2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.2 斜邊、直角邊 第4課時(shí)同步練習(xí)(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.2斜邊、直角邊第4課時(shí)同步練習(xí)(含答案)12.2第4課時(shí)斜邊、直角邊（HL）一、選擇題:1.兩個(gè)直角三角形全等的條件是()A.一銳角對(duì)應(yīng)相等;B.兩銳角對(duì)應(yīng)相等;C.一條邊對(duì)應(yīng)相等;D.兩條邊對(duì)應(yīng)相等2.如圖,∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=30°，則∠2的度數(shù)為()A.30°B.60°C.30°和60°之間 D.以上都不對(duì)3.如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等,那么兩個(gè)直角三角形全等的依據(jù)是()A.AASB.SASC.HLD.SSS4.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,則下列條件中不能判定△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5.如圖,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么圖中有全等三角形()A.5對(duì);B.4對(duì);C.3對(duì);D.2對(duì)6.要判定兩個(gè)直角三角形全等,下列說(shuō)法正確的有()①有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等;②有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;③有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等;④有一條直角邊和一個(gè)銳角相等;⑤有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;⑥有兩條邊相等.A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)第2題圖第5題圖第7題圖第8題圖7.如圖，已知那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的是（）A．B．C． D．8.如圖，已知AD是△ABC的BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．AB=ACB．∠BAC=90°C．BD=ACD．∠B=45°二、填空題:9.有________和一條________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,簡(jiǎn)寫成“斜邊直角邊”或用字母表示為“___________”.10.判定兩個(gè)直角三角形全等的方法有______________________________.11.如圖，已知AC⊥BD于點(diǎn)P，AP=CP，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使△ABP≌△CDP（不能添加輔助線），你增加的條件是_________________________________12.如圖，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC與BD交于點(diǎn)O，則有△________≌△________，其判定依據(jù)是_______________________，還有△________≌△________，其判定依據(jù)是___________________________．第11題圖第12題圖第13題圖13.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF=AC，則∠ABC=_______第14題圖第15題圖第16題圖14.如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有對(duì)全等三角形.15.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，點(diǎn)P與點(diǎn)Q分別在AC和AC的垂線AD上移動(dòng)，則當(dāng)AP=_______時(shí)，△ABC≌△APQ．16.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過(guò)點(diǎn)B，C作過(guò)點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，則DE=________cm.17.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則∠ABC+∠DFE=__________度18.如圖，南京路與八一街垂直，西安路也與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直．如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程為__________m.第17題圖第18題圖三、解答題:19.如圖，，請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一對(duì)加以證明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數(shù).21.如圖AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說(shuō)明理由．22.已知如圖,AB=AC,∠BAC=90°,AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線,且B、C在DE的異側(cè),BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求證:BD=DE+CE.23.已知如圖,在△ABC中,以AB、AC為直角邊,分別向外作等腰直角三角形ABE、ACF,連結(jié)EF,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,反向延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)M.(1)用圓規(guī)比較EM與FM的大小.(2)你能說(shuō)明由(1)中所得結(jié)論的道理嗎?