湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學年九年級（上）期末數(shù)學試卷

湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學年九年級（上）期末數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列環(huán)保標志，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360°；事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，遇到紅燈；則下列說法正確的是（）A．事件①和②都是隨機事件B．事件①是隨機事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是必然事件D．事件①是必然事件，事件②是隨機事件3．若一元二次方程x2-3x+a=0的一個根為x=2，則A．2 B．-2 C．4 D．-44．在平面直角坐標系中，以點(4，3)為圓心，A．與x軸相切 B．與x軸相離 C．與y軸相切 D．與y軸相交5．我國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步.如果設寬為x步，則可列出方程（）A．x(x-6)=864 B．x(x-12)=864 C．x(x+6)=864 D．x(x+12)=8646．已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，A，B，C，P四點均在格點上，則點P叫做△ABC的（）A．垂心(三邊高線的交點) B．重心(三邊中線的交點)C．外心(三邊垂直平分線的交點) D．內心(三內角平分線的交點)7．已知二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象經(jīng)過點P(-1，y1)和Q(m，y2)．若y1<y2，則m的取值范圍是（）A．-1<m<3 B．1<m<3 C．m<-1或m>3 D．m<-18．有一個從不透明的袋子中摸球的游戲，這些球除顏色外都相同，小紅根據(jù)游戲規(guī)則，作出了如圖所示的樹狀圖，則此次摸球的游戲規(guī)則是（）A．隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出1個球B．隨機摸出一個球后不放回，再隨機摸出1個球C．隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出3個球D．隨機摸出一個球后不放回，再隨機摸出3個球9．如圖，點P在⊙O的直徑AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中點D，G在直徑所在直線上，點C，E，F(xiàn)，H都在⊙O上，若兩個正方形的面積之和為16，OP=2，則DGA．62 B．214 C．7 10．已知拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間的距離為2，將此拋物線向右平移2個單位，再向下平移3A．4 B．5 C．8 D．4二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11．在平面直角坐標系中，點(-3，4)關于原點對稱的點的坐標是12．若x1=m，x2=n是一元二次方程x13．如圖是可以自由轉動的三個轉盤，請根據(jù)下列情形回答問題(不考慮指針落在分界線上)．（1）轉盤1被分成了2個扇形，圓心角為120°的扇形涂成紅色，其余部分涂成白色，轉動轉盤1，當轉盤1停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的概率是．（2）轉盤2、轉盤3都已被分成了3個相同的扇形，并且分別涂成紅色、白色、黃色，同時轉動轉盤2和轉盤3，當兩個轉盤停止轉動時，則指針落在區(qū)域的顏色都是紅色的概率為．14．如圖，以點O為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與直角三角板的斜邊AB重合，點D為斜邊AB上一點，作射線CD交半圓弧AB于點E，如果點E在量角器上對應的讀數(shù)為50°，那么∠BDE的大小為．15．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸的正半軸相交于A(x1，0)，B兩點(0<x1<1)，與y軸交于點C.①abc>0；②4a+b=0；③若ax2+bx+c<x+c，則0<x<-c；④關于x的方程a16．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，請將等腰Rt△ABC以點A為旋轉中心旋轉60°得到△A1B1C1，延長B1C1與直線AB三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．已知二次函數(shù)y=x（1）用配方法將二次函數(shù)的一般式化成y=a(（2）分別寫出此二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸．18．若關于x的一元二次方程x2+4x+m?1=0有兩個相等的實數(shù)根，求19．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉140°得到△ADE，B，C，D三點恰好在同一直線上．（1）判斷△ACE的形狀；（2）連接CE，若CE⊥BD，求∠BAC的度數(shù)．20．一只不透明袋中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學習小組做摸球試驗：將球攪勻后從袋中摸出1個球，記下顏色后放回、攬勻，不斷重復這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率000000（1）該小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是(精確到0.001)（2）現(xiàn)從該袋中隨機摸出一個球，不放回，再摸出一個球，請用畫樹狀圖或列表法求恰好摸到1個白球和1個紅球的概率．21．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，半圓O與直角邊AC交于點E，且B，E兩點是半圓弧的三等分點．（1）在圖1中，請僅用無刻度的直尺，按要求完成下列作圖(作圖過程用虛線，作圖結果用實線)．①畫一條和BC平行的弦；②畫BE的中點M．（2）如圖2，已知⊙O的半徑為4，求圖中兩個陰影部分面積的和．22．中山公園的人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，噴出的水柱形狀可看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一點的位置與水管的水平距離為x米，與湖面的垂直高度為y米，表中記錄了x與y的五組數(shù)據(jù)：x(米01234y(米01110（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，在圖1建立的平面直角坐標系中畫出表示y與x函數(shù)關系的圖象；（2）求y與x的函數(shù)表達式；（3）公園準備調節(jié)水管露出湖面的高度，使游船能從拋物線形水柱下方通過，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船以拋物線的對稱軸為中軸線從水柱下方通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度2米，頂棚到湖面的高度為1.8米，請計算分析水管露出湖面的高度23．如圖（1）【問題背景】如圖1，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，求證：BD=CE：（2）【嘗試應用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，在AC上截取AF=AB，連接BF，D為BC上一點，將線段BD繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE并延長交線段BF于點M，且BM=CF，求證：點D為線段BC的中點：（3）【拓展探究】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點D為邊AC上的一點，當AD>AB時，連接BD，將線段BD繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE，DE，若AD=4，請直接寫出△ABE面積的最大值為．24．如圖（1）已知拋物線C1：y=ax2+bx經(jīng)過原點O，其頂點P的坐標為（2）如圖1，若拋物線C1與x軸交于另一點E，過O，E兩點作開口向下的拋物線C2，設其頂點為Q(點Q在點P的下方)，線段PQ的垂直平分線與拋物線C1相交于M，N兩點，若四邊形PMQN的面積為（3）如圖2，將拋物線C1向左平移1個單位長度，得到拋物線C3，且與y軸正半軸，x軸正半軸分別交于A，B兩點，連接AB，過點P作PH⊥x軸于點H，在直線PH上有一點C，坐標平面內有一點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的D點的坐標：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，則此項符合題意；故答案為：D.【分析】在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

