2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點拔高訓(xùn)練-四邊形動點問題

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點拔高訓(xùn)練-四邊形動點問題

1.如圖，矩形ABCD中，AB=2,4。=4,動點E在邊BC上，與點B、C不重合，過點A

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

(2)若點F在線段CD上，當(dāng)CF=1時，求EC的長.

(3)若直線AF與線段BC延長線交于點G,當(dāng)ADBE與ADFG相似時，求DF的長.

2.將一個平行四邊形紙片ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點八(-2,0),點8(1,0)，

點D在y軸正半軸上，乙DAB=60。.

圖①

(I)如圖①，求點D的坐標(biāo);

3.如圖，在矩形ABCD中，AE是AD上的一個動點，連接BE,作點A關(guān)于的對稱點

F，且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF,BF,EF,過點巨作GF14廣交AD于

(1)求證：AE=GE;

（2）如圖2,當(dāng)點F落在AC上時，用含n的代數(shù)式表示器的值；

（3）當(dāng)AD=4AB，且AFGC=90°時，求幾的值.

4.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,E是AB邊上一動點，以lcm/s的速度從點B出發(fā)，

到A停止運動；F是BC邊上一動點，以2cm/s的速度從點B出發(fā)，到點C停止運動.設(shè)動點運動

（2）當(dāng)4DEF是直角三角形時，求ADEF的面積.

5.綜合與實踐

【問題背景】

如圖1,平行四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=6,AD=8.點E、G分別是AD和DC邊的中

點，過點E、G分別作DC和AD的平行線，兩線交于點F,顯然，四邊形DEFG是平行四邊形.

【獨立思考】

（I）線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系

是：.

（2）將平行四邊形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE落在DC邊上時，如圖2,連接AE和

CG.

①求AE的長；

②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）【問題解決】

將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A,E,F三點在同一直線上時（如圖3）,AE

與CG交于點P,請直接寫出線段CG的長和NAPC的度數(shù).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（百，0）,B（36，2）,C（0,2）.動點D以每秒1個

單位的速度從點O出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB

向終點B運動.過點E作EF_LAB,交BC于點F,連接DA、DF.設(shè)運動時間為t秒.

（2）當(dāng)t為何值時，AB〃DF；

（3）設(shè)四邊形AEFD的面積為S.①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

②若一拋物線y=-x2+mx經(jīng)過動點E,當(dāng)SV26時，求m的取值范圍（寫出答案即可）.

7.如圖，在矩形A8C。中，AD=2V5,AI3=4芯,于點俯，在對角線AC上取一點

M使得2CN=3AM,連接DN并延長交AC于點E,"是AB上一點，連接ERMF.當(dāng)點P從點E

勻速運動到點尸時，點Q恰好從點M勻速運動到點N.

（2）EF//AC,記EP=x,AQ=y.

①求），關(guān)于k的函數(shù)表達(dá)式.

②連接PQ,當(dāng)直線PQ平行于四邊形。的一邊時，求所有滿足條件的.1的值.

（3）在運動過程中，當(dāng)直線PQ同時經(jīng)過點B和。時，記點Q的運動速度為巾，記點P的運動

速度為電，求奈的值.

v2

8.如圖

（1）（學(xué)習(xí)心得）

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完"圓''這一直內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解

決，可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一點，且AD=AC,求

NBDC的度數(shù).若以點A為圓心，AB為半徑作輔助。A,則點C、D必在。A上，NBAC是。A的

圓心角，而NBDC是圓周角，從而可容易得到NBDC=

（2）（問題解決）

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求/BAC的度數(shù).

（3）（問題拓展）

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點

G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A,C分別在工軸、），軸上，點8的坐標(biāo)為

（2,273）,將矩形OABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a,得到矩形01ABici,點O,B,C的對應(yīng)點分別

為。1，8i，Gi.

（1）如圖①，當(dāng)a=45。時，01cl與AB相交于點E,求點￡的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)點。1落在對角線0B上時，連接BC],四邊形OAC窗是何特殊的四邊

形？并說明理由；

（3）連接,當(dāng)BC1取得最小值和最大值時，分別求出點J的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即

可）.