參考答案一、選擇題1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A二、填空題9.斜邊,直角邊,HL10.SSS、ASA、AAS、SAS、HL11.BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D．12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS.`13.45°14.315.4或816.717.90°18.500三、解答題19.解：（1）、、、、（寫出其中的三對(duì)即可）.（2）以為例證明．證明：在Rt和Rt中，Rt≌Rt.20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB－∠CAE=45°－30°=15°.由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.21.（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE，∴AD=AE．（2）互相垂直，在Rt△ADO與△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分線，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．22.證明：∵BD⊥AE于D,CE⊥AE于E∴∠ADB=∠AEC=90°∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD∴∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE(AAS)∴BD=AE,AD=CE∵AE=AD+DE∴BD=CE+DE23.解：(1)EM=FM(2)作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K先說(shuō)明Rt△EHA≌Rt△ADB得EH=ADRt△FKA≌Rt△ADC得FK=AD得EH=FK在Rt△EHK與Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM得EM=FM.13．2三角形全等的條件同步訓(xùn)練教材基礎(chǔ)知識(shí)針對(duì)性訓(xùn)練一、選擇題1．下列條件中，不能使兩個(gè)三角形全等的條件是（）．A．兩邊一角對(duì)應(yīng)相等B．兩角一邊對(duì)應(yīng)相等C．三邊對(duì)應(yīng)相等D．兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等2．如圖1所示，AC平分∠PAQ，點(diǎn)B，B′分別在AP，AQ上，如果添加一個(gè)條件，即可推出AB=AB′，那么該條件不能是（）．A．BB′⊥ACB．BC=B′C;C．∠ACB=∠ACB′D．∠ABC=∠AB′C(1)(2)(3)3．如圖2，四邊形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，則∠BCD的度數(shù)為（）．A．145°B．130°C．110°D．70°4．如圖3所示，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下面一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是（）．A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=AC5．使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）．A．一銳角對(duì)應(yīng)相等;B．兩銳角對(duì)應(yīng)相等;C．一條邊對(duì)應(yīng)相等;D．兩條邊對(duì)應(yīng)相等(4)(5)(6)6．如圖4所示，AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，則圖中全等的三角形有（）．A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)二、填空題1．如圖5所示，已知AB=CD，且AB，CD相交于O，只要補(bǔ)充______=______，或_______=______，就可以證明△AOD≌△COB．2．如圖6所示，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠______=∠_______，或_____∥______，就可證△ABC≌△DEF．3．如圖7所示，AD⊥BC，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，若要證DE=DF，先證_______≌________，運(yùn)用的定理是_____________，再證______≌______，依據(jù)是________．(7)(8)(9)4．如圖8所示，H是線段BC的中點(diǎn)，∠ABH=∠DCH=90°，AH=DH，則△ABH≌_________，依據(jù)是________________，若AE=DF，∠E=∠F=90°，則△AEB≌_______，依據(jù)是__________________．5．如圖9所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，則∠3=_________．6．如圖所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于O，則∠DOE的度數(shù)是_________．三、解答題1．如圖所示，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，BE與DC相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖所示，是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，試說(shuō)明理由．3．已知：如圖，AD是△ABC的高，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，BE=AC，DE=DC，BE和AC垂直嗎？說(shuō)明理由．4．如圖，兩根鋼繩一端固定在地面兩個(gè)鐵柱上，另一端固定在電線桿上，已知兩根鋼繩的長(zhǎng)度相等，則兩個(gè)鐵柱到電線桿底部的距離相等嗎？為什么？請(qǐng)說(shuō)明每一步的理由．探究應(yīng)用拓展性訓(xùn)練1．（學(xué)科內(nèi)綜合題）如圖，已知AB=AC，E，D分別是AB，AC的中點(diǎn)，且AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于F，AG⊥CE交CE的延長(zhǎng)線于G，試判斷AF和AG的關(guān)系是否相等，并說(shuō)明理由．