2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.2 乘法公式 能力培優(yōu)訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.2乘法公式能力培優(yōu)訓(xùn)練(含答案) 14.2乘法公式專題一乘法公式1．下列各式中運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2 D．(a+b)(－a－b)=－a2－b22．代數(shù)式(x+1)(x－1)(x2+1)的計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)43．計(jì)算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．專題二乘法公式的幾何背景4．請(qǐng)你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b25．如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．a(chǎn)2－b2=（a+b）（a－b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．a(chǎn)（a+b）=a2+ab6．我們?cè)趯W(xué)習(xí)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2時(shí)，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來說明上式成立．在習(xí)題中我們又遇到了題目“計(jì)算：（a+b+c）2”，你能將知識(shí)進(jìn)行遷移，從幾何背景說明（大致畫出圖形即可）并計(jì)算（a+b+c）2嗎？狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．【溫馨提示】1．不要將平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它們項(xiàng)數(shù)和符號(hào)的不同．2．完全平方公式中，中間項(xiàng)是左邊兩個(gè)數(shù)的和的2倍，注意系數(shù)的特點(diǎn)．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式．只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式．2．有些題目往往不能直接應(yīng)用公式求解，但稍做適當(dāng)?shù)淖冃魏缶涂梢杂贸朔ü角蠼猓纾何恢米兓?，符?hào)變化，數(shù)字變化，系數(shù)變化，項(xiàng)數(shù)變化等．參考答案1．D解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正確；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正確；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正確；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D錯(cuò)誤．2．A解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，當(dāng)x=2，y=3時(shí)，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B解析：這個(gè)圖形的整體面積為(a+b)2；各部分的面積的和為a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故選B．5．C解析：從圖中可知：陰影部分的面積是（a－b）2和b2，剩余的矩形面積是（a－b）b和（a－b）b，即大陰影部分的面積是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故選C．6．解：（a+b+c）2的幾何背景如圖，整體的面積為：（a+b+c）2，用各部分的面積之和表示為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．14.2乘法公式1．平方差公式(1)平方差公式的推導(dǎo)：因?yàn)?a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．(3)公式的特點(diǎn)：①公式中的a和b可以是實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；②公式的左邊是兩個(gè)數(shù)(式)的和與這兩個(gè)數(shù)(式)的差的積，公式的右邊是這兩個(gè)數(shù)(式)的平方差(先平方后作差)．警誤區(qū)平方差公式的特征利用平方差公式進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要看清題目是否符合公式的特點(diǎn)，不符合平方差公式特點(diǎn)的，不能用平方差公式．對(duì)于符合平方差公式的，結(jié)果要用相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方，千萬不要顛倒了．【例1】利用平方差公式計(jì)算．(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)；(2)503×497.分析：(1)可直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)題可經(jīng)過適當(dāng)變形，把503寫成(500＋3),497寫成(500－3)，就能利用公式來計(jì)算了．解：(1)(2a＋3b)(－2a＋3b)＝(3b)2－(2a)2＝9b2－4a2.(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250000－9＝249991.解技巧平方差公式的理解和應(yīng)用要注意辨別因式中哪些相當(dāng)于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相當(dāng)于公式中的b(符號(hào)不同的部分)．2．完全平方公式(1)兩數(shù)和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；兩數(shù)差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.(2)語言敘述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍．(3)公式的特點(diǎn)：兩個(gè)公式左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，二者僅差一個(gè)“符號(hào)”不同，右邊都是二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅差一個(gè)“符號(hào)”不同．