在平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；根據(jù)定義并結合圖形即可判斷求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：事件①：任意畫一個多邊形，其外角和為360°，這是必然事件；事件②：經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，可能遇見紅燈、綠燈或黃燈，所以遇到紅燈，這是隨機事件；故答案為：D.【分析】在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不會發(fā)生的事件就是隨機事件；在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件就是不可能事件；在一定條件下，一定會發(fā)生的事件就是必然事件；從而根據(jù)多邊形外角和均為360°可判斷①；經(jīng)過一個有交通信號燈的十字路口，可能遇到紅燈、黃燈、綠燈，據(jù)此判斷②.3．【答案】A【解析】【解答】解：將x=2代入方程可得：

4-6+a=0

解得：a=2故答案為：A【分析】將x=2代入方程得到關于a的方程，解方程即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵以點(4，3)為圓心，4為半徑的圓

∴圓心到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為4

故答案為：C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：設寬為x步，則長為（12+x）步由題意可得：x(x+12)=864

故答案為：D【分析】設寬為x步，則長為（12+x）步，根據(jù)矩形面積建立方程即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖

∵AF，BG是△ABC的中線

∴點P是三角形的重心故答案為：B【分析】根據(jù)重心的定義判斷即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象經(jīng)過點P(-1，y1)和Q(m，y2)，

∴y1=3+c，y2=m2-2m+c，

∵y1<y2，

∴3+c＜m2-2m+c，即m2-2m-3＜0，

解得m＜-1或m＞3.

故答案為：C.

【分析】將兩點的坐標分別代入y=x2-2x+c表示出y1與y2，進而根據(jù)y1<y2列出不等式，求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可得：第一次摸球時，袋中有紅，黃，藍三個球

第二次摸球時，袋中有紅，黃，藍三個球

∴第二次摸球時，袋中球個數(shù)不變

∴隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出1個球

故答案為：A【分析】根據(jù)兩次摸球時，袋中球個數(shù)不變可得隨機摸出一個球后放回，再隨機摸出1個球，即可求出答案.9．【答案】B【解析】【解答】解：作OK⊥PC于K，設正方形PFGH的邊長是x

∵四邊形PCDE是正方形

∴∠CPD=45°

∵∠OKP=90°

∴△KOP是等腰直角三角形

∴PK=22OP=1

∴CK=FK=x+1

∴PC=CK+PK=x+2

∵兩個正方形的面積之和為16

∴x2+x+22=16

解得：x=7-1或x=-7-1(舍去)【分析】作OK⊥PC于K，設正方形PFGH的邊長是x，根據(jù)正方形性質可得∠CPD=45°，再根據(jù)等腰直角三角形判定定理可得△KOP是等腰直角三角形，則PK=22OP=1，再根據(jù)邊之間的關系可得CK=1，PC=2，再根據(jù)正方形面積建立方程，解方程可得PC=10．【答案】A【解析】【解答】解：設拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點坐標為x1,0,x2,0,x1-x2=2

