福建省福州市福清市高中聯(lián)合體2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

2023—2024學年第一學期高二年期末考試質量檢測數(shù)學學科試卷注意事項：1.答題前、考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名，考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致、2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答，答案無效.3.考試結束，考生必須將答題卡交回.第I卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與直線間的距離為2，則（）A.或4 B.4 C.或6 D.或16【答案】D【解析】【分析】利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由題意可知，直線與直線平行，所以，因為直線與直線間的距離為2，所以，解得或.故選：D.2.已知雙曲線的一個焦點坐標為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可求得，結合雙曲線的漸近線方程定義計算即可得.【詳解】由題意可得，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.已知，，，則點到直線的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用空間向量公式求點到直線的距離．【詳解】因為，，，．設點到直線的距離為d，則．故選：C.4.已知拋物線：的準線方程為，過點的直線與C有且只有一個公共點，則滿足這樣條件的的條數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【詳解】由拋物線：的準線方程為，所以，當過點的直線斜率不存在時，即與C有且只有一個公共點，當過點的直線斜率存在時，設，聯(lián)立方程組，消元得，當時，與C有且只有一個公共點，當時，令，得，此時，與C有且只有一個公共點.所以過點的直線有三條與C有且只有一個公共點.故選：B5.已知點，，H是直線：上的動點，則的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出草圖可知，點M、點N在直線同側，運用對稱性即可求得結果.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以．故選：A.6.已知三棱錐，點是棱的中點，點是的重心，設，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用重心的性質及空間向量的線性運算計算即可.【詳解】取的中點，連接,因為點是的重心，所以,所以故選：A.7.已知，，動點滿足，則面積的最大值為（）A.24 B.15 C.12 D.6【答案】C【解析】【分析】由條件關系求出點的軌跡方程，再利用橢圓性質求面積的最大值.【詳解】因為動點滿足，去分母，兩邊平方，，化簡得，所以點的軌跡為以點和為焦點的橢圓，，當點為橢圓短軸端點時，面積最大.故選：C8.在正方體中，點滿足，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用向量的坐標運算，求出點的坐標，進而求出直線方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角與線面角的關系即可求解.【詳解】不妨設正方體的棱長為，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示則,所以設，則，因為，所以，即，解得所以,設平面的法向量為，則,即，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知方程表示曲線Γ，則下列結論正確的是（）A.若，則Γ是軸 B.若，則Γ是圓C.若，則Γ是橢圓 D.若Γ是雙曲線，則【答案】BC【解析】【分析】對于A、B、C，將的值代入方程即可判定；對于D，由雙曲線方程特點可分析的取值范圍.【詳解】若，方程為，則Γ是軸，A錯誤；若，方程為，則Γ是圓，B正確；若，則方程，其中，且，則Γ是橢圓，C正確；若Γ是雙曲線，則，得或，D錯誤.故選：BC10.已知點，，直線：與線段有交點，則可以為（）A6 B.2 C.1 D.-1【答案】ABC【解析】【分析】求得直線恒過定點，求得斜率，結合圖象可求得的范圍，進而可得結果.【詳解】由直線：，可得，故過定點，斜率為，所以而的斜率不存在，結合圖形可知：，即.故選：ABC.11.已知點在圓上，點，，則下列結論正確的是（）A.直線的方程為B.當最大時，C.當最小時，D.圓上到直線的距離等于1的點只有1個【答案】ABC【解析】【分析】A，截距式直接寫出直線的方程；所以如圖：當最大或最小時，此時與圓相切，勾股定理求出，可判斷B、C選項的正誤；求出點P到直線AB的距離的取值范圍，可判斷D選項的正誤；.【詳解】由點，，直線的方程為，即，A正確；點P到直線AB的距離小于10，A選項正確；由，可得圓心，所以如圖：當最大或最小時，此時與圓相切，且有圓心到的距離為，利用勾股定理可得：，故B、C選項正確;所以圓心到直線的距離，直線與圓相離，且所以點P到直線AB的距離的最大值為，點P到直線AB的距離的最小值為，圓上到直線AB的距離等于1的點有2個,D選項錯誤；故選：ABC.12.如圖，圓錐的頂點為P，底面圓心為.點A，B，M是底面圓周上三個不同的點，且.已知，則下列結論正確的是（）A.三棱錐體積的最大值為B.當時，直線與所成角為45°C.存在點M，使得直線與所成角為30°D.當直線與成60°角時，與所成角為60°【答案】BD【解析】【分析】對于A項，只需使邊上的高最大即可，顯然是經過圓心的高最長；對于B項，由條件可推出，故得三點共線，即可轉化求角；對于C項，可以建系后通過求點坐標和相關向量坐標，借助于正弦型函數(shù)的值域判斷；對于D項，可由與成60°求出點坐標，再求解驗證與所成的角即得.【詳解】對于A項，如圖，要使三棱錐體積最大，則須使面積最大，因,取的中點，連接并延長與底面圓交于點，此時面積最大，則，故A項錯誤；對于B項，如圖，因平面,平面，則,因，,則平面，又平面,則,即三點共線，故直線與所成角即,顯然該角為45°，故B項正確；對于C項，如圖，不妨分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系.則,因點在底面圓上一動點，故可設為且，則，設直線與所成角為，則，因，故，又因，故，故不存在點M，使得直線與所成角為30°，故C項錯誤；對于D項，由C項建系，可得：因直線與成60°，則，解得：，又設與所成角為，則，因，故，故D項正確.故選：BD【點睛】方法點睛：本題重點考查與圓錐有關的體積，異面直線的夾角問題.