析規(guī)律完全平方公式的特征完全平方公式總結(jié)口訣為：首平方，尾平方，首尾二倍積，加減在中央．【例2】計(jì)算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq\f(1,2))2；(3)(－a－b)2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2×4m·n＋n2＝(4m)2＋8mn＋n2＝16m2＋8mm＋n2；(2)(y－eq\f(1,2))2＝y(tǒng)2－2×y×eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y(tǒng)2－y＋eq\f(1,4)；(3)(－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(4)(－2a＋eq\f(1,2)b)2＝(－2a)2＋2×(－2a)×(eq\f(1,2)b)＋(eq\f(1,2)b)2＝4a2－2ab＋eq\f(1,4)b2.3．添括號(hào)法則法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．警誤區(qū)添括號(hào)法則的易錯(cuò)點(diǎn)添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里面的各項(xiàng)都改變符號(hào)，不可只改變部分項(xiàng)的符號(hào)，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，這樣添括號(hào)時(shí)只是改變了第一項(xiàng)的符號(hào)，而第二項(xiàng)的符號(hào)沒有改變，所以這樣添括號(hào)是錯(cuò)誤的．【例3】填空：(1)(x－y＋z)(x＋y－z)＝[x－()][x＋()]；(2)(x＋y＋z)(x－y－z)＝[x＋()][x－()]．答案：(1)y－zy－z(2)y＋zy＋z4．平方差公式、完全平方公式的推導(dǎo)從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面都可以推導(dǎo)出平方差公式．(1)“數(shù)”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，合并后即可推導(dǎo)出平方差公式．(2)“形”方面：可以運(yùn)用某個(gè)圖形形狀變化前后的面積不變，但面積的表達(dá)式不同來推導(dǎo)平方差公式．5．添括號(hào)法則與平方差公式、完全平方公式的綜合運(yùn)用添括號(hào)法則可以把某些項(xiàng)放到一個(gè)括號(hào)內(nèi)成為一個(gè)整體，這樣就能使式子變形為符合公式的形式，然后運(yùn)用乘法公式再進(jìn)行計(jì)算，這樣使比較復(fù)雜的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單．【例4】如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式__________．解析：左上圖的陰影部分的面積為a2－b2，因?yàn)橛疑蠄D為梯形，梯形的高為(a－b)，所以陰影部分的面積為(2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)．答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2【例5】利用乘法公式計(jì)算：(a＋b＋c)(a－b－c)．分析：可將(a＋b＋c)用添括號(hào)變形為[a＋(b＋c)]，再把(a－b－c)變形為[a－(b＋c)]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式計(jì)算即可．解：(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2)＝a2－b2－2bc－c2.6．運(yùn)用乘法公式解探索規(guī)律題解決探索規(guī)律型問題，一定要認(rèn)真審清題意，觀察式子左右兩邊的變化特點(diǎn)，縱向、橫向來尋找規(guī)律．這類題目的解題步驟一般有：先根據(jù)給出的問題情境探究其變化規(guī)律，并用實(shí)例檢驗(yàn)其規(guī)律的正確性，然后應(yīng)用規(guī)律來解決問題，體會(huì)學(xué)以致用．【例6】觀察下列各式的規(guī)律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…寫出第n行的式子，并證明你的結(jié)論．解：第n行的式子為：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.證明如下：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋1)2.15.2.1平方差公式選擇題1、下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的是()A.(x+y)(－x－y)B.(2x+3y)(2x－3z)C.(－a－b)(a－b)D.(m－n)(n－m)2、在下列多項(xiàng)式的乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是（）A.B.C.D.3、下列計(jì)算正確的是()A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9B.(x+4)(x－4)=x2－4C.(5+x)(x－6)=x2－30D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b24、下列運(yùn)算中，正確的是（）A.B.C.D.5、下列多項(xiàng)式乘法，不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(－a－b)(－b+a)B.(xy+z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a+b)D.(0.5x－y)(－y－0.5x)6、在下列各式中，運(yùn)算結(jié)果是的是（）A.B.C.D.7、(4x2－5y)需乘以下列哪個(gè)式子，才能使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算()A.－4x2－5yB.－4x2+5yC.(4x2－5y)2D.(4x+5y)28、在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（＞）（如圖1），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖2），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）aabbaaabbabb圖1圖2圖乙B．C．D．