即x1，x2為方程x2+ax+b=0的兩根

∴x1+x2=-a,x1·x2=b

∵x1-x2=2

∴x1-x22=4

∴x1+x22-4x1故答案為：A【分析】設拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點坐標為x1,0,x2,0,x1-11．【答案】(3，-4)【解析】【解答】解：由題意可得：

點(-3，4)關于原點對稱的點的坐標是(3，-4)

故答案為：(3，-4)12．【答案】-7【解析】【解答】解：∵x1=m，x2=n是一元二次方程x2-2x-5=0的兩個實數(shù)根故答案為：-7【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系可得m+n=2，mn=-5，化簡代數(shù)式，再整體代入即可求出答案。13．【答案】（1）1（2）19【解析】【解答】解：（1）由題意可得：

轉動轉盤1，當轉盤1停止轉動時，指針落在紅色區(qū)域的概率是120360=13

故答案為：13

（2）由題意可得：

同時轉動轉盤故答案為：1【分析】（1）根據(jù)簡單事件的概率計算即可求出答案.

（2）根據(jù)簡單事件的概率計算即可求出答案.14．【答案】110°???????【解析】【解答】解：連接OE，則∠AOE=50°

∵∠ACB=90°

∴點C在圓上

∴∠ACE=12∠AOE=25°

∵∠CAB=45°

∴∠ADC＝180°-25°-45°＝110°

故答案為：110°【分析】連接OE，則∠AOE=50°，根據(jù)圓周角性質可得點C在圓上，則∠ACE=115．【答案】①②④???????【解析】【解答】解：∵函數(shù)圖象開口朝下，則a<0

與y軸交于負半軸，則c<0，對稱軸為x=2

∴-b2a=2

∴b=-4a>0

∴abc>0，4a+b==0，①②正確

∵OA=OC，C(0，c)

∴OA=OC=-c

∴A(-c，0)

∵直線y=x+c與x軸的交點為（-c，0）

∴直線y=x+c過A，C點

觀察圖象，若ax2+bx+c<x+c，則x<0或x>-c，③錯誤

將A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得：0=ac2+bc+c

兩邊同時除以ac得：c-b故答案為：①②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象，性質與系數(shù)的關系逐項進行判斷即可求出答案.16．【答案】4-23或【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CAB=∠B=45°

將等腰Rt△ABC繞以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到△A1B1C1，線段B1C1的延長線交線段AB于點D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠ACB=90°

∴∠DAC1=∠CAC1-∠CAB=15°

在AC1取一點E，連接DE，使得AE=DE，則∠EDA=∠BAC1=15°

∴∠DEC1=∠EDA+∠BAC1=30°

∵∠DC1E=∠AC1B1=90°

∴AE=DE=2C1D

∴C1E=DE2-C1D2=2C1D2-C1D2=3C1D

∴2C1D+3C1D=AC1=2

∴C1D=4-23

將等腰Rt△ABC繞以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到△A1B1C1，線段B1C1的延長線交線段AB于點D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠AC1D=∠ACB=90°

∴∠BAC1=∠CAC17．【答案】（1）解：將二次函數(shù)y=x2（2）解：∵y=(x+2)2-7∴此二次函數(shù)的的圖象開口向上，頂點坐標為(-2，-7)，對稱軸為直線x=-2【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法將解析式化成頂點式即可求出答案.

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出答案。18．【答案】解：∵一元二次方程x2∴Δ=42-4(m-1)=0∴x∴x=-4解得x【解析】【分析】根據(jù)二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則判別式?=b19．【答案】（1）解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉140°得到△ADE，∴AC=AE，∠CAE=140°，∴△ACE是以頂角為140°的等腰三角形（2）解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉140°得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，∴∠ABC=∠ADB=1同理可得∠ACE=∠AEC=20°，∵CE⊥BD，∴∠ECB=90°，∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=90°-20°=70°，在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-70°=90°，即∠BAC的度數(shù)為90°【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉性質可得AC=AE，∠CAE=140°，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.

