湖北省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，因?yàn)椋裕蔬x：C.2.已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，因此，的虛部為.故選：A.3.已知平面向量，，且，則（）．A.5 B. C. D.【答案】B【解析】．因?yàn)?，所以，解得．故選：B4.黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.該塔塔身由青灰色石塊砌成，共七層，假設(shè)該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）.A.8平方米 B.9平方米 C.10平方米 D.11平方米【答案】C【解析】由題意可得該塔第一層至第七層底面面積依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為16，公差為，故該塔頂層的底面面積為平方米．故選：C5.已知為銳角，，則（）．A. B. C. D.或【答案】C【解析】由題意，解得，因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以，所以，故選：C6.已知x1,y1、x2A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意不妨設(shè)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，即．，則，即，A正確，B錯(cuò)誤；取，，則，，，C錯(cuò)誤．取，，則，，，D錯(cuò)誤．故選：A.7.在四棱錐中，底面為正方形，，，，則四棱錐的體積為（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】在四棱錐中，取，的中點(diǎn)，連接，由底面為正方形，得，由，得，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作于O，而平面平面，因此平面，連接，平面，則，設(shè)，由，得，，，于是，在中，，，因此，解得，則，所以四棱錐的體積為.故選：C8.已知函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】分別作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象．分兩種情形：當(dāng)時(shí)，，如圖1，當(dāng)時(shí)，與hx的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，如圖2，當(dāng)時(shí)，要使得與hx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，只需，即，解得（舍去）．綜上，正實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)都是，則（）．A.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)相等B.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差相等C.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等D.數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)相等【答案】AC【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，A正確．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的方差，數(shù)據(jù)，，，的方差，所以數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差不一定相等，B錯(cuò)誤．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等，C正確．?dāng)?shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)2，2，5，7，9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5，但數(shù)據(jù)2，2，7，9的中位數(shù)不是5，D錯(cuò)誤．故選：AC10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，，則（）.A. B.C. D.沒(méi)有極值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，令，得，故A正確；對(duì)于B，令，則由選項(xiàng)A得，所以，，據(jù)此類(lèi)推可得，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B得，所以也滿足題意，不一定是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令x=0得即，所以函數(shù)fx滿足，即函數(shù)fx令，，則，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，即，所以是增函數(shù)，沒(méi)有極值，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，且函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以，即，即，所以是增函數(shù)，沒(méi)有極值，故D正確；故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）.A.是偶函數(shù)B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.若，，，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】A，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，A說(shuō)法錯(cuò)誤；B，當(dāng)x∈0,π時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的周期，又因?yàn)?，所以的最小正周期是，B說(shuō)法正確.C，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C說(shuō)法正確.D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，得到的部分圖象如圖所示.當(dāng)時(shí)，，由題意可得，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，結(jié)合的圖象可得，，解得，則的取值范圍是，D說(shuō)法正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則__________．【答案】5【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，因此函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由該切線過(guò)點(diǎn)，得，所以.故答案為：513.某員工在開(kāi)辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門(mén)時(shí)，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實(shí)由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有__________種可能．（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】依題意可知，三個(gè)數(shù)字，所以四位數(shù)有個(gè)位置是同一數(shù)字，將這兩個(gè)位置捆綁，再將三個(gè)數(shù)字排列，所以可能有種．故答案為：14.如圖，平行六面體的底面是菱形，，，，若非零向量滿足，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)四邊形是菱形，可知，從而據(jù)已知有，及，.從而可以得到，以及.①一方面，由于，故.這得到，又由于，故.所以，即.這就得到，從而.②另一方面，取，，則，.且.所以向量滿足條件，此時(shí).綜合①②兩方面，可知的最小值為.故答案：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．解:（1）在中，，．因?yàn)?，，所以，即，．因?yàn)?，所以，即，所以，；?）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為3．由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，．．，所以的面積為，與的面積之比為．16.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若恒成立，求a的取值范圍．解:（1）的定義域?yàn)?，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，f'x≥0．因?yàn)閒'x是增函數(shù)，所以，解得．故a的取值范圍為．（2），即．令，定義域?yàn)?，．由，得，由，得，所以?,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增．．因?yàn)楹愠闪?，所以．故a的取值范圍為．17.如圖，在三棱柱中，，，，．（1）證明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．解:（1）取的中點(diǎn)O，連接，，．四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所以，．在中，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，．，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．，即，令，得．，即，令，得．，則，故二面角的正弦值為．18.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且對(duì)任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱(chēng)為“Ⅱ（k）數(shù)列”．（1）設(shè)為“Ⅱ（1）數(shù)列”．①求的通項(xiàng)公式；②若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．（2）是否存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”？若存在，求出符合條件的的通項(xiàng)公式及對(duì)應(yīng)的k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解:（1）①因?yàn)闉椤阿颍?）數(shù)列”，所以．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，則，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足，所以對(duì)任意的恒成立，是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以．②證明：．，，兩式相減得，所以．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，．故．（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，由是“Ⅱ（k）數(shù)列”可得．由是“Ⅱ數(shù)列”可得，所以，，即，所以．由，令，得，令，得．因?yàn)?，所以，解得，所以?，，2，，2，，…，的通項(xiàng)公式為．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，解得，k為奇數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，解得，k為奇數(shù)．綜上，存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”，此時(shí)的通項(xiàng)公式為，且k為奇數(shù)．19.甲、乙兩人玩一個(gè)紙牌游戲，先準(zhǔn)備好寫(xiě)有數(shù)字1，2，…，N的紙牌各一張，由甲先隨機(jī)抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來(lái)甲有2種選擇：①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b，若，則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束抽牌，換由乙抽牌一次；②直接結(jié)束抽牌，記，換由乙抽牌一次．記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c，若，則乙贏，否則甲贏．游戲結(jié)束．（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；（2）若甲抽牌2次，求甲贏的概率；（3）當(dāng)甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時(shí)，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結(jié)果用含N的式子表示）參考公式：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前n項(xiàng)和．解:（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下．甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，此時(shí)有1種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時(shí)有2種情況；甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；……依次類(lèi)推，甲贏的情況共有．故甲贏的概率為．（2）若甲抽牌2次，甲贏的情況如下．①甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為1．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時(shí)有2種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時(shí)有N種情況．以上有種情況．②甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為2．第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時(shí)有3種情況；第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，，此時(shí)有4種情況；……第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，