九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關講解練（滬科版）-第04講二次函數(shù)的應用（利潤、拋物線形、最值、四邊形存在性）（原卷版）

第04講二次函數(shù)的應用（利潤、拋物線形、最值、四邊形存在性）【知識梳理】1．二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．2．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．【考點剖析】一．二次函數(shù)的應用（共14小題）1．（2022秋?廬陽區(qū)校級月考）如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他與籃圈底的距離l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m2．（2022秋?滁州期末）某種商品每件進價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出（30﹣x）件，要使利潤最大，每件的售價應為（）A．24元 B．25元 C．28元 D．30元3．（2022秋?無為市期末）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝2cm，BD＝2cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（）A． B． C． D．4．（2023?淮北一模）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，當10≤x≤20時，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）之間滿足關系式y(tǒng)＝﹣x+30，設該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤為w元，則w與x之間的函數(shù)表達式為．5．（2023?金安區(qū)校級一模）某數(shù)學興趣小組在一次課外活動中設計了一個彈珠投箱子的游戲（無蓋正方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（x軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，正方形DEFG為箱子正面示意圖）．某同學將彈珠從A（1，0）處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線L：y＝ax2+bx+3（單位長度為1m）的一部分，已知DE＝2m，AD＝5m．（1）若拋物線經(jīng)過點（﹣2，3）．①求拋物線L的解析式和頂點坐標；②若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線L形狀相同的拋物線M運動，且無阻擋時彈珠最大高度可達3m，請判斷彈珠能否彈出箱子，并說明理由．（2）要使彈珠能投入箱子，求a的取值范圍．6．（2022秋?長豐縣校級期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函數(shù)y＝x2﹣4x+5的值的情況，他們作了如下分工：小明負責找函數(shù)值為1時的x值，小亮負責找函數(shù)值為0時的x值，小梅負責找最小值，小花負責找最大值．幾分鐘后，各自通報探究的結論，其中錯誤的是（）A．小明認為只有當x＝2時，函數(shù)值為1 B．小亮認為找不到實數(shù)x，使函數(shù)值為0 C．小花發(fā)現(xiàn)當x取大于2的實數(shù)時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值 D．小梅發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值7．（2020秋?亳州月考）如圖，某幢建筑物從2.25米高的窗口A用水管向外噴水，噴的水流呈拋物線型（拋物線所在平面與墻面垂直），如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面3米，則水流下落點B離墻的距離OB是（）A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米8．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度h（米）與物體運動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關系h＝﹣5t2+mt+n，其圖象如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒，設w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0秒到t秒時h的最大值與最小值的差）．（1）m＝，n＝；（2）當2≤t≤3時，w的取值范圍是．9．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)關系式是y＝80x﹣2x2，該型號飛機著陸后滑行m才能停下來．10．（2023?合肥模擬）行駛中的汽車，在剎車后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“剎車距離”．為了了解制造車間某型號汽車的剎車性能，工程師進行了大量模擬測試，得出汽車A剎車后剎車距離y（單位：m）與剎車時的速度x（單位：m/s）滿足二次函數(shù)y＝0.08x2+bx+c．