2．（開放題）如圖，已知AC，BD相交于點(diǎn)O，BO=DO，CO=AO，EF過(guò)點(diǎn)O分別交BC，AD于E，F(xiàn)，據(jù)此你能得出什么結(jié)論？寫出思考過(guò)程．3．（探究題）如圖，你能把一個(gè)三條邊都相等的三角形分成兩個(gè)全等的圖形嗎？能分成三個(gè)、四個(gè)全等的圖形嗎？怎樣分？請(qǐng)畫出你的設(shè)計(jì)圖．4．（創(chuàng)新題）如圖，太陽(yáng)光線AC與A′C′是平行的，兩根高度相同的木桿在太陽(yáng)光照射下的影子一樣長(zhǎng)嗎？為什么？5．（與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系的應(yīng)用題）某鐵路施工隊(duì)在建設(shè)鐵路的過(guò)程中需要打通一座小山，設(shè)計(jì)時(shí)要測(cè)量隧道的長(zhǎng)度，恰好在山的前面是一片空地，利用這樣的有利地形，測(cè)量工人是否可以利用三角形全等的知識(shí)測(cè)量出需要開挖隧道的長(zhǎng)度？請(qǐng)你畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方法圖，并說(shuō)明理由．6．（2003年黑龍江卷）如圖所示，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，且AD，CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件________，使△AEH≌△CEB．答案教材基礎(chǔ)知識(shí)針對(duì)性訓(xùn)練一、1．A解析：B中可以用AAS或ASA；C中可以用SSS；D中可以用SAS；而A中反映的是SSA或SAS，當(dāng)題中出現(xiàn)的條件是SSA時(shí)，三角形不一定全等，故應(yīng)選A．2．B解析：由AC平分∠PAQ得∠BAC=∠B′AC．A中，當(dāng)BB′⊥AC時(shí)，則∠ACB=∠ACB′=90°．又∵AC=AC，∴△ACB′≌△ACB（ASA），∴AB=AB′．B中，當(dāng)BC=B′C時(shí)，BC=B′C，AC=AC，∠BAC=∠B′AC，即有兩邊及其一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能推出△ACB與△ACB′全等，故不能推出AB與AB′相等．C中，當(dāng)∠ACB=∠ACB′時(shí)，△ACB≌△ACB′（ASA），∴AB=AB′．D中，當(dāng)∠ABC=∠AB′C時(shí)，△ACB≌△ACB′（AAS），∴AB=AB′．提示：邊邊角不能判定三角形全等．3．C解析：在Rt△ADC與Rt△ABC中，∠B=∠D=90°，CB=CD，AC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴∠BCA=∠DCA．在Rt△ABC中，∵∠BAC=35°，∴∠ACB=55°，∴∠BCD=2×55°=110°．提示：利用HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC是解決問(wèn)題的突破點(diǎn)．4．B解析：當(dāng)補(bǔ)充上A時(shí)，AD=AE，可證得△ABE≌△ACD（AAS）．當(dāng)補(bǔ)充上B時(shí)，題中沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等，∴無(wú)法判定△ABE與△ACD全等．當(dāng)補(bǔ)充上C時(shí)，可得△ABE≌△ACD（AAS）．當(dāng)補(bǔ)充上D時(shí)，可得△ABE≌△ACD（ASA）．提示：要想判斷三角形全等，至少得有一組對(duì)應(yīng)邊相等，另外注意利用公共角．5．D解析：A，B中都沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等，只有對(duì)應(yīng)角相等．∴A，B不能使兩個(gè)直角三角形全等．C中只有一條邊對(duì)應(yīng)相等，∴C也不能使兩個(gè)直角三角形全等，故選D．提示：在直角三角形中，只要有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等．6．D提示：能夠從組合圖形中分解出基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、1．解析：（1）如答圖，連結(jié)AC．在△ACD與△CAB中，∵AB=CD，AC=AC（公共邊），∴當(dāng)AD=BC時(shí)，△ACD≌△CAB（SSS），∴∠D=∠B．在△ADO≌△CBO中，∠D=∠B，∠DOA=∠BOC，AD=BC，∴△ADO≌△CBO（AAS）．（2）當(dāng)AO=CO（DO=BO）時(shí)，∵AB=CD，∴DO=BO（AO=OC）．又∵∠DOA=∠BOC，∴△AOD≌△BOC（SAS）．答案：ADBCAO或ODOC或OB提示：由于△AOD與△COB沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊相等，故可設(shè)法補(bǔ)充對(duì)應(yīng)邊．2．解析：在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，BC=EF，∴當(dāng)∠B=∠E或AB∥DE時(shí)，就可證△ABC≌△DEF（SAS）．答案：BEABDE提示：由于題中的兩個(gè)三角形中有兩組對(duì)應(yīng)邊相等，故可考慮SAS．3．解析：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°．又∵AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），∴∠BAD=∠CAD．在Rt△AED≌Rt△AFD中，∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）．答案：△ADB△ADC直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等Rt△AEDRt△AFEAAS提示：DE與DF所在的Rt△AED與Rt△AFD中只有一角（90°）和一邊（AD）對(duì)應(yīng)相等，故要尋找另外的條件，易發(fā)現(xiàn)∠EAD和∠DAC在Rt△ABD和Rt△ACD中，所以可先證△ADB≌△ADC．4．解析：在Rt△ABH和Rt△DCH中，AH=DH，BH=CH（線段中點(diǎn)的定義），∴Rt△ABH≌Rt△DCH（HL）．