二、填空題9、兩項(xiàng)和與兩項(xiàng)差的積等于這兩項(xiàng)的，其中項(xiàng)的平方作為被減數(shù)；項(xiàng)的平方作為減數(shù)。10、已知，，則11、12、若a2+2a=1，則（a+1）2=_________．13、14、=；。15、；。16、(a+)(a－)=a2－0.2517、計(jì)算：。18、若，，比較aB．三、解答題19、運(yùn)用平方差公式計(jì)算:①20021998②20、先化簡(jiǎn)，后求值：，其中21、先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．22、化簡(jiǎn)：．23、化簡(jiǎn)：15.3乘法公式一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各式運(yùn)算正確的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a52.用乘法公式計(jì)算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.計(jì)算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，試判斷△ABC的形狀.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y(tǒng)2(y+3)(y－3).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)22.下列運(yùn)算正確的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y43.將面積為a2的正方形邊長(zhǎng)增加2，則正方形的面積增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.56.計(jì)算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.8.圖15-3-1為楊輝三角系數(shù)表部分，它的作用是可以按規(guī)律寫出形如(a+b)n(其中n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a+b)4展開式中所缺的系數(shù).圖15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.9.大家已經(jīng)知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用圖15-3-2(1)的面積表示.圖15-3-2(1)請(qǐng)寫出圖(2)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(2)請(qǐng)寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(3)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.10.如圖15-3-3所示,長(zhǎng)方形ABCD被分成六個(gè)大小不一的正方形，已知中間一個(gè)小正方形面積為4，求長(zhǎng)方形ABCD中最大正方形與最小正方形的面積之差.圖15-3-3參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各式運(yùn)算正確的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a5思路解析：考查整式的運(yùn)算法則，A中兩式不為同類項(xiàng)，不能合并，C中a的指數(shù)應(yīng)為3，D中除法時(shí)指數(shù)應(yīng)為分子的指數(shù)減分母的指數(shù)，即結(jié)果應(yīng)為a8.答案：B2.計(jì)算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.思路分析：本題是利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，關(guān)鍵是寫成公式的形式.解：(1)5012＝(500+1)2＝5002+2×500×1+12＝250000+1000+1＝251001.(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2+0.22＝10000－40+0.04＝9960.04.(3)60×59＝(60+)(60－)＝602－()2＝3600－＝3599.(4)原式＝20052－(2005－1)×(2005+1)＝20052－(20052－1)＝1.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.計(jì)算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).思路分析：觀察每個(gè)題的特征，符合完全平方公式的特征，就利用完全平方公式，符合平方差公式的特征，就利用平方差公式，結(jié)果注意合并同類項(xiàng).解：(1)原式＝a4－1+a4＝2a4－1.(2)原式＝4a2－b2－(9a2－b2)＝4a2－b2－9a2+b2＝－5a2.(3)原式＝x2－(16－8x+x2)＝x2－16+8x－x2＝8x－16.(4)原式＝9x2－12xy+4y2－4(2x2－3xy+y2)＝9x2－12xy+4y2－8x2+12xy－4y2＝x2.2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.思路分析：由于(a+b)2和(a－b)2的展開式中都只含有a2+b2和ab，所以把(a+b)2和(a－b)2展開，已知的兩個(gè)等式可看成是關(guān)于a2+b2和ab的二元一次方程組，可求a2+b2和ab的值.解：由(a+b)2＝7，得a2+2ab+b2＝7.①由(a－b)2＝4，得a2－2ab+b2＝4.②①+②得2(a2+b2)＝11，∴a2+b2＝.①－②得4ab＝3，∴ab＝.3.已知△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，試判斷△ABC的形狀.思路分析：式子a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0體現(xiàn)了三角形三邊關(guān)系，從形式上看與完全平方式相仿，但差著2ab中的2倍，因此可以對(duì)等式兩邊都擴(kuò)大2倍，從而得到結(jié)論.解：∵a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(a2－2ac+c2)＝0.∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.∴△ABC是等邊三角形.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y(tǒng)2(y+3)(y－3).思路分析：按運(yùn)算要求化簡(jiǎn)方程.解：(1)36x2－63x－［(6x)2－25］+38＝0,63x=63,x=1.