湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.2.已知命題，命題，則（）A.和均為真命題 B.和均為真命題C.和均為真命題 D.和均為真命題【答案】D【解析】對于命題，當(dāng)時，，為假命題，則為真命題，AC錯誤；對于命題，當(dāng)時，，為真命題，則為假命題，BC錯誤；所以和均為真命題，D正確.故選：D.3.已知函數(shù)則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由，則，又，，所以.故選：C.4.已知為非零實數(shù)，則“”是“關(guān)于不等式與不等式解集相同”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由知，若與不等式解集不相同；若與不等式解集相同，則.則“”是“關(guān)于的不等式與不等式解集相同”的必要不充分條件.故選：B.5.對于函數(shù)，若存在，使得，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”，若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，，則原問題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問題.由在有解得：.故選：A.6.函數(shù)若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為對任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞增的，則.故選：C.7.已知正實數(shù)滿足，則恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】因為，且為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，則，因為恒成立，所以，解得.故選：A.8.設(shè)是一個集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）屬于屬于；（2）中任意多個元素的并集屬于；（3）中任意多個元素的交集屬于；則稱是集合上的一個拓撲.已知集合，對于下面給出的四個集合：①；②③；④.其中是集合上的拓撲的集合的序號是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】①，故①不是集合X上的拓撲的集合；③，，故③不是集合X上的拓撲的集合；對于選項②④，滿足：（1）X屬于，屬于；（2）中任意多個元素的并集屬于；（3）中任意多個元素的交集屬于，綜上得，是集合X上的拓撲的集合的序號是②④.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或未選的得0分.9.下列條件中，為“關(guān)于的不等式對恒成立”的必要不充分條件的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由對恒成立可得，①當(dāng)時，成立；②當(dāng)時，，解得；故對恒成立時，的取值范圍是，則是的真子集，且是的真子集.故選：CD.10.當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合，若與構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值可以是（）A. B. C.0 D.1【答案】ACD【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，對選項A：若，，此時，滿足；對選項B：若，，此時，不滿足；對選項C：若，，此時，滿足；對選項D：若，，此時，滿足.故選：ACD.11.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大1，則正數(shù)的值可以是（）A.2 B. C. D.【答案】AD【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在2,4上單調(diào)遞增，所以，，所以，解得或（舍去）；當(dāng)時，函數(shù)在2,4上單調(diào)遞減，所以，，所以，解得（舍去）；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，，若，即，則，解得（舍去）或（舍去）；若，即，則，解得或（舍去）.綜上所述，或.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則實數(shù)的值所組成的集合為__________.【答案】【解析】因為，，，所以，，所以或，當(dāng)時，解得，合題意，當(dāng)時，解得或，若，，，合題意，若，，，不滿足集合中元素的互異性，舍去，綜上所述，.13.已知是定義在上的奇函數(shù)，若，則__________.【答案】4【解析】為奇函數(shù)，，即，令有.14.以表示數(shù)集中最大的數(shù)，表示數(shù)集中最小的數(shù)，則__________.【答案】【解析】在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)，，的圖象，聯(lián)立，解得或，所以；聯(lián)立，解得或，所以；由圖可知，，所以當(dāng)時，有最大值，則.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合.（1）若，求的取值；（2）記，若集合的非空真子集有6個，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），若，則此時，若則，當(dāng)時；當(dāng)且時，，即，解得或，，由若可知有或或.（2）若集合的非空真子集有6個，則，可得，即中的元素只有3個，又，由（1）知，且且即且且，故實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合為.16.已知定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當(dāng)時，.（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）求不等式的解集.解：（1）因為時，，所以，.（2）當(dāng)時，，此時，又對任意實數(shù)x都有，故時，，所以函數(shù).（3）由得，或，①當(dāng)時，，即或，解得或；②當(dāng)時，，即，解得；綜上所述，不等式的解集為.17.如圖，在公路的兩側(cè)規(guī)劃兩個全等的公園.（）其中為健身步道，為綠化帶.段造價為每米3萬元，段造價為每米4萬元，綠化帶造價為每平方米2萬元，設(shè)的長為的長為米.（1）若健身步道與綠化帶的費用一樣，則如何使公園面積最少？（2）若公園建設(shè)總費用為74萬元，則健身步道至少多長？解：（1）依題意得：，即，因為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時面積，故的長為的長6時公園面積最少.（2）依題意得：，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.此時，故健身步道至少長（米）.18.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.（1）求實數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式.解：（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，，所以，解得，所以，因為，所以，解得.（2）在上單調(diào)遞增，理由如下：由（1）可知，任取，且，則，因為，且，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，解得，或，綜合得或所以不等式的解集為.19.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)時，，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”.（1）求證：是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”；（2）求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；（3）已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)取得最大值時，求的值.解：（1）在區(qū)間0,4上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，根據(jù)“優(yōu)美區(qū)間”的定義，0,4是的一個“優(yōu)美區(qū)間”.（2），