青海省西寧市2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因為，，所以，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為；故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以．故選:A.3.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、俯視圖中的圓以及側(cè)視圖中的圓弧的半徑都相等，側(cè)視圖中的兩條半徑互相垂直，若該幾何體的體積是,則它的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三視圖該幾何體是球的部分，由該幾何體體積為，可得球的半徑為的球的，如圖所示，所以該幾何體的表面積為.故選：D.4.已知的內(nèi)角的對邊分別是，面積為S，且，則角的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，則，所以，又，則.故選：A5.已知是奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.-2【答案】A【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以滿足，即，化簡為，得，，此時，函數(shù)的定義域為，成立.故選：A6.已知向量，，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】.故選：A7.八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴張的感覺.圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形為等腰直角三角形.若向圖2隨機投一點，則該點落在白色部分的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為2，如圖設(shè)與交于，設(shè)的中點為，連接.則，設(shè)，則，故，而題設(shè)中空白部分的面積為，故點落在白色部分的概率是，故選：D.8.已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，由得，或；由得，，則當(dāng)或時單調(diào)遞增；當(dāng)時單調(diào)遞減.則時取得極大值；時取得極小值.函數(shù)有三個零點，即函數(shù)與直線的圖像有3個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是故選：A9.江南的周莊、同里、甪直、西塘、鳥鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨樹一幟，馳名中外.這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，則只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游的可能情況有種情況，只選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為．故選：B10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是奇函數(shù)，則，，又，可得，當(dāng)，，則，不合題設(shè)；當(dāng)，，則，故；所以，將的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，故.故選：A11.圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圓可得標準方程為，因為圓關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.12.已知拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，且點到準線的距離為6，的垂直平分線與準線交于點，點為坐標原點，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：拋物線：的焦點為，準線為：，設(shè)，由點到準線的距離為6，得，得，代入拋物線的方程得，所以．由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，令，得，即．所以的面積為．故選：B.解法二：拋物線：的焦點為，準線為：，設(shè)，由到準線的距離為6，得，得，代入拋物線的方程得，所以．由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，則直線的斜率為，所以．過點作的垂線，垂足為，則，連接，則，而，所以是等邊三角形，于是邊的垂直平分線過點，即點與點重合，所以的面積為．故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知拋物線：經(jīng)過點，則拋物線的準線方程是______.【答案】【解析】由題意得：拋物線：經(jīng)過點，解得準線方程為故答案為：14.已知是第三象限角，則的值為__________.【答案】【解析】由可知，由在第三象限，可知，則，代入，解得，則.故答案為：.15.已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為________．【答案】12【解析】作出實數(shù)滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分），由，則，由解得點，作出，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距最大，故，即z＝3x＋4y－4的最大值為.故答案為：12.16.已知一個體積為球內(nèi)切于直三棱柱（即與三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,則該直三棱柱的外接球（即使所有頂點均落在球面上）的表面積為________．【答案】【解析】由題知，記內(nèi)切球半徑為,外接球半徑為,內(nèi)切圓、外接圓半徑為r,R,則,解得,因為該球內(nèi)切于一個直三棱柱,當(dāng)且僅當(dāng)球半徑與底面三角形內(nèi)切圓半徑相等,同時棱柱的高恰為球半徑的2倍,所以;由題意,設(shè),則在中由余弦定理得,,,所以,由內(nèi)切圓半徑公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱內(nèi)接于一個球,當(dāng)且僅當(dāng)兩全等的底面位于距球心距離相同且平行的兩個小圓上,顯然該兩個小圓距球心的距離d應(yīng)為棱柱高h的一半,所以平面與球心間的距離,且其所在小圓的半徑即為其本身外接圓的半徑,為,由球的垂徑定理,,所以球的表面積為．三、問答題17.信陽市旅游部門為了促進信陽生態(tài)特色城鎮(zhèn)和新農(nóng)村建設(shè)，將甲、乙，丙三家民宿的相關(guān)資料放到某網(wǎng)絡(luò)平臺上進行推廣宣傳.該平臺邀請部分曾在這三家民宿體驗過的游客參與調(diào)查，得到了這三家民宿的“綜合滿意度”評分，評分越高表明游客體驗越好，現(xiàn)從這三家民宿“綜合滿意度”的評分中各隨機抽取10個評分數(shù)據(jù)，并對所得數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.a.甲、乙兩家民宿“綜合滿意度”評分的折線圖：b.丙家民宿“綜合滿意度”評分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1c.甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的平均數(shù)、中位數(shù)：甲乙丙平均數(shù)4.54.2中位數(shù)4.54.7根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中值是______，的值是______；（2）設(shè)甲、乙、丙三家民宿“綜合滿意度”評分的方差分別為、、，試比較其大小.（3）根據(jù)“綜合滿意度”的評分情況，該平臺打算將甲、乙、丙三家民宿中的一家置頂推薦，你認為該平臺會將這三家民宿中的哪家置頂推薦？說明理由（至少從兩個方面說明）.解：（1）甲家民宿“綜合滿意度”評分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，∴，丙家民宿“綜合滿意度”評分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，從小到大排列為：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.∴中位數(shù)，（2）根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，乙的評分數(shù)據(jù)在4分與5分之間波動，甲的數(shù)據(jù)在3.2分和5分之間波動，根據(jù)丙的數(shù)據(jù)可以在2.6至5分之間波動，∴；（3）推薦乙，理由：乙的方差最小，數(shù)據(jù)穩(wěn)定，平均分比丙高，答案不唯一，合理即可.18.已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）依題意，設(shè)的公差為，，因為，，所以，解得或，當(dāng)時，，矛盾，舍去；當(dāng)時，，滿足題意；的通項公式為.（2）由（1）得，，故.19.正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點．（1）求證：平面；（2）求四面體的體積．（1）證明：在正四棱錐中為底面中心，連接，，則與交于點，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）解：因為，，所以，又為上靠近的三等分點，所以，則.20.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線平行.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，，又曲線在點處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化恒成立即恒成立令當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以時，函數(shù)有最小值，由恒成立，得，即實數(shù)的取值范圍是.21.已知橢圓的離心率為，且過點．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)不過原點的直線，與該橢圓交于兩點，直線的斜率依次為，滿足，試問：當(dāng)變化時，是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意可得：，解方程組可得，故橢圓方程（2）當(dāng)變化時，為定值，證明如下：由，把代入橢圓方程得：；設(shè)，由二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系得：因為直線斜率依次是，且滿足，所以，該式化為，代入根與系數(shù)關(guān)系得：，經(jīng)檢驗滿足：即為定值22.在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程是．（1）在直角坐標系中，若直線經(jīng)過點且與圓和圓的公共弦所在直線平行，求直線的極坐標方程；（2）若射線與圓的交點為，與圓的交點為，線段的中點為，求的周長．解：（1）由圓的參數(shù)方程，則，由，則，即①，由圓的極坐標方程，兩邊同乘可得，由，則②，可得，故圓與圓的公共弦所在直線的方程為，其斜率為，由直線與兩圓公共弦所在直線平行，且直線過，則，化簡可得，由，則.（