測得部分數(shù)據(jù)如下表：剎車時車速（m/s）0510152025剎車距離（m）06.51731.55072.5（1）求剎車距離關于剎車時的速度的函數(shù)表達式（不必寫自變量的取值范圍）；（2）有一輛該型號汽車A在公路上（限進100km/h）發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得剎車距離為99m，請問司機是否因為超速行駛導致了交通事故？請說明理由；（3）制造車間生產(chǎn)另一型號汽車B，其剎車距離y（單位：m）與剎車速度x（單位：m/s）滿足：y＝0.12x2+βx，若剎車時車速滿足在10≤x≤20范圍內(nèi)某一數(shù)值，兩種型號汽車的剎車距離相等，求β的取值范圍．11．（2023?明光市二模）牛草山奶牛養(yǎng)殖場如今達到了日產(chǎn)鮮奶500千克的規(guī)模．根據(jù)以前市場銷售經(jīng)驗，如果鮮奶售價為20元/千克，每天可售出鮮奶400千克，鮮奶售價每提高1元，日銷售鮮奶數(shù)量將減少10千克，每天沒能銷售的鮮奶全部按10元/千克的價格廉價賣給奶制品加工廠．養(yǎng)殖場研究決定將鮮奶的售價提高到x元/千克，而當?shù)匚飪r部門結合本地收入與消費水平規(guī)定鮮奶售價不超過40元/千克，設養(yǎng)殖場每天鮮奶總銷售收入為y元．（1）求y與x之間的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）鮮奶售價定為多少時，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多？養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多是多少元？12．（2023?合肥三模）隨著疫情的全面好轉(zhuǎn)，某旅游景區(qū)的游客需要坐纜車的人數(shù)也不斷增加，已知該景區(qū)每天纜車開放時間只有9小時，某天乘坐纜車總人數(shù)y（人）與開放時間x（小時）之間滿足y＝．（1）纜車開放3小時后，共有需要乘坐纜車的游客名；（2）若每小時有10趟纜車，每趟載客6人，求等待坐纜車的游客最多時有多少人？（3）若要在6小時內(nèi)確保游客沒有積壓（游客隨到隨走），那么從一開始每小時應該至少培加幾趟纜車？13．（2023?蒙城縣模擬）萬達樂園的過山車是其經(jīng)典項目之一．如圖，B→D→C為過山車的—部分軌道，若這部分軌道可以用拋物線y＝a（x﹣h）2+10來刻畫，點B到y(tǒng)軸的水平距離AB＝4米，點B到x軸（代表地面）的距離BE＝6米，B，C間的水平距離為12米．（1）求拋物線BDC的函數(shù)表達式；（2）當過山車運動到C處時，平行于地面向前運動了2米至H點，又進入下一段軌道H→F→G．已知軌道H→F→G的形狀與軌道B→D→C完全相同，若某名游客從B→D→C軌道滑行至H→F→G軌道，起點和終點距離地面均為8米，則該游客移動的最大水平距離是多少？（結果保留根號）（3）已知軌道B→M→N→C和軌道B→D→C關于BC對稱，現(xiàn)需要在軌道B→M→N→C下進行安全加固，建造支架PM，QN，且EP＝PQ，支架的價格是20000元/米，如何設計支架，使得造價最低？最低造價為多少元？14．（2023?合肥二模）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器．將發(fā)石車置于山坡底部O處，以點O為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC＝2米，BC與x軸平行，點B與點O的水平距離為28米、垂直距離為6米．（1）若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的解析式；②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括端點B、C），求a的取值范圍．二．二次函數(shù)綜合題（共9小題）15．（2023?蚌山區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）．（1）若b＝2，c＝3，且該二次函數(shù)的圖象過點（﹣2，﹣5），求a的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0＜x2，|x1|＜|x2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形ABCD的邊CD上，其對稱軸與x軸，AC分別交于點M，N，AC與y軸相交于點E，且滿足tan∠CAB＝1．①求關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判別式的值；②若AE＝EN，令，求T的最小值．16．（2023?定遠縣二模）已知拋物線，點F（1，1）．（1）求拋物線C1的頂點坐標；（2）拋物線C1上任意一點P（xP，yP）（0＜xP＜1）．連接PF，并延長交拋物線C1于點Q（xQ，yQ），試判斷是否成立？請說明理由；（3）將拋物線C1作適當?shù)钠揭疲脪佄锞€C2：，若2＜x≤m時，y2≤x恒成立，求m的最大值．17．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．（1）求拋物線的表達式；（2）當a﹣2≤x≤a+1時，拋物線有最小值5，求a的值；（3）若點P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，連接PB、PC，求△PBC的面積S的最大值．18．（2023?廬江縣三模）如圖，拋物線經(jīng)過點A（1，1），B（﹣3，﹣3），點Q是拋物線的對稱軸上一點，點P在拋物線上，且點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）若﹣3≤m≤1，求點P到直線AB的距離的最大值；（3）若A、B、P、Q四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標．19．