10.如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC=8cm,射線AG〃BC,點E從點A出發(fā)沿射線AG以

Icm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為i（s）

BfFC

(1)填空：當(dāng)t為s時，△ABF是直角三角形；

(2)連接EF,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點D時，四邊形AFCE是否是特殊四邊形？請證明你的結(jié)

論.

11.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD〃BC,AD=2,AB=6,CD=10,點E為CD的中點，

連結(jié)BE,BD,作DFJ_BE于點F。動點P在線段BC上從點B向終點C勻速運動，同時動點Q在

線段CD上從點C向終點D勻速運動，它們同時到達(dá)終點。

(1)求tanC的值。

(2)求DF的長。

(3)當(dāng)P0與△BDF的一邊平行時，求所有滿足條件的BP的長。

12.如圖，菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,AC=12cm,BD=16cm,動點N從點D出

發(fā)，沿線段DB以2cm/S的速度向點B運動，同時動點M從點N出發(fā)，沿線段BA以lcm/S的速度

向點A運動，當(dāng)其中一個動點停止運動時另一個動點也隨之停止.設(shè)運動時間為t(s)(),以點

M為圓心，MB為半徑的。M與射線BA,線段BD分別交于點E,F,連接EN.

(1)求BF的長(用含有t的代數(shù)式表示)，并求出t的取值范圍;

(2)當(dāng)t為何值時，線段EN與。M相切？

(3)若。M與線段EN只有一個公共點，求t的取值范圍.

13.如圖，在RtaABC中，ZX=90°,AC=3,AB=4,動點。從點A出發(fā)，沿方向以每秒2個

單位長度的速度向終點3運動，點Q為線段A尸的中點，過點P向上作PM_LA4,旦PM=3AQ,以

P。、PM為邊作矩形PQNM.設(shè)點P的運動時間為/秒.

（1）線段MP的長為（用含/的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)線段MN與邊8c有公共點時，求，的取值范圍.

（3）當(dāng)點N在AABC內(nèi)部時，設(shè)矩形PQNM與△A8C重疊部分圖形的面積為S,求S與/之間

的函數(shù)關(guān)系式.

（4）當(dāng)點M到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時，直接寫出此時，的值

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形是矩形，*B的坐標(biāo)是（8,6），煎M為

0A邊上的一動點（不與點0、A重合），連接CM,過點M作直線11CM,交AB于點

D,在直線I上取一點E（點E在點M右側(cè)），使得送=寺，過點E作EF//A0,交B0

于點F,連接BE,設(shè)0M=m（0<m<8）.

（1）填空：點E的坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）判斷線段EF的長度是否隨點M的位置的變化而變化？并說明理由：

（3）①當(dāng)m為何值時，四邊形BCME的面積最小，請求出最小值；

②在x軸正半軸上存在點G，使得LGEF是等腰三角形，清直接寫出3個符合條件的點G

的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）.

15.如圖1,在菱形ABCD中，AB=15,過點A作AC_L8C于點E,AE=12,動點P從點B出

發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BE向終點E運動，過點P作PQ18C,交BA于點Q,以PQ為

邊向右作正方形PQMN,點N在射線BC上，設(shè)點P的運動時間為t秒.

(1)求菱形對角線AC的長；

(2)求線段AQ與時間t之詞的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍.

(3)如圖2,AC交QM于點F,交QN于點O,若O是線段QN的中點，求t的值.

16.如圖，BD是^ABCD的對角線，48=7,BD=4五，4ABO=45。，動點P、Q

分別從A、D同時出發(fā)，點P沿折線AB-BC向終點C運動，在AB上的速度為每秒7個單

位，在BC上的速度為每秒5個單位，點Q以每秒2四個單位的速度沿DB向終點B運

動.連結(jié)PQ,以DQ、PQ為邊作團(tuán)DEPQ,設(shè)點P的運動時間為￡(s)(t>0).

(1)當(dāng)點P在邊AB上時，用含t的代數(shù)式表示點P到BD的距離.

