安徽省合肥市廬江縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市廬江縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合，，則，.故選：B.2.下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域相同，且，解析式相同，故是同一函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.故選：D.3.若：，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，變形得，解得或，所以：或，又：，，所以是的必要不充分條件.故選：B.4.已知，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】則，從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞減；函數(shù)與函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同.故選：C.5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)=f(x)，且函數(shù)f(x)在(﹣∞，0)上是減函數(shù)，若則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a<c<b B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則函數(shù)為偶函數(shù)，（1），，又由函數(shù)在上是減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且，則.故選：A.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期即個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.故選：D.7.已知常數(shù)，函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，若，則的值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，，即，，即，所以，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?故選：C.8.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2023，經(jīng)過一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以數(shù)字黑洞為123，即，，∴，平方得，∴.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，，則【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋猛虿坏仁较嗉樱瑒t有，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)闀r(shí)顯然不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，則，即，故C正確；對(duì)于D：取，，，，滿足，，但是，所以不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)x，有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄利克雷函數(shù)，即：當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1；當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0．以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)正確的有：（）A. B.的值域?yàn)镃.為奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】由題得，則，所以A正確；容易得的值域?yàn)?，所以B正確；因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以C不正確；因?yàn)?，所以，所以D正確．故選：ABD．11.下列四個(gè)等式中正確的是（）A.B.CD.【答案】ABD【解析】，故A正確；，故B正確；根據(jù)誘導(dǎo)公式知，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.12.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（）A.是以2為周期的周期函數(shù)B.C.D.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對(duì)稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榈闹芷跒殛P(guān)于對(duì)稱，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則成立，故B正確；因?yàn)榈闹芷跒?，且，則，所以，故C錯(cuò)誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題，則的否定是________________________.【答案】【解析】命題的否定是“”.故答案為：.14.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)__________.【答案】3【解析】由題意知，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意.故答案為：3.15.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】1【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有4個(gè)解分別，且，則__________.【答案】10【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如下：可知，且當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；，得；當(dāng)時(shí)，由有2個(gè)解，根據(jù)圖象的對(duì)稱性，得，.故答案為：10.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，．（1）若，求，及；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，．（2）當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，即此時(shí)，綜上，，故的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）求的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若，，求的值.解：（1），所以，函數(shù)的周期為，令，解得；令，解得，因此，函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2），，，，，.20.某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成．設(shè)圓弧、所在圓的半徑分別為r1、r2米，圓心角為(弧度)．（1）若，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積；（2）根據(jù)公司要求扇環(huán)形狀的花壇面積為32平方米，已知扇環(huán)花壇的直線部分的裝飾費(fèi)用為45元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，求當(dāng)裝飾費(fèi)用最低時(shí)線段AD的長(zhǎng)．解：（1）設(shè)花壇的面積為S，則S=r22θ﹣r12θ=×36×﹣×9×=9π，所以花壇的面積為9π（m2）.（2）的長(zhǎng)為r1θ米，的長(zhǎng)為r2θ米，線段AD的長(zhǎng)為（r2﹣r1）米，由題意知S=r22θ﹣r12θ=（r1θ+r2θ）（r2﹣r1）=32，則r1θ+r2θ=，記r2﹣r1=x，則x＞0，裝飾總費(fèi)用為y，則y=45×2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=90（x+），根據(jù)均值不等式得到當(dāng)x=8時(shí)，y有最小值為1440，故當(dāng)線段AD的長(zhǎng)為8米時(shí)，花壇的裝飾費(fèi)用最小．21.已知函數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意知的定義域?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為.（2）若任意實(shí)數(shù)，使不等式成立，可轉(zhuǎn)化為，又，令，則，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然時(shí)，，即，所以，整理得，故或，又的定義域?yàn)?，所以解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.22.某市為推動(dòng)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)，鼓勵(lì)某食品企業(yè)生產(chǎn)一種飲料，該飲料每瓶成本為10元，售價(jià)為15元，月銷售8萬瓶．（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若每瓶售價(jià)每提高1元，月銷售量將減少8000瓶，要使下月總利潤(rùn)不低于原來的月總利潤(rùn)，該飲料每瓶售價(jià)最多為多少元？（2）為提高月總利潤(rùn)，企業(yè)決定下月調(diào)整營(yíng)銷策略，計(jì)劃每瓶售價(jià)元，并投入萬元作為調(diào)整營(yíng)銷策略費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每瓶售價(jià)每提高1元，月銷售量將相應(yīng)減少萬瓶，則當(dāng)每瓶售價(jià)為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月的最大總利潤(rùn)．（提示：月總利潤(rùn)月銷售總收入月總成本)解：（1）設(shè)