高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章第三節(jié)隨機(jī)事件與概率課件

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)隨機(jī)事件與概率·考試要求·1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．2．了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別．3．了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．必備知識(shí)落實(shí)“四基”

自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(

)(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．(

)(3)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(

)(4)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件．(

)√×√×2．(多選題)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，D3＝“點(diǎn)數(shù)大于4”．則下列結(jié)論正確的是(

)A．C1與C2互斥 B．C2，C3為對(duì)立事件C．D2∪D3＝D2 D．D2∩D1＝D3AC3.(教材改編題)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè)，現(xiàn)在有放回地隨機(jī)摸3次，每次摸取一個(gè)，觀察摸出球的顏色，則此隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.8

解析：因?yàn)槭怯蟹呕氐仉S機(jī)摸3次，所以隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(紅，紅，紅)，(紅，紅，黑)，(紅，黑，紅)，(黑，紅，紅)，(紅，黑，黑)，(黑，紅，黑)，(黑，黑，紅)，(黑，黑，黑)}，故共有8個(gè)樣本點(diǎn)．

核心回扣1．樣本點(diǎn)與樣本空間(1)樣本點(diǎn)：我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，一般地，用ω表示樣本點(diǎn)．(2)樣本空間：全體________的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間．(3)有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝____________________為有限樣本空間．樣本點(diǎn){ω1，ω2，…，ωn}2．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)________(或________)相等關(guān)系B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并事件(或和事件)事件A與事件B______有一個(gè)發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)________(或________)B?AA?B至少A∪BA＋B名稱條件結(jié)論符號(hào)表示交事件(或積事件)事件A與事件B______發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)________(或______)互斥事件事件A與事件B_________發(fā)生事件A與事件B互斥(或互不相容)____________對(duì)立事件事件A與事件B______________發(fā)生事件A與事件B互為對(duì)立___________，______________同時(shí)A∩BAB不能同時(shí)A∩B＝?有且僅有A∪B＝Ω且A∩B＝?一個(gè)

自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二概率1.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為______．分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)頻數(shù)2345420.452.(教材改編題)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.3.(1)如果B?A，那么P(A∪B)＝____，P(AB)＝____；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝____，P(AB)＝____.(1)0.4

0.3

(2)0.7

0

解析：(1)如果B?A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3.(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝?，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0.

核心回扣1.頻率與概率頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的______，頻率偏離概率的幅度會(huì)______，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸______于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)注意點(diǎn)：隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．增大縮小穩(wěn)定2.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)____0.性質(zhì)2：必然事件的概率為___，不可能事件的概率為___，即P(Ω)＝___，P(?)＝___．性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝___________，P(A)＝___________．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)____P(B)．由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝_________________

___________．≥1010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)≤P(A)＋P(B)－P(A∩B)

應(yīng)用1

(多選題)一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中為互斥事件的是(

)A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．“至少有1件次品”和“都是次品”C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D．“至少有1件次品”和“都是正品”√√AD

解析：對(duì)于A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；對(duì)于B，“至少有1件次品”的事件中包含了“都是次品”的事件，不是互斥事件；對(duì)于C事件，“至少有1件正品”包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件正品”，事件“至少有1件次品”包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件次品”，可知兩者不是互斥事件；對(duì)于D，由C分析知“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件．故選AD．

√核心考點(diǎn)提升“四能”

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算1．5個(gè)人站成一排，其中為互斥事件的是(

)A．“甲站排頭”與“乙站排頭” B．“甲站排頭”與“乙不站排尾”C．“甲站排頭”與“乙站排尾” D．“甲不站排頭”與“乙不站排尾”A

解析：根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，判斷A是互斥事件；BCD中的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件．故選A．√2．(2024·濟(jì)南模擬)食用植物油有兩種制取工藝：壓榨法和浸出法．壓榨法由于不涉及添加任何化學(xué)物質(zhì)，榨出的油各種成分保持較為完整，但缺點(diǎn)是出油率低．浸出法制油粕中殘油少，出油率高，油料資源得到了充分的利用．我國(guó)植物油料種類繁多，而壓榨法和浸出法這兩種油脂制取工藝分別適用于不同的油料，常見的壓榨油有芝麻油、花生油等，常見的浸出油有油菜籽油、大豆油等．現(xiàn)有4個(gè)完全相同的不透明油桶里面分別裝有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，從中任取1桶，則下列兩個(gè)事件互為對(duì)立事件的是(

