安徽省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可得，即，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則有，即，故.故選：C.3.已知點，，，O為坐標(biāo)原點，若與共線，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，由與共線，故有，解得.故選：B.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，得到，所以，故選：D.5.已知函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為為奇函數(shù)，所以，又為偶函數(shù)，得到，由，得到，所以，即有，所以，故函數(shù)的周期為，又，所以，故選：C.6.已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點，，分別為線段，的中點，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為半圓弧的中點，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，為半圓弧的中點，，分別為線段，的中點，則,，所以，設(shè)異面直線與所成角的角為，則，故選：B.7.法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓及其蒙日圓，點均為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點，分別與相切于點，若與的面積比為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，蒙日圓為，設(shè)，則直線的方程為，由，消得到，顯然有，解得，又與的面積比為，所以，又，，所以，得到，所以，故選：C.8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，則，所以，得到，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，得到在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到，故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.黨的二十大作出“發(fā)展海洋經(jīng)濟(jì)，保護(hù)海洋生態(tài)環(huán)境，加快建設(shè)海洋強(qiáng)國”的戰(zhàn)略部署．如圖是2018—2023年中國海洋生產(chǎn)總值的條形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知下列結(jié)論正確的是（）A.從2018年開始，中國海洋生產(chǎn)總值逐年增大B.從2019年開始，中國海洋生產(chǎn)總值的年增長率最大的是2021年C.這6年中國海洋生產(chǎn)總值的極差為15122D.這6年中國海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628【答案】BD【解析】對于A，根據(jù)條形圖數(shù)據(jù)可以看到2020年較2019年海洋生產(chǎn)總值是下降的，故A錯誤；對于B，2019年海洋生產(chǎn)總值年增長率是，2020年海洋生產(chǎn)總值年增長率是，2021年海洋生產(chǎn)總值年增長率是，2022年海洋生產(chǎn)總值年增長率是，2023年海洋生產(chǎn)總值年增長率是，故年增長率最大的是2021年，故B正確；對于C，這6年中國海洋生產(chǎn)總值的極差為，故C錯誤；對于D，將這6年的海洋生產(chǎn)總值按照從小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，所以這6年中國海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.上單調(diào)遞增C.圖象關(guān)于直線對稱D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】對于A選項，由圖可知，，因為，則，所以，，解得，A對；對于B選項，由A選項可知，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，因為，所以，的圖象關(guān)于直線對稱，C對；對于D選項，，所以，是非奇非偶函數(shù)，D錯.故選：AC.11.已知直線與拋物線相切于點P，過P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，這兩條直線與C的另一個交點分別為A，B，直線與C交于M，N兩點，則（）A. B.線段AB中點的縱坐標(biāo)為C.直線AB的斜率為 D.直線PM，PN的斜率之積為4【答案】BCD【解析】對A：聯(lián)立可得，即有，，解得，故A錯誤；對B：由，故有，故，，故，設(shè)，則，，聯(lián)立與拋物線，即有，消去可得，，即，則有，即同理可得：，故，故B正確；對C：，故C正確；對D：由題意可得，同理可得，則聯(lián)立與拋物線，即有，消去可得，故，，即有，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在直三棱柱中，，，在線段上且，則（）A.B.四棱錐的外接球的一條直徑為C.三棱錐的外接球表面積為D.三棱錐的外接球體積為【答案】BC【解析】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則，設(shè)，得到，所以，又，，所以，得到，所以，對于選項A，因為，，所以與不垂直，所以選項A錯誤，對于選項B，取的中點，易知，因為，所以到距離均相等，所以選項B正確，對于選項C，設(shè)三棱錐的外接球心為，半徑為，則，解得，所以，得到三棱錐的外接球表面積為，所以選項C正確，對于選項D，設(shè)三棱錐的外接球心為，半徑為，則，解得，所以，得到，得到三棱錐的外接球體積為，所以選項D錯誤，故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若圓關(guān)于直線對稱，則______．【答案】【解析】圓的圓心為，由題意可知，圓心在直線上，則，解得，當(dāng)時，此時方程表示圓，滿足題意.故答案為：.14.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】對，有，則當(dāng)時，有，當(dāng)時，有，則的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】或【解析】當(dāng)時，有，解得，當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，有，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，即的解集為，綜上所述，不等式的解集為或.故答案為：或.16.已知數(shù)列的通項公式為，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由，則，故，由，可得，即，設(shè)，則恒成立，故在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，故.故答案為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在當(dāng)今信息泛濫的時代，很多因素容易分散孩子們的注意力．某兒童注意力訓(xùn)練機(jī)構(gòu)從2~14歲的學(xué)員中隨機(jī)抽取了50名學(xué)員，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示：（1）若抽取的這50名學(xué)員的平均年齡為6.2歲（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表），求圖中a，b的值．（2）從所抽取的年齡在，，內(nèi)的學(xué)員中，按照人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再從這7人中任選3人，記這3人中年齡在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由圖可得，即有，由抽取的這50名學(xué)員的平均年齡為6.2歲，可得，即可得，又，故，；（2）由頻率分布直方圖可得：，，三組的頻率之比為：，故抽取的7人中，年齡在內(nèi)的有人，年齡在內(nèi)的有人，年齡在內(nèi)的有人，故X的可能取值為，，，，有，，，，故其分布列為：.18.如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.（1）求的大小;（2）若,求的面積.解：（1）因為是的角平分線,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因為,所以.（2）因為,所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.19.如圖，四棱錐的體積為1，平面平面，，，，，為鈍角．（1）證明：；（2）若點E在棱AB上，且，求直線PE與平面PBD所成角的正弦值．證明：（1）過點作⊥，交的延長線于點，連接，因為平面平面，交線為，平面，所以⊥平面，因為，，，所以四邊形的面積，因為四棱錐的體積為1，所以，解得，因為平面，所以⊥，⊥，因為，為鈍角，由勾股定理得，所以，又，，故四邊形為矩形，所以，由勾股定理得，故；解：（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，則，解得，故，設(shè)平面的法向量為，，令，得，故，設(shè)直線PE與平面所成角為，所以.直線PE與平面PBD所成角的正弦值為.20.在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，即，，即，又，故有，解得，故，；證明：（2），則，，有，即，令，則，則有，即有，即，故，又，故.21.已知雙曲線的右焦點為，且過點．（1）求的方程；（2）設(shè)點，為坐標(biāo)原點，直線與的右支交于兩點，過點作直線的平行線，與x軸交于點，與直線交于點，證明：為線段的中點．解：（1）由雙曲線的右焦點為，故，由C過點，故，即有，化簡得，即，故或，由，故不符合要求，即，則，故C的方程為；證明：（2）設(shè)直線，、，由，則，聯(lián)立直線與雙曲線方程，有，消去可得，有，且，即有，，，則，又直線與的右支交于兩點，故，即有，由，故，直線，聯(lián)立兩直線，有，則有，整理得，故，即，又，有,故G為線段QR的中點.22.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），則當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；證明：（2），則，當(dāng)時，有，令，有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上