(2)當(dāng)點E落在邊CD上時，求￡的值.

(3)設(shè)^DEPQ與^ABCD重疊部分圖形的面積為S,求S與￡之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)連結(jié)EQ,直接寫出直線EQ與宜線BD所夾銳角的正切值.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：如圖1,

西邊形ARCD是矩形,

???DC=AB=2,Z,ADC=乙BCD=90°.

又%?AF1DE,

LADF=^DCE=90°,ZD.4F=^EDC=90°-^DFA,

AADF-ADCE,

.AD_DF

*,DC=CE1

4xnrI1

???2=5，即y=]%.

V點E在線段BC上，與點B、C不重合，

???0<y<4,.%0<<4，即0<x<8,

y=lx,(0<%<8)；

(2)解：①當(dāng)點F線段DC二時，

vCF=1,

DF=x=2—1=1,此時CE=y=ix=i:

乙乙

②當(dāng)點F線段DC延長線上時，

CF=1,

DP=x=2+l=3,此時CE=y=yx=~;

當(dāng)C尸=1時.，EC的長為.或9；

(3)解：在RtAADF中，AF=y/AD2+DF2=V16+x2,

在Rt△DCE中,DE=VfC24-DC2=J(^x)2+4=^V16+x2

.:四邊形ABCD是矩形，

AD//BC,

:,AADF?AGCF,

AF_DF

GF=CF

CFAF2-x/2

???FG=—gp-=—Vx2+16

???LDEC=乙AFD=90-Z-EDC，

???LBED=Z.DFG,

???當(dāng)ADBE與ADFG相似時，可分以下兩種情況討論:

@ADER-AGFD,如圖2.

圖2

則有罌=笥，

：.ED，F(xiàn)D=FG?EB,

：，久2+16,x=2%"小"+16,(4—^x)?

解得：x=l.

?

②若ADEB?ADFG,如圖3,

:.ED?FG=EB?FD,

襯-2+16?^-^-y/x2+16=(4-^x)-x,

整理得：3/+8%-16=0,

4

解秩--

3x2=-4(舍去).

綜上所述：DF的長為|或

2.【答案】解：丁點4(—2,0)，

：.0A=2.

在R￡ZMO。中，/-DAO=60°,

*'?DO=OA-tanZ-DAO=2xtan60°=2百.

乂點D在y軸正半軸上，

???點D的坐標(biāo)為(0,2V3).

(ID剪切下△40。并將其沿x軸正方向平移，點A的對應(yīng)點為點D的對應(yīng)點為D,，點O的對

應(yīng)點為0‘，設(shè)00'=3△AD'O'和四邊形OBCD重疊部分的面積為S.

①如圖②，若平移后△AD'O'和四邊形OBCD重整部分是五邊形時，4方交y軸于點E,0力'交

BC于點F,試用含有t的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

②當(dāng)夫t4時，求S的取值能圍(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】解：①由平移可知，△4D。三△4。'。'，AD//BC,

???AO'=AO=2^DO'=DO=2百，乙D'A'B=乙CBO'=60°.

AOBO'

圖②

由0。'=3B(l,0)知，AO=AO-00'=2-t，BOr=OOr-OB=t-1,

在Rt△AE。中，EO=A'O-tanz.EAlO=(2-t)-tan60°=石(2-￡).

??,S“Zo=)。-OF=1?(2-1)?V3(2-t)=(2-t)2.

同理％BFO，=步。，。'=用(—IF

乂S,n，c，=^AO'-DO=1x2x2V3=26.

