個陷波器的幅頻響應和相頻響應(a)幅頻響應;(b)相頻響應圖5.4.6的Matlab參考代碼如下：

clearall%清除工作區(qū)中所有變量和函數(shù)

r1=0.65;

r2=0.95;

w=0：0.005*pi：pi；

z1=exp(j*pi/4);z2=exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)的兩個零點z1,2=e±jπ/4

p11=r1*exp(j*pi/4);p12=r1*exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)1的兩個極點p1,2=r1e±jπ/4

p21=r2*exp(j*pi/4);p22=r2*exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)2的兩個極點p1,2=r2e±jπ/4

［b1，a1］=zp2tf(［z1，z2］′，［p11，p12］′，1)； %由零極點求系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)

［b2，a2］=zp2tf(［z1，z2］′，［p21，p22］′，1);

H1=freqz(b1，a1，w)； %求系統(tǒng)1的頻率響應

H2=freqz(b2，a2，w)； %求系統(tǒng)2的頻率響應除了減少陷波帶寬外，由于極點產(chǎn)生了共振峰，在陷波點附近引入極點可能會在通帶內(nèi)引起小的紋波。在陷波器的系統(tǒng)函數(shù)中引入另外的極點或零點可以減少紋波。

【例5.4.1】設信號x(t)=sin(2π×60t)+xs(t)，式中xs(t)是低于60Hz的低頻信號。試設計一個陷波器將60Hz干擾濾除，采樣頻率Fs=200Hz。

解

60Hz對應的數(shù)字頻率，選擇r=0.75，陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為

為了測試陷波器的特性，令xs(n)=2sin(2π×25t)，因此數(shù)字陷波器的輸入信號

Matlab程序如下：

B=［1，0.618，1］; %系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子系數(shù)A=［1，0.4635，0.5625］;

%系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母系數(shù)f1=60;f2=25;Fs=200;

%給出頻率參數(shù)

n=0：1023;x=sin(2*pi*f1/Fs*n)+sin(2*pi*f2/Fs*n)； %輸入信號

X=abs(fft(x))/max(abs(fft(x)));

y=filter(B，A，x);

%求出輸出信號

Y=abs(fft(y，1024))/max(abs(fft(y，1024)))

由圖5.4.7(a)可以看出輸入信號有兩個頻率。陷波器的輸出波形如圖5.4.7(b)所示，60Hz的干擾信號被抑制掉了。圖5.4.7例5.4.1陷波器輸入、輸出幅頻響應(a)輸入信號幅頻響應;(b)輸出信號的幅頻響應5.4.3梳狀濾波器

最簡單方式的梳狀濾波器可以看成是陷波器，在頻帶內(nèi)周期性地出現(xiàn)陷波，類似于常見的梳子，有一個個周期間隔的齒。在實際系統(tǒng)中梳狀濾波器有許多應用，例如消除電源

中的諧波，從電子聚集的電離層測量中分離太陽和月亮成分，抑制來自移動目標指示雷達中固定物體的雜亂信號。設濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其頻率響應函數(shù)H(ejω)是以2π為周期的。如果將H(z)的變量z用zN代替，得到H(zN)，則相應的頻率響應函數(shù)H(ejωN)是以2π/N為周期的，在區(qū)間［0，2π］上有N個周期。利用這種性質(zhì)，可以構成各種梳狀濾波器?，F(xiàn)在，假定原來的數(shù)字濾波器的頻率響應函數(shù)H(ejω)在某一頻率ω0處的譜為0，那么頻率響應函數(shù)為H(ejωN)的濾波器在處周期性地出現(xiàn)零譜。例如，，零點為1，極點為a，所以H(z)表示一個高通濾波器。以zN代替H(z)的z，得到