求解與圓錐有關的問題的主要方法有：（1）推理化歸法：借助于圓錐的軸與底面垂直特征，可完成各項推理轉化，將問題移到基本圖形解決；（2）空間圖形平面化：在處理空間幾何問題時，常將某平面上的關系化成直觀圖利用平面幾何方法求解；（如A項求邊上的最長的高）（3）建系坐標法:對于易于建系，而且較易使用空間向量解決的夾角、距離等問題時常用.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線過點且與以為方向向量的直線平行，則的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量求斜率，再結合直線的點斜式方程運算求解.【詳解】由題意可知：直線的方向向量為，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.故答案為：.14.圓與圓的公共弦長為______.【答案】【解析】【分析】兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，再利用點線距離公式與弦長公式即可得解.【詳解】因為圓與圓，兩圓方程相減得，因為圓的圓心為，半徑為，則到此直線距離為，所以兩圓相交，直線為兩圓的公共弦所在直線，則所求公共弦長為．故答案為：．15.在正三棱柱中，，動點P在棱上，則點P到平面的距離為______.【答案】【解析】【分析】利用三棱錐的等積性，結合三棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】在正三棱柱中，若，平面，平面，所以平面，動點P在棱上，所以P到平面的距離等于到平面的距離，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底邊上的高長為，所以等腰三角形的面積為，由正三棱錐性質可得，，且平面平面，平面平面，所以到平面的距離為到的距離，設點B1到平面的距離為，，故答案為：16.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點.若的左支上存在點，使得，則的離心率的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】利用定義化簡條件，根據(jù)兩點距離公式建立不等式，化簡可得關系，由此可求離心率范圍.【詳解】因為，，所以.又因，連接，可知，當且僅當A，B，三點共線時取等號，所以，即，所以，又，所以的離心率的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)雙曲線的定義分析可知，結合存在性問題分析求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知關于直線對稱，點，都在上.（1）求線段垂直平分線的方程；（2）求的標準方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求線段的中點，且斜率不存在，寫出方程；（2）解法一：由題意，設，將點代入得方程；解法二：求出直線與直線的交點為圓心，可得方程.【小問1詳解】因為點，，所以線段的中點為因為直線的斜率為，所以垂直平分線的斜率不存在.所以垂直平分線的方程為；【小問2詳解】解法一：因為關于直線對稱，則可設的方程為，又因點，在上，所以，解得，所以的標準方程為.解法二：因為直線與直線的交點為圓心，由，解得，故圓心.又因為.所以的標準方程為.18.已知點為坐標原點，的直徑為2，點，點是：上的動點，記線段的中點的軌跡為Γ.（1）求Γ的方程；（2）判斷Γ與的位置關系.【答案】（1）；（2）相交.【解析】【分析】（1）設點，根據(jù)題意，找到點的坐標關系，結合點的坐標滿足圓方程，即可求得點的軌跡方程；（2）根據(jù)圓心距和兩圓半徑之差和半徑之和的關系，即可判斷.【小問1詳解】設，由題意知，則，又點在上，所以，所以Γ的方程為.【小問2詳解】因為的直徑為2，故圓心為，半徑.由（1）可知Γ的圓心，半徑.所以，又因為，，，即，所以點N的軌跡與的位置關系是相交.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，中點.（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行可得線面平行，進而由線面平行可證明面面平行.（2）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角的即可求解.【小問1詳解】因為E，F(xiàn)分別為棱，中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，，E為棱中點，所以.所以四邊形為平行四邊形，故.因為平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面；【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因為，所以平面，因為，所以.以E為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.可得，，，.所以，，.設平面的法向量，則所以取，則.則.設直線與平面所成角為，則.因為，所以.故直線與平面所成角的余弦值為.20.在直角坐標系中，拋物線Γ：上的點M與Γ的焦點F的距離為2，點M到y(tǒng)軸的距離為.（1）求Γ的方程：（2）直線：與Γ交于A，B兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助拋物線定義及題目條件可得的坐標為，代入即可得，即可得Γ的方程；（2）借助韋達定理與面積公式計算即可得.【小問1詳解】因為，根據(jù)拋物線的定義知點到Γ的準線的距離為2，因為點到軸的距離為，所以點的坐標為，因為點在Γ：上，所以，即，因為，所以，所以Γ的方程為；【小問2詳解】由（1）可知Γ的焦點，：經過Γ的焦點，由，得，設，，則，，所以，因此的面積.21.如圖1，在邊長為4的正方形中，是的中點，N是的中點，將，分別沿，折疊，使B，D點重合于點P，如圖2所示.（1）證明：平面平面；（2）在四棱錐中，，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可通過計算二面角為直二面角的得到，或借助面面垂直的判定定理得到；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系后，借助法向量計算夾角余弦值即可得.【小問1詳解】解法一：在正方形中，，.所以在四棱錐中，，.因為平面平面，平面，平面，所以為二面角的平面角，因為在正方形中，，所以在四棱錐中，.所以，即二面角為直二面角，所以平面平面；解法二：在正方形中，M，N分別是，的中點，所以在四棱錐中，，.所以全等于，所以，即.又在正方形中，，所以在四棱錐中，.由于，平面，所以平面因為平面，所以平面平面.小問2詳解】解法一：由（1）得，，，兩兩垂直.以P為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，可得，，，設平面的法向量，則，所以，取，則，設平面的法向量，