由Rt△ABH≌Rt△DCH知，AB=DC，又∵∠E=∠F=90°，AE=DF，∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）．答案：△DCHHL△DFC，HL提示：用HL來(lái)判定兩個(gè)直角三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．5．解析：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠4+∠DAC，且∠BAC=∠DAE，∴∠1=∠4．又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠2=∠5=30°．又∵∠3=∠1+∠5，∴∠3=25°+30°=55°．答案：55°6．解析：∵DA⊥BA，EA⊥AC，∴∠DAB=∠EAC=90°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠EAB．在△DAC和△EAB中，AB=AD，∠DAC=∠EAB，AC=AE，∴△DAC≌△EAB，∴DC=EB．即DC與EB是對(duì)應(yīng)邊．∵∠DAB=90°，∴從邊的角度來(lái)看，△ADC與△AEB可以繞公共邊頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后重合，故∠DOE=90°．答案：90°三、1．解析：BE=DC．理由：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠DAC．在△BAE與△DAC中，AB=AC，∠BAE=∠DAC，AE=AD，∴△BAE≌△DAC，∴BE=DC．2．解析：∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC=∠DAC，∴AE是角平分線．提示：利用邊邊邊來(lái)判定三角形全等．3．解析：BF⊥AC．理由：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△BED與Rt△ACD中，BE=AC，DE=DC，∴Rt△BED≌Rt△ACD（HL）．∴∠EBD=∠DAC．∵∠DAC+∠C=90°，∴∠EBD+∠C=90°．∴∠BFC=90°，即BF⊥AC．提示：由于∠DAC+∠C=90°，故可以考慮∠FBC=∠DAC，易發(fā)現(xiàn)∠FBC與∠DAC在Rt△BED與Rt△ADC中，故可以通過(guò)證明Rt△BED≌Rt△ADC，應(yīng)用的判定條件是HL．4．解析：相等．∵在Rt△ABD與Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴BD=DC．提示：由直角邊、斜邊可判斷出Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．

探究應(yīng)用拓展性訓(xùn)練1．解析：AF=AG．理由：∵AB=AC，E，D分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴AE=AD．在△BAD與△CAE中，AB=AC，∠BAC=∠CAB，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABF=∠ACG．在Rt△ACG與Rt△ABF中，∠G=∠F，∠ACG=∠ABF，AB=AC，∴Rt△ACG≌Rt△ABF，∴AF=AG．提示：從組合圖形中分解出基本圖形是解決本題的關(guān)鍵，由圖可知，AF與AG的相等關(guān)系可以在Rt△ACG與Rt△ABF中尋找．2．解析：結(jié)論：BC=AD，CE=AF，BE=DF，OE=OF，BC∥AD．思考過(guò)程：∵BO=DO，CO=AO，∠BOC=∠DOA，∴△BOC≌△DOA（SAS），∴∠B=∠D，∴BC∥AD．在△BOE≌△DOF中，∠B=∠D，∠BOE=∠DOF，OB=OD，∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴BE=DF，OE=OF．由△BOC≌△DOA得BC=AD，∴BC-BE=AD-DF，即CE=AF．提示：綜合運(yùn)用三角形全等及平行線的判定．3．解析：能．答圖中，Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．答圖中，作三個(gè)內(nèi)角的平分線交于O點(diǎn)．則△AOB≌△AOC≌△BOC（SAS）．答圖中取三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則△ADE≌△BDF≌△EFC≌△FDE（SAS）．4．解析：一樣長(zhǎng)．理由：∵AC∥A′C′，∴∠C=∠C′，又∵AB=A′B′，∠ABC=∠A′B′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS），∴BC=B′C′．提示：利用AAS證△ABC≌△A′B′C′．5．解析：在山的兩側(cè)分別取A，B兩點(diǎn)，在空地上取一點(diǎn)C，連結(jié)AC，BC，并延長(zhǎng)使AC=CE，BC=CF，連結(jié)EF，那么EF之間的距離就是AB之間的距離，從而可以測(cè)量出隧道的長(zhǎng)度，如答圖13-6．提示：利用邊角證△ACB≌△ECF，從而得到AB=EF．6．解析：∵在△AEH和△CEB中，∠AEC=∠BEC=90°，∠EAD=∠ECD（等角的余角相等），∴當(dāng)AE=CE（或AH=CB，或EH=EB）時(shí)，△AEH≌△CEB．答案：AE=CE（或AH=CB，或EH=EB）提示：設(shè)法添加一組對(duì)應(yīng)邊．13.2三角形全等的條件（ASA或AAS）【知能點(diǎn)分類訓(xùn)練】知能點(diǎn)1“角邊角”定理與“角角邊”定理1．已知AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，則△ABC≌△A′B′C′的根據(jù)是（）．A．SASB．SSSC．AASD．ASA2．如圖，李明同學(xué)把一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，他最省事的辦法是（）．A．帶①去B．帶②去C．帶③去D．帶①和②去3．在△ABC和△A′B′C′中，①AB=A′B′，②BC=B′C′，③AC=A′C′，④∠A=∠A′，⑤∠B=∠B′，⑥∠C=∠C′，則下列條件中不能保證△ABC≌△A′B′C′的是（）．A．①②③B．①②⑤C．①⑤⑥D(zhuǎn)．①②④4．如圖，D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，CE∥AB，E在AD的延長(zhǎng)線上.試證明△ABD≌△ECD．5．