黑龍江省龍東地區(qū)五校2023-2024學(xué)年度高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區(qū)五校2023-2024學(xué)年度高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】與角終邊相同的角的集合為形式，令可得，，所以與終邊相同，其他選項(xiàng)均不合題意.故選：D.2.已知集合，則集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.7 C.14 D.15【答案】C【解析】由不等式，解得，所以集合，所以集合A非空真子集的個(gè)數(shù)為.故選：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.故選：A.5.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長(zhǎng)與內(nèi)弧長(zhǎng)之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長(zhǎng)均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為2.5，則該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)弧的長(zhǎng)為，弧的長(zhǎng)為，因?yàn)樵撋刃蔚膱A心角的弧度數(shù)為2.5，所以，，即，，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?lián)立可得，解得，所以該扇環(huán)的內(nèi)弧長(zhǎng)為.故選：A.6.2023年2月27日，學(xué)堂梁子遺址入圍2022年度全國(guó)十大考古新發(fā)現(xiàn)終評(píng)項(xiàng)目.該遺址先后發(fā)現(xiàn)石制品300多件，已知石制品化石樣本中碳14質(zhì)量N隨時(shí)間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測(cè)定，學(xué)堂梁子遺址中某件石制品化石樣本中的碳14質(zhì)量約是原來的，據(jù)此推測(cè)該石制品生產(chǎn)的時(shí)間距今約（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.9560年 B.9550年 C.8370年 D.8230年【答案】B【解析】由題意，，即，所以，所以.故選：B.7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，，故，解集為；若，，故，解集為，綜上，解集為.故選：D.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，，則；又，則；由，得，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，因此，即，又，則，即有，因此，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足①在上是增函數(shù)；②為奇函數(shù)；③最小正周期為π的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A：，當(dāng)時(shí)，，增函數(shù)，滿足①，函數(shù)為奇函數(shù)，并且最小正周期為，滿足②③，故A正確；B：，當(dāng)時(shí)，，減函數(shù)，不滿足①，且函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C：，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足①②③，故C正確；D：，當(dāng)時(shí)，，增函數(shù)，滿足①，函數(shù)為奇函數(shù)，最小正周期為，不滿足③，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由，得.又，，所以，取，則，此時(shí)，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，，B正確；因?yàn)?，，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以成立，故C正確；因?yàn)?，，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立，解得，，而，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.π是函數(shù)的一個(gè)周期 B.是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.，恒成立【答案】ABD【解析】因?yàn)?，可?因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，可得，結(jié)合圖象可得，解得，則，設(shè)，則，所以，所以是的一個(gè)周期，A正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以是圖象的對(duì)稱軸，B正確；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.時(shí)，C. D.在上有675個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)A，，A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，即，則，即得，則，B正確；對(duì)C，，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；由于，則，故，則，由于，故在上有675個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則α的取值集合是_____________.【答案】【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，又，故為奇函?shù)，舍去；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，故不為偶函?shù)，舍去.故答案為：.14.若函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意可知且，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，則外層函數(shù)為增函數(shù)，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.15.已知，且，則__________.【答案】【解析】由，可得，即，由于，故，則，所以有，則，所以有，解得.故答案為：.16.已知函數(shù)，若滿足（，，…，互不相等），則的取值范圍是_____.【答案】【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)圖象，不妨設(shè)，如圖，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性得，，，，所以，另一方面或，即，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角α的終邊過點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)，，所以，解得，則.（2）由，，解得，所以.18.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)和.（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)x值.解：（1）由題知，解得，，故.（2）由，，解得或3，所以或，所以或16.19.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)性及最值.解：（1），所以的最小正周期.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為.20.已知函數(shù).（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）根據(jù)題意，結(jié)合三個(gè)二次之間的關(guān)系可得，b和2都是方程的根且，由韋達(dá)定理可得，解得，故，.（2）因?yàn)?，所以，則可化為，整理可得，令，，所以，則上式可化為在上恒成立，即在上恒成立，令，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)a的取值范圍為.21.對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”.（1）判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”，如果存在，寫出符合條件的一個(gè)“保值區(qū)間”（直接寫出結(jié)論，不要求證明）；（2）如果是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”，求的最大值.解：（1）假設(shè)函數(shù)存在“保值區(qū)間”為，易知在上單調(diào)遞增，則有得或，或，又即，但，不符合題意，舍去，故不存在保值區(qū)間；而是增函數(shù)，假設(shè)其存在“保值區(qū)間”為，則有，得，，故存在“保值區(qū)間”為.（2）易知在和上都是增函數(shù)，因此保值區(qū)間或，由題意，所以有兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)根，，由，所以，解得或，且，同號(hào)，，滿足題意，所以，因?yàn)榛?，所以?dāng)，即時(shí)，，故的最大值是.22.已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，，且當(dāng)時(shí)，的最小值為π.（1）求的解析式；（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a