△4DOZZ

:"S=S“DB_S“E0-SLBFO,-20一堂(2_t)2-岑(￡-1)2,

即S=-V3t2+3V3t-^(lV￡<2>

②蒼4

3.【答案】(1)證明：設(shè)4E=a,貝I」AD=na,

由對稱知，AE=FE,

???LEAF=Z-EFA,

vGF1AF,

LEAF+Z.FGA=LEFA+乙EFG=90°,

:.LFGA=Z.EFG,

???EG—EF,

???AE=EG；

(2)解：如圖1,當(dāng)點F落在AC上時，

由對稱知，BE1AF,

???乙ABE+乙BAC=90°,

vLDAC+^BAC=90°,

???LABE=Z.DAC,

vLBAE=LD=90°,

：,AABE~ADAC,

.48_AE..AD—口。

-DA-DCf--DC,

:.AB2=AD-AE=na2,

vAB>0,

AB=y/na,

ADna

..布=漏=低；

(3)解：若AD=4AB,則48=軟,

如圖2,當(dāng)點F落在線段BC上時，EF=AE=AB=a,此時

???n=4,

???當(dāng)點F落在矩形內(nèi)部時，n>4,

vLCGF=90°,如圖3,

LCGD+/LAGF=90°,

???LFAG+/-AGF=90°,

???Z.CGD—AFAG—乙4BE，

vLBAE=ZD=90°,

???AABE?ADGC,

.AB_AE

?.DG~DC1

AB-DC=DG-AE,

DG=AD—AE-EG=na-2a=(n-2)a,

???(/Q)2=(n-2)Q-a,

.??兀=8+4或或n=8-4V2(由于n>4,所以舍)，

即：n=8+4V2

4.【答案】(1)解：VBE=tcm,BF=2tcm,AE=(6-t)cm,CF=(12-2t)cm,

/.SADEF=S矩形ABCD-SAAED-SABEF-SACDF,

/.S=12X6-ixl2x(6-t)-1(x2t-1x6x(12-2t)=-t2+12t,

(t>0

根據(jù)題意得6-t>0

(12-2t>0

解得0V《6；

（2）解：由勾股定理可，EF2=BE2+BF2=5t2,

DF2=CD2+CF2=4t2-48t+18(),

DE2=AD2+AE2=t2-12t+180,

①當(dāng)NEDF為直角時，EF2=DE2+DF2,

即5t2=t2-12t+180+4t2-48t+180,

解得t=6,

???S=-62+12x6=36；

②當(dāng)NDEF為直角時，DF?=DE2+EF2,

即6t2-12t+180=4t2-48t+180,

解得t=0或-18,

VD<t<6,

，都不符合；

③當(dāng)NDFE為直角時，DE2=DF2+EF2,

即5t2+4t2-481+180=12.121+180,

解得t=0（舍）或t=3，.

?，?S=-（豕+12X*33,?

5.【答案】（1）3AE=4CG或4ECG或,4E=CG或需=1等

（2）解：解：①如圖，過點E作EH_LAD于點H,

在RtAEDH中，/EDA=60°,ED=5Ao=—x8=4?

；?EH=DE?sin^ADE=4xsin600=2百，

AAH=AD-HD=8-2=6,

在R【AAHE中，根據(jù)勾股定理可得/E=/AH?+EH2=^62+（2V3）2=

②3AE=4CG或4E=^=CG^^AE=CG或保=g等，

證明如下:

由題可知：ZADC=ZCDG=60°,器=部=*,即器=器,

.*.△ADE^ACDG,

..4E_/ID_8_4

-CG=CD=6=3f

4

-

即3AE=4CG或4E3

（3）解：CG=35+3,ZAPC=60°

2

6.【答案】（1）解：過點B作BM_Lx軸于點M

???BC〃OA

AZABC=ZBAM

VBM=2,AM=2V3

AtanZBAM=等

AZABC=ZBAM=30°

(2)解：VAB/7DF

AZCFD=ZCBA=30o

在RtZiDCF中，CD=2-t,ZCFD=30°,

ACF=V3(2-t)

AAB=4,

ABE=4-2t,ZFBE=30°,

???BF二組薩

???遮(2-t)+2(4~2^=3V3，

V3

???Jr—y5

（3）解：①連接DE,過點E作EGJ_x軸于點G,

則EG=l,OG=V3+V3t

AE(V3+V3t,t)

