黑龍江省龍東聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故選：D.2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得成立，即充分性成立；反正：若，可得或，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)，則（）A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得，故B正確.故選:B.4.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)是底面圓周上異于的一點(diǎn)，若，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則點(diǎn)到平面的距離（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】法一：因?yàn)槿忮F的高即為圓柱的高，即，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，即直角的面積最大，由于，所以點(diǎn)是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，即是等腰直角三角形，此時(shí)，，連接交于點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，由于平面，所以，，所以，所以，解?法二：因?yàn)槿忮F的高即為圓柱的高，即，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，即直角的面積最大，由于，所以點(diǎn)是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，即是等腰直角三角形，所以，，連接交于點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，做，且交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因此點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線DE的距離，即.法三：因?yàn)槿忮F的高即為圓柱的高，即，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，即直角的面積最大，由于，所以點(diǎn)是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，即是等腰直角三角形，可得，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.5.已知平面向量和滿足，在上的投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在上的投影向量為.在上的投影向量為，故選:A.6.已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，可知公比.成等差數(shù)列，.，，即，解得（舍），或，則的通項(xiàng)公式，.構(gòu)造數(shù)列bn，設(shè).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.下面證明當(dāng)時(shí)，.構(gòu)造函數(shù)，則，且在單調(diào)遞增；則，故在上單調(diào)遞增，則，所以當(dāng)，成立，即，故當(dāng)時(shí)，，則，，則當(dāng)時(shí)，.綜上可知，數(shù)列bn的最大項(xiàng)為，即.要使恒成立，即恒成立，則.故選：C7.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】在同一個(gè)坐標(biāo)系下，作出曲線與在內(nèi)的圖像，由圖像可知，共有4個(gè)交點(diǎn).故選：B.8.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的.它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），點(diǎn)滿足，則直線與平面所成角的正弦值（）A.為定值 B.存在最大值，且最大值為1C.為定值1 D.存在最小值，且最小值為【答案】A【解析】，即在線段（不包括點(diǎn)）.如圖，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，則平面平面，因此直線與平面所成角等于直線與平面所成角.在正四面體中，設(shè)正四面體的棱長為2，作平面，垂足為，連接，則即為直線與平面所成角.易求，所以，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則或 D.若，則【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，方法一：，，又，方法二：設(shè)，則，故，又，故，故A正確；B選項(xiàng)，，，，∴，故B正確；C選項(xiàng)，方法一：，，，將①式兩邊乘以得，代入②式得或，或或；方法二：設(shè)，且不恒等于0，，即或，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但虛數(shù)與不能比較大小，故D不正確.故選：ABC10.已知，則a，b滿足（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，由得，，故A正確;B選項(xiàng)，由得，，故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng)，由基本不等式得:，故D正確.故選：AD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（）A. B.C.函數(shù)為減函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)?，令，得，，，故A正確；令，，得，，，，故B正確;令得，，，所以，則函數(shù)為增函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪了瓦?2塊，往下每一層多鋪2塊，斜面上鋪了瓦片19層，共鋪瓦片____________塊.【答案】1900【解析】瓦片塊數(shù)可以看作首項(xiàng)為82，公差2的等差數(shù)列，則.故答案為：1900.13.已知函數(shù)在處有極大值，則的值為____________.【答案】【解析】，令，解得；令，解得；故在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減，因此在處有極大值，即.14.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形.是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接平行四邊形，則四邊形ABCD的面積最大值為____________.【答案】【解析】如圖：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則矩形EFCD的面積等于平行四邊形ABCD的面積，設(shè)，則，在Rt中，，所以，所以矩形EFCD的面積為因?yàn)椋?，?dāng)即時(shí)，矩形EFCD的面積最大為，所以平行四邊形ABCD的面積最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若，設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，求.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由得，，則（2），則，又是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列，則.16.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且（1）求；（2）若，求的周長.解：（1）在中，，由正弦定理得，，，且，即.（2）且，.由正弦定理得，的周長為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線;（2）當(dāng)時(shí)，若的極小值小于0，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線為，即；（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，則，所以單調(diào)遞增；令，則，所以單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取極小值，所以.設(shè)，則，所以是增函數(shù).因?yàn)?，所以時(shí)，.綜上所述，的取值范圍是.18.如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為直角梯形，，且點(diǎn)四點(diǎn)共面.（1）證明：（i）平面平面；（ii）多面體是三棱臺(tái)；（2）若動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且，求異面直線與所成角的最小值.解：（1）（i）四邊形ABED與四邊形ACFD均為直角梯形，，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面DEF;（ii）在梯形中，延長交于點(diǎn)，平面平面BEFC，同理平面ADFC，又平面平面故直線EB，F(xiàn)C，DA相交于點(diǎn)，又由（i）可知：平面平面DEF，故多面體ABCDEF是三棱臺(tái)；（2）∵四邊形ABED與四邊形ACFD均為直角梯形，，，又平面DEF，又動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且，是等腰直角三角形，點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓（在內(nèi)部及邊界上）如圖以DE，DF，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)異面直線AP與FB所成角為，則，設(shè)（取為銳角），則，且為銳角，，當(dāng)，即時(shí)，異面直線AP與FB所成角的最小值.19.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的為“凸函數(shù)”.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的為“凹函數(shù)”.這里關(guān)于凹凸函數(shù)的不等式即為著名的