(2)［y2－(3y－2)］［y2+(3y－2)］＝y(tǒng)2(y2－9),y4－(3y－2)2＝y(tǒng)4－9y2,y4－9y2+12y－4＝y(tǒng)4－9y2,12y＝4,y=.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)2思路解析：互為相反數(shù)的偶次冪相等.用兩個(gè)乘法公式計(jì)算時(shí)，分清其特點(diǎn).答案：A2.下列運(yùn)算正確的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y4答案：C3.將面積為a2的正方形邊長(zhǎng)增加2，則正方形的面積增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a思路解析：用面積公式列出算式(a+2)2－a2，用平方差公式計(jì)算.答案：C4.下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)思路解析：平方差公式的特點(diǎn)為兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差.答案：B5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.5思路解析：用平方差公式化簡(jiǎn)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng).答案：D6.計(jì)算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).解：(1)用平方差公式來做，但要注意－y和－y是相同項(xiàng)，1.2x和－1.2x是相反項(xiàng).原式＝y(tǒng)2－1.44x2.(2)原式＝－(15+)(15－)＝－(152－)＝－224.(3)原式＝［2x2－(x2－y2)］(z2－x2+y2－z2)＝(x2+y2)(－x2+y2)＝y(tǒng)4－x4.(4)原式＝［a－(2b－3c)］［a+(2b－3c)］＝a2－(2b－3c)2＝a2－(4b2－12bc+9c2)＝a2－4b2+12bc－9c2.7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.思路分析：知道整式的變形(x+y)2－(x－y)2＝4xy等.解：(1)①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝62－2×4＝36－8＝28.②(x－y)2＝(x+y)2－4xy＝62－4×4＝36－16＝20.③x2+xy+y2＝28+4＝32.(2)由a(a－3)－(a2－3b)＝9，得到－3a+3b＝9，∴b－a＝3..8.圖15-3-1為楊輝三角系數(shù)表部分，它的作用是可以按規(guī)律寫出形如(a+b)n(其中n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a+b)4展開式中所缺的系數(shù).圖15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.思路解析：弄清楊輝三角系數(shù)中的每一層均是a+b的幾次方的系數(shù).第一層為(a+b)0的系數(shù)；第二層為(a+b)1的各項(xiàng)系數(shù)，依次類推，第五層是(a+b)4的各項(xiàng)系數(shù).答案：4649.大家已經(jīng)知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用圖15-3-2(1)的面積表示.圖15-3-2(1)請(qǐng)寫出圖(2)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(2)請(qǐng)寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(3)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.思路分析：這實(shí)際上是一種圖形的兩種面積表示方法，所以它們是相等的.計(jì)算面積時(shí)，列出的是整式的乘法.解：(1)(x+y)(2x+y)＝2x2+3xy+y2(2)(2x+y)(x+2y)＝2x2+5xy+2y2(3)答案不唯一，如圖：10.如圖15-3-3所示,長(zhǎng)方形ABCD被分成六個(gè)大小不一的正方形，已知中間一個(gè)小正方形面積為4，求長(zhǎng)方形ABCD中最大正方形與最小正方形的面積之差.圖15-3-3思路分析：因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e為4，所以它的邊長(zhǎng)為2.顯然它是最小的正方形.其余正方形的邊長(zhǎng)是b＝a+2，c＝b+2＝a+4，d＝c+2=a+6，可見邊長(zhǎng)為d的正方形是最大的，因此可求得兩正方形面積差.解：由題意，得b＝a+2，c＝b+2＝a+4，d=c+2＝a+6，∵AB＝DC，∴d+c＝b+2a.∴a+6+a+4＝a+2+2a.∴a＝8.∴兩正方形的面積差為d2－4＝(a+6)2－4＝(8+6)2－4＝192.15.3乘法公式一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各式運(yùn)算正確的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a52.用乘法公式計(jì)算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.計(jì)算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.3.已知△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，試判斷△ABC的形狀.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y(tǒng)2(y+3)(y－3).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)22.下列運(yùn)算正確的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y43.將面積為a2的正方形邊長(zhǎng)增加2，則正方形的面積增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a4.下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)D.(3m－2n)(－3m－2n)5.不等式(2x－1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是()A.x＞－2.5B.x＜－2.5C.x＞2.5D.x＜2.56.計(jì)算：(1)(1.2x－y)(－y－1.2x)；(2)15×(－14)；(3)［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；(4)(a－2b+3c)(a+2b－3c).7.