???DE〃x軸

S=SADEF+SADEA=劣DExCD+DExOD

1

-E-X

2(V3t+V3)x2

-+

②s

由①可知，S=V3+V3t

*,*73t+V3V2\[3,

At<l,

Vt>0,

/.0<t<l,

:y=-x2+mx,點E(V3+V3t?t)在拋物線上，

當(dāng)1=0時,E(V3,0),

/.m=y/3,

當(dāng)t=l時，E(2百，1),

-rn-13/3

6

?,?遮<m<

6

7.【答案】(I)解：在矩形ABCD中，AD=2遍，AB=4y/5,ZADC=90°,

???AC=Jm+pc2=J(2灼2+(4伺2=10,

VDM1AC,

AZADM=ZDCM,

，AM=AD?sinNADM=AD?sin/DCM=2遍x9=2,

V2CN=3AM,

ACN=3,AN=AC-CN=7,

???AD〃CE,

?.△ADN^ACEN,

.AD_AN

**~CE~~CN'

.2底7

,?CE=3

ACE=竿

(2)解：①若EF〃AC,則EF=V5BE=芯x竽=岑,

VP,Q勻速運動，設(shè)丫=10<+1),(k#0),

令x=0,y=b,此時點P在E點，Q在M點，b=AM=2；

令y=7U寸，此時Q在N點，P在F點，x=寫，

2=b

7=-y-k+b

解得k=Z,

?，?y=+2；

6

-

②(i)當(dāng)QP〃DM時，AN-y+CN-7

解得x=霽,

(ii)當(dāng)QP〃MF時，四邊形QMFP是平行四邊形，由MQ=FP得，y-2=岑

解得x=g,

(iii)當(dāng)QP〃NE時，四邊形QPEN為平行四邊形，由QN=EP可得，7-y=x,

解得x=|.

綜合以上可得，滿足條件的x的值為招或舞或|

(3)解：PQ同時經(jīng)過B,D時，Q為AC的中點，此時MQ=3,QN=2,

由題意知囂=年多=方，

過點作

PPH_LBE,EH=IEB=X=24^,BH=16v5,

貝I」EH：PH：EP=3：4：5,

?cc5_5、，8x/5_404

??EF=3BRFE-3X---2T'

%_MN_5rp

，Q,P的運動速度比為==4075=第

2-2T40

8.【答案】(I)45

(2)解：如圖2,取BD的中點O,連接AO、CO.

VZBAD=ZBCD=90°,

，點A、B、C、D共圓，

AZBDC=ZBAC,

VZBDC=25°,

AZBAC=25°,

(3)A/5-I

9.【答案】(l)解:

???矩形OABC,

，乙048=90°.

,

：LOAO1=45°,

：.LOXAE=45°.

=90°,04=04=2,

：.0xF=AF=FE=V2,

A.4E=AFA-EF=2^2.

，E(2,2偽?

(2)解：四邊形OAgB是平行四邊形.

在RtA/lOB中，tan〃08=^=孥=75，

：.LBOA=60°.

同理，=60°.

*：0A=0通,

???△0401是等邊三角形.

：.LOAO1=60°.

，AC］與x軸的夾角等于60°.

???B0〃4cl.

又BO=AQ,

???四邊形04G8為平行四邊形.

(3)(2+V3,3),(2-X/3,-3)

10.【答案】(1)2或8

(2)解：四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下:

如圖3,過點A作AH_LBC于點H

/XV

B—>F

圖3

VZABC=60°,AB=8cm

BH_1

/.sinZABC=—=—,cosZABC=

AB2AB=2

?,.AH=*AB=4V3cm,BH=iAB=4cm

乙，

?.,AG〃BC

AZEAD=ZFCD,ZAED=ZCFD

???點D是AC中點

.\AD=CD

在AADE與△CDF中

ZAED=Z.CFD

^EAD=乙FCD

AD=CD

/.△ADE^ACDF(AAS)

???DE=DF

.??四邊形AFCE是平行四邊形

AAE=CF

VAE=t,CF=BC-BF=8-2t

.*.c=8-2t

解得：t=|

???AE=1cm,BF=竽cm

ABF>BH,AF>AH,ZAFC>900

AAF/AE

???四邊形AFCE不是菱形或矩形，四邊形AFCE是平行四邊形.