)A．“取出芝麻油”和“取出花生油” B．“取出浸出油”和“取出大豆油”C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油” D．“取出壓榨油”和“取出浸出油”√D

解析：對(duì)于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”是互斥事件，但不是對(duì)立事件；對(duì)于B，“取出浸出油”和“取出大豆油”在一次試驗(yàn)中可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；對(duì)于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”是互斥事件，但不是對(duì)立事件；對(duì)于D，“取出壓榨油”和“取出浸出油”在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生，但至少有一個(gè)發(fā)生，所以是對(duì)立事件．故選D．3．(多選題)從5個(gè)女生和4個(gè)男生中任選兩個(gè)人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有如下隨機(jī)事件：A＝“至少有一個(gè)女生”，B＝“至少有一個(gè)男生”，C＝“恰有一個(gè)男生”，D＝“兩個(gè)都是女生”，E＝“恰有一個(gè)女生”．下列結(jié)論正確的有(

)A．C＝EB．A＝BC．D∩E≠?D．B∩D＝?，B∪D＝Ω√√AD

解析：對(duì)于A，事件C，E均表示“選出的兩個(gè)人是1個(gè)男生和1個(gè)女生”，所以C＝E，A正確；對(duì)于B，事件A＝“選出的兩個(gè)人是1個(gè)男生和1個(gè)女生或者2個(gè)女生”，事件B＝“選出的兩個(gè)人是1個(gè)男生和1個(gè)女生或者2個(gè)男生”，則A≠B，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件D，E包含的樣本點(diǎn)都不相同，則D∩E＝?，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件B，D包含的樣本點(diǎn)都不相同，則B∩D＝?，事件B＝“選出的兩個(gè)人是1個(gè)男生和1個(gè)女生或者2個(gè)男生”，事件D＝“選出的兩個(gè)人是2個(gè)女生”，則B∪D包含了樣本空間中所有的樣本點(diǎn)，所以B∪D＝Ω，D正確．故選AD．

1．事件的關(guān)系運(yùn)算策略(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．(2)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．2．判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法

隨機(jī)事件的頻率與概率【例1】如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示．所用時(shí)間/分10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164

所用時(shí)間/分10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘的時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：設(shè)A1，A2分別表示事件“甲選擇路徑L1和路徑L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站”；B1，B2分別表示事件“乙選擇路徑L1和路徑L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站”．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因?yàn)镻(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇路徑L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因?yàn)镻(B1)＜P(B2)，所以乙應(yīng)選擇路徑L2.

1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．提醒：概率的定義是求一個(gè)事件概率的基本方法．

為了研究某種油菜籽的發(fā)芽率，科研人員在相同條件下做了8批試驗(yàn)，油菜籽發(fā)芽試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示．批次1234每批粒數(shù)510130700發(fā)芽粒數(shù)49116637

批次5678每批粒數(shù)1500200030005000發(fā)芽粒數(shù)1370178627094490

√(2)如果事件A與B是互斥事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為________.0.16

解析：設(shè)P(A)＝x，則P(B)＝3x.又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，即P(A)＝0.16.直接法求互斥事件的和事件的概率考向2

“至多”“至少”型問題的概率【例3】經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；解：記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.排隊(duì)人數(shù)012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．解：(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

間接法求復(fù)雜事件發(fā)生的概率若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．

1．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是(

)A．62% B．56%C．46% D．42%√C

解析：記