（2023?禹會區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，如圖，直線y＝x+b與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2+6ax+5經(jīng)過點A和點C，與x軸交于另一點B．（1）求這條拋物線的表達式；（2）求tan∠ACB的值；（3）點P為拋物線上一點，點Q為平面內(nèi)一點，如果四邊形APCQ是菱形，求點P的坐標．20．（2023?鳳陽縣二模）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為P，拋物線的對稱軸與x軸交于點M，且PM＝AB．（1）求拋物線的表達式；（2）矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上，邊AD在第二象限，AD＝2，DE＝3，將矩形ADEF沿x軸正方向平移得到矩形A′D′E′F′，直線A′D′與直線E′F′分別交拋物線于點G、H，在平移過程中，是否存在以點D′、F′、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出平移距離；若不存在，請說明理由．?21．（2023?滁州二模）如圖是某家具廠的拋物線型木板余料，其最大高度為9dm，最大寬度為12dm，現(xiàn)計劃將此余料進行切割．（1）如圖1，根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標系，求木板邊緣所對應的拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周長；（3）若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊，然后拼接成一個寬為2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的長邊最長？請在備用圖上畫出切割方案，并求出拼接后的矩形的長邊長．（結果保留根號）22．（2023?宿州模擬）如圖，直線m：y＝b和直線n：y＝x﹣b分別與y軸交于點A，點B，頂點為C的拋物線L：y＝﹣x2+bx與x軸的右交點為點D．（1）若AB＝8，求b的值和拋物線L的對稱軸；（2）當點C在m下方時，求頂點C與m距離的最大值；（3）在L和n所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“整點”，求出b＝2023時“整點”的個數(shù)．23．（2023?太湖縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求a，b的值；（2）點P是第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接AC，過點P作AC的平行線，交x軸于點D，交y軸于點E，設點P的橫坐標為t．①若直線PE的解析式為y＝kx+c（k≠0），試用含t的代數(shù)式表示c；②若點D是線段PE的中點，試求點P的坐標．

【過關檢測】一．選擇題（共9小題）1．（2022秋?杜集區(qū)校級月考）如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離OC是（）A．16米 B．18米 C．20米 D．24米2．（2022秋?天長市期中）如圖，一拋物線型拱橋，當拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m時，水面寬度為4m，那么水位下降1m時，水面的寬度為（）A． B．3 C．4 D．﹣13．（2022秋?霍邱縣月考）將進貨單價為30元的某種商品按零售價100元1件賣出時，每天能賣出20件．若這種商品的零售價在一定范圍內(nèi)每降價1元，其日銷售量就增加1件，為了獲得最大的利潤，則應降價（）A．5元 B．15元 C．25元 D．35元4．（2021秋?埇橋區(qū)期末）如圖，預防新冠肺炎疫情期間，某校在校門口用塑料膜圍成一個臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)一面靠長為5m的墻，隔離區(qū)分成兩個區(qū)域，中間用塑料膜隔開．已知整個隔離區(qū)塑料膜總長為12m，如果隔離區(qū)出入口的大小不計，并且隔離區(qū)靠墻的一面不能超過墻長．則隔離區(qū)的面積可能為（）m2．A．15 B．12 C．9 D．185．（2022秋?安徽月考）如圖1，校運動會上，初一的同學們進行了投實心球比賽．我們發(fā)現(xiàn)，實心球在空中飛行的軌跡可以近似看作是拋物線．如圖2建立平面直角坐標系，已知實心球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關系是y＝﹣x2+x+，則該同學此次投擲實心球的成績是（）A．2m B．6m C．8m D．10m6．（2022秋?廬陽區(qū)校級月考）如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度CM是16m，跨度AB是40m，則在線段AB上離中心M5m處的地方，橋的高度是（）A．14m B．15m C．13m D．12m7．（2022秋?禹會區(qū)校級月考）某景區(qū)旅店有30張床位，每床每天收費10元時，可全部租出，若每床每天收費提高5元，則有1張床位不能租出；若每床每天收費再提高5元，則再有1張床位不能租出；若每次按提高5元的這種方法變化下去，則該旅店每天營業(yè)收入最多為（）A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元8．（2022秋?大觀區(qū)校級月考）如圖，在期末體育測試中，小朱擲出的實心球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系大致滿足二次函數(shù)，則小朱本次投擲實心球的成績?yōu)椋ǎ〢．