11.【答案】(1)解：過點D作DG_LBC于點G,

???AD〃BC,ZA=90°,

AZDGC=90°,AD=BG=2,

，DG=AB=6,GO8,AtanC=郡=禽=%

(2)解：過點E作EM_LBC于點M,

???E為DC中點，.'EM為aDGC的中位線,

.'EM=1DG=3,CM=1GC=4,

MC=7EC2-EM2=Vs2-32=4,

、：BC=BG+GC=AD+GC=2+8=10,

ABM=BC-MC=10-4=6,

；?BE=yjBM2+EM2=V62+32=3V5，

???E為CD的中點,

/.SABDE=iSABDc=ixlxDGxBC=ixlx6x10=15,

/.SABDt=iDEDr=i5

即④x3追xDF=15

ADF=2V5.

（3）解：由題意可知BC=CD,所以動點P與Q的運動速度相等,

故BP=CQ,設(shè)BP=x,則CP=10-x

①當(dāng)PQ〃BD時，△CPQ^ACDB

.*.△CMQ^ACGD

：.CQ=CP

/.10-x=x

???x=5,ABP=5

②當(dāng)PQ〃BF時，△CQP^ACEB,

.CQ_CP.x_10—x

=FC'??耳=F"

③當(dāng)PQ〃DF時，延長DF交BC于H,

VBD=2VlO，DF=2V5，ABF=2遍

???ABDF為等腰直角三角形

???△BDC為等腰三角形

根據(jù)軸對稱性，點H為BC的中點（注：也可ACDH名ACBE）

ACH=5

VPQ/7DF,?CQ_CP.x_10-x

，9CD=CH，，10=~T~

20：,BP=20

TT

???BP=5或?qū)W或至

12.【答案】（1）解：連接MF.四邊形ABCD是菱形，.\AB=AD,

AC±BD,OA=OC=6,OB=OD=8,

在RSAOB中，AB=V62+82=1。，

〈MB=MF,AB=AD,

AZABD=ZADB=ZMFB,

，MF〃AD,

.BM_BF

，，'BA=BD'

.t_BF

,?T0=16，

8

-

5(0<t<8).

（2）解：當(dāng)線段EN與。M相切時，易知△BENs^BOA,

?BE_BN

??而一近’

.2t_16-2t

?

??l[--y3-2?

???1=等s時，線段EN與。M相切.

(3)解：①由題意可知：當(dāng)OVtW苧時，(DM與線段EN只有一個公共點.②當(dāng)F與N重合

時，則有It+2t=16,解得仁等,

觀察圖象可知，等＜tV8時，OM與線段EN只有一個公共點.

綜上所述，當(dāng)0＜氐苧或等VtV8時，OM與線段EN只有一個公共點.

13.【答案】(1)3t

(2)解：如圖2?1中，當(dāng)點M落在BC上時，

圖2-1

,?，PM〃AC,

,PM_PB

9，AC=BA'

.3t_4-2t

?，T=_4-'

解得1=I

如圖2-2中，當(dāng)點N落在BC上時,

圖2-2

??7Q〃AC,

.NQBQ

*'~AC~~BA

.3t4-t

??w

解得i=i

24

--<-

綜卜.所述，滿足條件的t的值為3t<5

（3）解：如圖3-I中，當(dāng)0＜飪!時，重疊部分是矩形PQNM,S=3t2

八QP

圖3-1

4

如圖?中，當(dāng),-

32<t<5時，重疊部分是五邊形PQNEF.

C

A/

A~Q―P

圖3-2

-竽2

S=S矩杉PQNM-SAEFM=3t2-1*[3t-1(4-2t)]?[3t-1(4-2t)]=t+18t-6,

3t2(0<t<j)

綜上所述，s=

9124,

--t2

21+18t6(可<￡(可)

(4)如圖4-1中，當(dāng)點M落在NABC的角平分線BF上時，滿足條件.作FE_LBC于E.