(1)已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x－y)2，③x2+xy+y2的值.(2)已知a(a－3)－(a2－3b)＝9，求－ab的值.8.圖15-3-1為楊輝三角系數(shù)表部分，它的作用是可以按規(guī)律寫出形如(a+b)n(其中n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a+b)4展開式中所缺的系數(shù).圖15-3-1(a+b)＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a2+_________a3b+_________a2b2+_________ab3+b4.9.大家已經(jīng)知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2x(x+y)＝2x2+2xy就可以用圖15-3-2(1)的面積表示.圖15-3-2(1)請(qǐng)寫出圖(2)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(2)請(qǐng)寫出圖(3)所表示的代數(shù)恒等式：__________；(3)試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(x+y)(x+3y)＝x2+4xy+3y2.10.如圖15-3-3所示,長(zhǎng)方形ABCD被分成六個(gè)大小不一的正方形，已知中間一個(gè)小正方形面積為4，求長(zhǎng)方形ABCD中最大正方形與最小正方形的面積之差.圖15-3-3參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.下列各式運(yùn)算正確的是()A.a2+a3=a5B.a2·a3=a5C.(ab2)3=ab6D.a10÷a2=a5思路解析：考查整式的運(yùn)算法則，A中兩式不為同類項(xiàng)，不能合并，C中a的指數(shù)應(yīng)為3，D中除法時(shí)指數(shù)應(yīng)為分子的指數(shù)減分母的指數(shù)，即結(jié)果應(yīng)為a8.答案：B2.計(jì)算：(1)5012；(2)99.82；(3)60×59；(4)20052－2004×2006.思路分析：本題是利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，關(guān)鍵是寫成公式的形式.解：(1)5012＝(500+1)2＝5002+2×500×1+12＝250000+1000+1＝251001.(2)99.82＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2+0.22＝10000－40+0.04＝9960.04.(3)60×59＝(60+)(60－)＝602－()2＝3600－＝3599.(4)原式＝20052－(2005－1)×(2005+1)＝20052－(20052－1)＝1.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.計(jì)算：(1)(a2+1)(a2－1)－(－a2)·a2；(2)(2a－b)(2a+b)－(－3a－b)(－3a+b)；(3)x2－(4－x)2；(4)(3x－2y)2－4(2x－y)(x－y).思路分析：觀察每個(gè)題的特征，符合完全平方公式的特征，就利用完全平方公式，符合平方差公式的特征，就利用平方差公式，結(jié)果注意合并同類項(xiàng).解：(1)原式＝a4－1+a4＝2a4－1.(2)原式＝4a2－b2－(9a2－b2)＝4a2－b2－9a2+b2＝－5a2.(3)原式＝x2－(16－8x+x2)＝x2－16+8x－x2＝8x－16.(4)原式＝9x2－12xy+4y2－4(2x2－3xy+y2)＝9x2－12xy+4y2－8x2+12xy－4y2＝x2.2.已知(a+b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2+b2和ab的值.思路分析：由于(a+b)2和(a－b)2的展開式中都只含有a2+b2和ab，所以把(a+b)2和(a－b)2展開，已知的兩個(gè)等式可看成是關(guān)于a2+b2和ab的二元一次方程組，可求a2+b2和ab的值.解：由(a+b)2＝7，得a2+2ab+b2＝7.①由(a－b)2＝4，得a2－2ab+b2＝4.②①+②得2(a2+b2)＝11，∴a2+b2＝.①－②得4ab＝3，∴ab＝.3.已知△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，試判斷△ABC的形狀.思路分析：式子a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0體現(xiàn)了三角形三邊關(guān)系，從形式上看與完全平方式相仿，但差著2ab中的2倍，因此可以對(duì)等式兩邊都擴(kuò)大2倍，從而得到結(jié)論.解：∵a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac＝0,即(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(a2－2ac+c2)＝0.∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.∴△ABC是等邊三角形.4.解方程：(1)9x(4x－7)－(6x+5)(6x－5)+38＝0；(2)(y2－3y+2)(y2+3y－2)＝y(tǒng)2(y+3)(y－3).思路分析：按運(yùn)算要求化簡(jiǎn)方程.解：(1)36x2－63x－［(6x)2－25］+38＝0,63x=63,x=1.(2)［y2－(3y－2)］［y2+(3y－2)］＝y(tǒng)2(y2－9),y4－(3y－2)2＝y(tǒng)4－9y2,y4－9y2+12y－4＝y(tǒng)4－9y2,12y＝4,y=.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是()A.(x－y)2＝(y－x)2B.(x+6)(x－6)＝x2－6C.(x+y)2＝x2+y2D.x2+2xy2－y2＝(x+y)2思路解析：互為相反數(shù)的偶次冪相等.用兩個(gè)乘法公式計(jì)算時(shí)，分清其特點(diǎn).答案：A2.下列運(yùn)算正確的是()A.(a+3)2＝a2+9B.(x－y)2＝x2－xy+y2C.(1－m)2＝1－2m+m2D.(x2－y2)(x+y)(x－y)＝x4－y4答案：C3.將面積為a2的正方形邊長(zhǎng)增加2，則正方形的面積增加了()A.4B.2a+4C.4a+4D.4a思路解析：用面積公式列出算式(a+2)2－a2，用平方差公式計(jì)算.答案：C4.下列多項(xiàng)式乘法中，不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(a+1)(2a－2)B.(2x－3)(－2x+3)C.(2y－)(+2y)