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．（2022秋?定遠縣期中）2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）．若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大（）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200+0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550二．填空題（共9小題）10．（2022秋?禹會區(qū)校級月考）某種型號汽車在高速路上急剎車后滑行的距離S（米）與滑行的時間t（秒）的函數(shù)解析式是S＝2t﹣0.5t2，則該種汽車剎車后滑行秒才能停下來．11．（2022秋?包河區(qū)校級月考）汽車剎車后行駛的距離s（單位：m）關于行駛的時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝15t﹣6t2，則汽車剎車后前進了m停下來．12．（2022秋?渦陽縣校級月考）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y＝﹣2x2+4x（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是米．13．（2022秋?包河區(qū)校級月考）如圖，在墻上繪制了幾個相同的拋物線型圖案．已知拋物線上B、C兩點的高度相同，到墻邊OA的距離分別為0.5米，1.5米．若該墻的長度為10米，則最多可以連續(xù)繪制個這樣的拋物線型圖案．14．（2022秋?大觀區(qū)校級月考）用一段長為24m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場，若墻長8m，則這個養(yǎng)雞場最大面積為m2．15．（2022秋?包河區(qū)校級月考）如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開．已知籬笆的總長為900m（籬笆的厚度忽略不計），當AB＝m時，矩形土地ABCD的面積最大．16．（2022秋?金寨縣校級月考）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，P為它的頂點，則S△PAB＝．17．（2022?安徽二模）圖1是一個高腳杯截面圖，杯體CBD呈拋物線狀（杯體厚度不計），點B是拋物線的頂點，AB＝9，EF＝2，點A是EF的中點，當高腳杯中裝滿液體時，液面CD＝4，此時最大深度（液面到最低點的距離）為10．以EF所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；將高腳杯繞點F緩緩傾斜倒出部分液體，當∠EFH＝30°時停止，此時液面為GD，此時杯體內(nèi)液體的最大深度為．18．（2021秋?潛山市期末）如圖，某大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的解析式為y＝ax2+bx，小強騎自行車從拱梁一端O勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛到6分鐘和14分鐘時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需分鐘．三．解答題（共7小題）19．（2023?懷遠縣校級二模）如圖，天嬌生態(tài)園要建造一圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA高3米，如圖1，由柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各方面沿形狀相同的拋物線落下．（1）如果要求設計成水流在離OA距離為1米處達到最高點，且與水面的距離是4米，那么水池的內(nèi)部半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外；（利用圖2所示的坐標系進行計算）（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池內(nèi)部的半徑為5米，要使水流不落到池外，此時水流達到的最高點與水面的距離應是多少米？20．（2023?廬陽區(qū)校級一模）2022年4月1日起，合肥市公安局交警支隊在全市范圍內(nèi)開展“戴頭盔、保安全、促文明”行動．某商家同時購進A，B兩種類型的頭盔，已知購進3個A類頭盔和4個B類頭盔共需288元；購進6個A類頭盔和2個B類頭盔共需306元．（1）A，B兩類頭盔每個的進價各是多少元？（2）在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)A類頭盔每個售價50元時，每個月可售出100個；每個售價提高5元時，每個月少售出10個．設A類頭盔售價每個x元（50≤x≤100），y表示該商家每月銷售A類頭盔的利潤（單位：元），求y關于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．21．（2022秋?無為市期末）無為市某鄉(xiāng)村種植基地每天生產(chǎn)1000千克草莓，為了保證草莓的品質(zhì)，當天必須要全部賣出．經(jīng)市場調(diào)研，當銷售單價定為40元/千克，則剛好全部賣出；銷售單價每上漲1元，則有20千克的草莓不能及時賣出，剩下的草莓只能以10元/千克的單價銷售給罐頭加工廠．請你解決下列問題：（1）如果單價提高2元/千克，那么當天銷售總額是多少？（2）該基地想使當天銷售總額提升到41500元，那么單價應該上漲多少元？（3）