'B

VZFAB=ZFEB=90°,ZFBA=ZFBE,BF=BF,

BFA^ABFE(AAS),

AAF=EF,AB=BE=4,設(shè)AF=EF=x,

VZA=90°,AC=3,AB=4,

「?BC=yjAC2-VAB2=5,

???EC=BC-BE=5-4=1,

在RsEFC中，則有x2+P=(3.x)2,

解得x=J,

???PM〃AF,

,PM_PB

-~AF=BA'

.3t_4-2t

??4-4，

3

.r-4

1T

如圖4-2中，當(dāng)點M落在NACB的角平分線上時，滿足條件作EF_LBC于F.

，AE=EF,AC=CF=3,設(shè)AE=EF=y,

???BF=5-3=2,

在RtZkEFB中，則有x?+2』(4-x)2,

解得x=5,

乙

VPM/7AC,

.PM_PE

**~AC=AE'

?3t―尹2t

?*-o9

解得l=;.

如圖4-3中，當(dāng)點M落在△ABC的/ACB的外角的平分線上時，滿足條件.

設(shè)MC的延長線交BA的延長線于E,作EF±BC交BC的延長線于分,

同法可證：AC=CF=3,EF=AE,設(shè)EF=EA=x,

在RSEFB中,則有x2+82=（x+4）2,

解得x=6,

VAC/7PM,

.AC_EA

*W=EP'

.3t_6

,,T=6+2t'

解得t=1，

綜上所述，滿足條件的t的值為4或，或方.

14.【答案】（1）（m+怖，|m）

（2）解：設(shè)直線BO的解析式為：y=kx,

把點B的坐標(biāo)是（8,6）,代入上式可得：6=8k,解得：k=1,

???直線BO的解析式為：y=2x,

???點E的坐標(biāo)為（m+3|m）,EF//AO,

，點F的坐標(biāo)為（m,1m）,

AEF=m+1-m=3,即：線段EF的長度不會隨點M的位置的變化而變化

（3）解：①連接CE,過點E作EQ_LBC于點Q,

???點E的坐標(biāo)為（m+慨，|m）,

EQ=6-，m,

V0C=6,OM=m,

洗

?M-V+即,

LO.

_

MCOMM4

?_-_-

店=

?NN-

7E3

ME=4CM=4J36+m?，

J四邊形BCME的面積=^CM-ME+^BC-QE=1m2-3m+^=1(m-4)2+^

乙乙o乙o乙

即：當(dāng)n『4時，四邊形BCME的面積最小值為：:；

@（a）當(dāng)點G為頂角頂點時，如圖，則G（空辿,0），即：G（m+W，0）,

2

939

-+-或+-

24G(2

9

或G+-

2

7--------

^V36-m2,0).

15.【答案】（1）解：如圖，連結(jié)AC,

???四邊形ABCD是菱形，

：.AR=RC=15.

V.4E1BC,

C.LAEB=90°,

AB-15,AE-12?

：?BE=\/AB2-AE2=9,

：.CE=BC-BE=15—9=6,

，在/?￡△/￡；￡?中，AC=\/AE?4-CE?=675;

(2)解：YPQ1BC,

：.PQIIAE,

???△BPQBEA,

?BP_PQ_BQ

，，BE~AE~BA，

即上登筆

:?BQ=53PQ=43

A.4Q=AB-BQ=15-St,(0<t<3)

(3)解：'：QM||BC,

AQFABC,乙OQF=乙ONC

.AQQF

,?而一BCf

=BC,

：.AQ=QF,

?.?。是QN的中點,

：.OQ=ON；

(乙OQF=Z.ONC

在AOQ"和△ONC中，|OQ=ON

("OQ=4CON

:?&OQF=△ONC(ASA),

???FQ=CN,

???AQ=FQ=CN,

?：BP=33PQ=PN=43

:.BN=73

：.AQ=BN-BC=7t-15=15-5t,

解得：”今

16.【答案】(1)解：如圖①，過點P作P尸1BD于點F

0①

在RtAPFB+，乙PFB=90°

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