（2）根據(jù)旋轉性質可得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，再根據(jù)等邊對等角及三角形內角和定理可得∠ABC=∠ADB=20°，同理可得∠ACE=∠AEC=20°，再根據(jù)角之間的關系可得∠ACB=70°，再根據(jù)三角形內角和定理即可求出答案.20．【答案】（1）0.334；2（2）解：列表為：白紅紅白紅白紅白紅白紅紅紅紅白紅紅紅共有6種等可能的結果，其中恰好摸到1個白球和1個紅球的有4種，所以恰好摸到1個白球和1個紅球的概率為4【解析】【解答】解：（1）隨著摸球次數(shù)的越來越多，頻率越來越接近0.334

∴這個常數(shù)是0.334

設紅球有x個，由題意可得：

11+x=0.334，解得：x≈2

故答案為：0.334，2

【分析】（1）隨著摸球次數(shù)的越來越多，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.334，即可得常數(shù)為0.334，設紅球有x個，再根據(jù)概率公式即可得紅球個數(shù).

（2）列出表格，求出所有等可能的結果，再求出恰好摸到1個白球和21．【答案】（1）解：①如圖1中，線段DE即為所求；②如圖1中，點M即為所求；（2）解：連接BE，OB，OE．∵B，E是三等分點，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形，∴BE=OB=OE=4，同理△AOE是等邊三角形，∴AE=OE=BE=4，∵∠BAE=1∴∠EBA=∠EAB=30°，∵∠BEC=∠EBA+∠EAB=60°，∠C=90°，∴EC=12BE=2∴【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質作圖即可得DE，根據(jù)線段中點性質作圖即可求出答案.

（2）連接BE，OB，OE，根據(jù)圓周角定理可得∠BOE=60°，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得△OBE是等邊三角形，則BE=OB=OE=4，同理△AOE是等邊三角形，則AE=OE=BE=4，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得∠EBA=∠EAB=30°，再解含30°角的直角三角形性質即可求出答案.22．【答案】（1）解：以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，如圖1所示：（2）解：由圖1可得函數(shù)頂點為(2，1.5∴可設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-2)將(0，0.5)代入解得a=-1∴拋物線的解析式為：y=-（3）解：設調節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=-1由題意可知，當橫坐標為時2+22=3∴-1解得n≥1.05，∴水管高度至少向上調節(jié)1.05米，∴1.05+0.5=1.55(米)，∴公園應將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計)至少調節(jié)到約1.55米才能符合要求【解析】【分析】（1）根據(jù)點的坐標特征建立直角坐標系即可求出答案.

（2）設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-2)2+1.5，根據(jù)待定系數(shù)法將點(0，0.5)代入解析式即可求出答案.

（3）設調節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=-23．【答案】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE（2）證明：如圖所示，過點B作BN//AC交FD延長線與N，∵∠BAC=60°，AF=AB，∴△ABF是等邊三角形，∴BA=BF，∠AFB=60°，∵BN//AC，∴∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由旋轉的性質可得∠DBE=60°，BE=BD，∴∠ABE=∠DBF，∠MBE=∠NAD，∴△ABE≌△DBF(SAS)，∴∠AEB=∠FDB，∴∠BEM=∠BDN，∴△BEM≌△BDN(ASA)，∴BM=BN，∵BM=CF，∴BN=CF，∴△BDN≌△CDF(ASA)，∴BD=CD，∴點D為線段BC的中點；（3）3【解析】【解答】解：（3）在線段AD截取一點F使得AF=AB，連接BF，過點B作BH⊥EA交EA延長線于點H

∵∠BAC=60°，AF=AB

∴△ABF是等邊三角形

∴AB=BF，∠ABF=∠AFB=60°

∴∠BFD=120°

由旋轉性質可得：BD=BE，∠EBD=60°

∴∠ABE=∠DBF

∴△ABE≌△DBF

∴AE=DF，∠BAE=∠BFD=120°

∴∠BAH=60°

∴∠ABH=30°

∴BH=32AB

∵AD=AF+DF=4

∴5AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB

設AB=2x，則BH=3x，AE=4-2x

∴S△ABE=12AE·BH=-3x-12+3

∴當x=1時，S△ABE有最大值3

故答案為：3

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，則∠BAD=∠CAE，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△BAD≌△CAE(SAS)，則BD=CE，即可求出答案.

（2）過點B作BN//AC交FD延長線與N，根據(jù)等邊三角形判定定理可得△ABF是等邊三角形，則BA=BF，∠AFB=60°，再根據(jù)直線平行性質可得∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由