九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-第06講 比例線段（5種題型）（原卷版）

第06講比例線段（5種題型）【知識梳理】一．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實生活中應(yīng)用非常廣泛，對于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．二．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項之積等于外項之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．三．比例線段（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．四．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長之比確切值為．五．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．【考點剖析】一．相似圖形（共2小題）1．（2022秋?埇橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．任意兩個正方形 B．任意兩個平行四邊形 C．任意兩個菱形 D．任意兩個矩形2．（2022秋?泗縣期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個矩形 B．兩個菱形 C．兩個等腰三角形 D．兩個正方形二．比例的性質(zhì)（共8小題）3．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．4．（2022秋?蒙城縣期末）已知，求的值．5．（2022秋?寧國市期末）已知：，求的值．6．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣7．（2022秋?安徽期中）若＝，則＝（）A． B． C． D．8．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x．9．（2022秋?金安區(qū)校級月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．10．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．三．比例線段（共7小題）11．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項為．12．（2023?定遠縣校級一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項，則c＝cm．13．（2022秋?金安區(qū)校級月考）已知線段a，b，c滿足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求線段a，b，c的長．（2）若線段m是線段a，b的比例中項，求線段m的長．14．（2022秋?宣城月考）若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中項，則b：c等于（）A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．2：115．（2023?亳州模擬）如圖，點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項．如果AB＝2，那么AP＝．16．（2022秋?埇橋區(qū)期中）求證：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例．17．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．四．黃金分割（共7小題）18．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．19．（2022秋?安徽期中）若線段MN的長為2cm，點P是線段MN的黃金分割點，則最短的線段MP的長為（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm20．（2022秋?宣城期末）如果點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），那么下列結(jié)論正確的為（）A． B． C．BC2＝AC?AB D．AC2＝BC?AB21．（2022秋?埇橋區(qū)期中）若線段AB＝2cm，C是AB的黃金分割點，且BC＞AC，則BC的長為（）A．cm B．cm C．cm D．cm22．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm．23．（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB（AP＞BP）上一點，若滿足，則稱點P是AB的一個黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)點B進入，則他至少走多少米時恰好站在舞臺的黃金分割點上？（結(jié)果保留根號）24．（2023?合肥一模）設(shè)點C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為cm．五．平行線分線段成比例（共8小題）25．（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長度為（）A．4 B．6 C．12 D．1526．（2023?蕭縣一模）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝5，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．327．（2022秋?霍邱縣期中）如圖，a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．若AB：BC＝2：3，DF＝10，求EF的長．28．（2022秋?潛山市月考）如圖，點F、D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，已知DE∥BC，F(xiàn)E∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的長．29．（2022秋?長豐縣校級期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．30．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．31．（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級期中）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝4、GD＝2、DF＝8，求BC：CE的值．32．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴建成一個三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經(jīng)過點C．（1）DQ＝10米時，求△APQ的面積．（2）當(dāng)DQ的長為多少米時，△APQ的面積為1600平方米．

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖,在設(shè)計人體雕像時：使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米2．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．3．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（）A． B． C． D．4．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側(cè)進入，設(shè)他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上（BP長為x），則x滿足的方程是（）A． B．C． D．以上都不對5．（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）若線段，點P是線段的黃金分割點，且，則的長為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A． B． C． D．7．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．8．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期末）下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm9．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，若等于，則線段的長為（）A．5 B．6 C．7 D．810．（2022秋·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·安徽宿州·九年級統(tǒng)考期中）若a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項是______cm．12．（2023·安徽滁州·校考一模）已知三條線段、、，其中，，是、的比例中項，則_____．13．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）若線段、、、成比例，其中，，，則____．14．（2023春·安徽淮北·九年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則________．15．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）若，則________．16．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點，若，，則為__________．

17．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┰O(shè)點C是長度為8cm的線段的黃金分割點（），則的長為___________cm．18．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點P把線段分成兩部分，且為與的比例中項．如果，那么_____．三、解答題19．（2022秋·安徽六安·九年級校考階段練習(xí)）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．如圖，若舞臺長為20米，主持人現(xiàn)站在A處，請問主持人應(yīng)走到離A點至少多少米處才最自然得體？（結(jié)果精確到米）20．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)