(5.4.10)當N=8時，零點為極點為

H(z)的零、極點分布和幅頻響應曲線如圖5.4.8所示。由其幅頻響應曲線的形狀取名為梳狀濾波器。梳狀濾波器可濾除輸入信號中

k=0，1，…，N-1的頻率分量。圖5.4.8梳狀濾波器的零、極點分布和幅頻響應(N=8)(a)零、極點分布圖;(b)幅頻響應

【例5.4.2】設計一個梳狀濾波器，用于濾除心電圖信號中的50Hz及其二次諧波100Hz干擾，設采樣頻率為400Hz。

解采用前面介紹的梳狀濾波器，系統(tǒng)函數(shù)為

式中有兩個參數(shù)需要選擇，N的大小決定于要濾除的點頻的位置，a要盡量靠近1。計算得到要濾除的兩個數(shù)字角頻率為

零點頻率為k=0，1，2，…，N-1。由

求出N=8。設a=0.9，梳狀濾波器的幅頻響應如圖5.4.9所示。圖5.4.9例5.4.2梳狀濾波器的幅頻響應5.4.4最小相位濾波器

一個因果穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)，其極點必須位于單位圓內(nèi)，而對零點沒有特殊的要求，它可以在單位圓內(nèi)、單位圓上，也可以在單位圓外。在第2章中講到，如果一個離散

系統(tǒng)的H(z)的極點與零點全部在單位圓內(nèi)，則稱為最小相位系統(tǒng)。與之相對照，若零點全部在單位圓外，則稱為最大相位系統(tǒng);若在單位圓內(nèi)和圓外都有零點，則稱該系統(tǒng)為混合

相位系統(tǒng)。因此，對于給定的頻率響應，其相頻響應可以不唯一。最小相位系統(tǒng)有下列幾個重要性質(zhì):

(1)任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成，即

H(z)=Hmin(z)·Hap(z)

(5.4.11)設系統(tǒng)H(z)有一個零點在單位圓之外，即|z0|<1，其余的極點、零點均在單位圓內(nèi)，那么H(z)可表示為

H(z)=H1(z)·(z-1-z0)

(5.4.12)H1(z)是最小相位的，上式又可表示為由于|z0|<1，因此Hmin(z)=H1(z)(1-z0*z-1)是最小相位的，

而是全通的。上述做法的結果是把H(z)在單位圓外處的零點反射到單位圓內(nèi)z=z0*處，使之成為Hmin(z)的零點，同時，H(z)和Hmin(z)具有相同的幅頻響應。這就為我們提供了一個如何由非最小相位系統(tǒng)構成最小相位系統(tǒng)的方法。

(2)給定一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)，定義其逆濾波器

當且僅當H(z)是最小相位系統(tǒng)時，HINV(z)才是穩(wěn)定的、因果的，亦即物理可實現(xiàn)。

(3)在幅頻響應相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲(負的相位值)最小。由式(5.4.11)可知，任何一個非最小相位系統(tǒng)H(z)的相位函數(shù)，是一個與H(z)的幅頻響應相同的最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的相位函數(shù)加上一個全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)。所以，只要證明了全通系統(tǒng)的相位函數(shù)是非正的，也就證明了本性質(zhì)

(4)若定義h(n)的積累能量E(M)為

則當M很小時，最小相位系統(tǒng)的最小能量延遲可用下式描述，即

(5.4.13)由Parseval定理，因為頻域幅頻響應相同，所以時域的總能量也應相同，即

因此式(5.4.13)表明hmin(n)的能量集中在n較小的時段內(nèi)，即能量延遲最小。

5.1一個濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=1+z-1+z-2+…+z-8

計算該濾波器的幅頻響應和相頻響應。若采樣頻率Fs=1kHz，確定不能通過該濾波器的模擬正弦波信號的頻率。

5.2用Matlab設計一個數(shù)字陷波濾波器，它抑制一個非常強的60Hz的正弦干擾信號，被干擾的信號是一個200Hz的有用正弦信號，采樣頻率Fs=1kHz。習題與上機題

5.3最小相位系統(tǒng)的一個重要性質(zhì)是最小能量延遲特性。式(5.4.13)描述了該特性。該性質(zhì)的證明思想如下：

令hmin(n)是系統(tǒng)函數(shù)為Hmin(z)的最小相位系統(tǒng)的單位脈沖響應序列，且zk為Hmin(z)的一個零點，因此可以將Hmin(z)表示為

Hmin(z)=Q(z)(1-zkz-1)，|zk|<1

式中Q(z)也是最小相位的。現(xiàn)在研究另一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)，其幅頻響應滿足

|H(ejω)|=|Hmin(ejω)|且H(z)有一個零點。并令h(n)=IZT［H(z)］。

(1)試用Q(z)表示H(z)。

(2)試用q(n)=IZT［Q(z)］表示h(n)和hmin(n)。

(3)比較兩個序列的能量分布，證明

5.4全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，|a|<1。

試證明0≤ω≤π時，|Hap(ejω)|=1。

5.5若一個線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有如題5.5圖所示的零、極