如圖，已知AB∥CD，AF=CE，∠B=∠D，證明BE和DF的關(guān)系．知能點(diǎn)2“ASA及AAS”定理的應(yīng)用6．如圖，要測(cè)量河寬AB．（1）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的“三角形全等”的有關(guān)知識(shí)設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案．（2）說(shuō)明你設(shè)計(jì)的方案的正確性．【綜合運(yùn)用提高】7．如圖，AB∥A′B′，AC∥A′C′，且BB′=CC′，你能說(shuō)明AC=A′C′的理由嗎？8．如圖，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高．試證明AD=A′D′，并用一句話說(shuō)明你的結(jié)論．【開放探索創(chuàng)新】9．如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH與CF相交于點(diǎn)O．求證：（1）HB=CF；（2）HB⊥CF．10．如圖，在△AFD和△BED中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，有下面四個(gè)論斷：（1）AD=CD；（2）AE=CF；（3）∠B=∠D；（4）AD∥BC．請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，并寫出解答過(guò)程．答案:1．D2．C3．D點(diǎn)撥：兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．4．證明：∵CE∥AB，∴∠ABD=∠ECD．在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（ASA）．5．證明：∵AB∥CD，BE=DF，∴∠A=∠C．又∵AF=CE，∴AF+FE=CE+FE．即AE=CF．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF．6．（1）測(cè)量如下：如圖，在河岸的一側(cè)取C，D兩點(diǎn)，使BC=CD，再過(guò)D作河岸的垂線DF，在DF上找一點(diǎn)E，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上，則測(cè)得DE的長(zhǎng)就是河寬AB．（2）因?yàn)锳，C，E三點(diǎn)在一條直線上，所以∠ACB=∠DCE，又因?yàn)锳B和DE都與河岸垂直，所以∠ABC=∠CDE=90°，由測(cè)量方案BC=CD，可由（ASA）全等識(shí)別法證明△ABC≌△EDC，所以DE=AB，即測(cè)量DE的長(zhǎng)就可知河寬AB．7．∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′．又∵AB′=CC′，∴BB′+BC′=CC′+BC′，即B′C′=BC，()∴△ABC≌△A′B′C′（ASA），∴AC=A′C′．8．此題證明方法不唯一，如：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，∠B=∠B′．∵AD，A′D′分別是△ABC，△A′B′C′的高．∴∠ADB=∠A′D′B′=90°．在△ABD和△A′B′D′中，∠B=∠B′，∠ADB=∠A′D′B′，AB=A′B′．∴△ABD≌△A′B′D′，∴AD=A′D′．一句話是：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等．9．（1）∵AF⊥AB，AH⊥AC，∴∠HAC=∠BAF=90°，∴∠HAC+∠BAC=∠BAF+∠BAC，即∠BAH=∠CAF．在△HAB和△CAF中，∴△HAB≌△CAF（SAS），∴HB=CF，∠B=∠F．（2）在△AFD和△BOD中，∠B=∠F，∠ODB=∠ADF，∴∠DOB=∠FAD，即HB⊥CF．10．已知AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC，求證：AD=BC．證明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．又∵∠B=∠D在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．13.2三角形全等的條件（HL）【知能點(diǎn)分類訓(xùn)練】知能點(diǎn)1“斜邊直角邊”定理1．如圖1，AD，A′D′分別是銳角三角形ABC和銳角三角形A′B′C′中BC，B′C′邊上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，請(qǐng)你補(bǔ)充條件_______（填一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）．(1)(2)2．在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，有下面幾組條件：①AC=B′C′=3，BC=A′C′=4；②AC=A′C′=3，AB=A′B′=4；③AC=A′B′=3，AB=A′C′=4．其中能判定兩個(gè)三角形全等的有（）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．如圖2，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，則圖中全等三角形有（）．A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)4．下列語(yǔ)句中，不正確的是（）．A．兩條直角邊邊相等的兩個(gè)直角三角形全等;B．兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;C．兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等5．如圖，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足為B，C，OB=OC，證明：AO平分∠BAC．知能點(diǎn)2“HL”定理的應(yīng)用6．要將右圖中的∠MON平分，小梅設(shè)計(jì)了如下方案：在射線OM，ON上分別取OA=OB，過(guò)A作DA⊥OM于A，交ON于D，過(guò)B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于點(diǎn)C，過(guò)O，C作射線OC即為MON的平分線，試說(shuō)明這樣做的理由．7．如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC=E