專題06 橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 12個考點清單-題型解讀）（原卷版）

清單06橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，【清單02】點差法：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：【清單03】弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）【清單04】三角形面積問題直線方程：【清單05】焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)【清單06】平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).【清單07】探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。?？碱}型：①與面積有關(guān)的定值問題；②與角度有關(guān)的定值問題；③與比值有關(guān)的定值問題；④與參數(shù)有關(guān)的定值問題；⑤與斜率有關(guān)的定值問題【考點題型一】根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：聯(lián)立+判別法【例1】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點為，，P為橢圓上一點，且到兩個焦點的距離之和為6.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若已知直線，當m為何值時，直線與橢圓C有公共點？【變式1-1】（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知橢圓的短軸長和焦距均為.(1)求的方程；(2)若直線與沒有公共點，求的取值范圍.【變式1-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎p曲線過點且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點，求k的取值范圍．【變式1-3】（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，以和的準線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形．(1)求的方程；(2)討論過點的直線與的交點個數(shù)．【考點題型二】中點弦問題核心方法：點差法+韋達定理法【例2-1】（24-25高二上·陜西·期中）已知點，，動點Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點，試判斷點能否成為線段的中點，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請說明理由.【例2-2】（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知橢圓的一個頂點為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點能否作一條直線，使直線與橢圓交于，兩點，且使得是線段的中點，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．【變式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．【變式2-2】（23-24高二上·河北邢臺·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，已知.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.【考點題型三】求弦長（定值）核心方法：弦長公式【例3】（24-25高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線的標準方程；(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點，求的面積.(3)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求PQ.【變式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓長軸長為，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于，兩點，求.【變式3-2】（陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知動點到點的距離與點到直線的距離相等.(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)點，為軌跡上不同的兩點，若線段的中垂線方程為，求線段的長.【考點題型四】求弦長（最值或范圍）核心方法：【例4】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，直線與直線交于點，當直線的傾斜角為時，．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)線段的中點為，求的取值范圍．【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓：的兩焦點，，且橢圓過.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線與軸負半軸交于點，若點的縱坐標的最大值為，求的取值范圍.【變式4-2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）過雙曲線右焦點的直線與的左?右支分別交于點，與圓：交于（異于）兩點.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)求的取值范圍.【考點題型五】根據(jù)弦長求參數(shù)核心方法：【例5】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）平面直角坐標系中，已知點，動點C滿足條件：的周長為，記動點C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程；(2)設(shè)過點B的直線l與曲線W交于兩點，如果，求直線l的方程.【變式5-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F且互相垂直的兩條動直線分別與E交于點A，B和點C，D，當時，．(1)求E的方程；(2)設(shè)線段AB，CD的中點分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．【變式5-2】（2024·浙江寧波·一模）已知是雙曲線：上一點，的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)直線過點，且與的兩支分別交于，兩點.若，求直線的斜率.【考點題型六】拋物線非焦點弦問題核心方法：【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與軸垂直的直線交于兩點，是與的一個公共點，，.(1)求與的標準方程；(2)過點且與相切的直線與交于點，求.【變式6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點的縱坐標為4，點到焦點的距離為5，過點做兩條互相垂直的弦、．(1)求拋物線的方程．(2)求的最小值．【考點題型七】拋物線焦點弦問題核心方法：【例7】（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知拋物線的焦點為，過的直線與交于兩點.當軸時，.(1)求的方程；(2)若，求直線的方程.【變式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知拋物線的焦點為，直線經(jīng)過點且與交于點．(1)若直線的斜率為，求的面積；(2)若，求線段的中點到軸的距離．【考點題型八】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（定值問題）核心方法：面積公式+弦長公式+點到直線的距離【例8】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓分別為左右焦點，短軸長為2，點為橢圓在第一象限的動點，的周長為.(1)求的標準方程；(2)若，求點的坐標；(3)若，直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，且的面積為，求的值.【變式8-1】（24-25高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知雙曲線的右頂點，點到雙曲線一條漸近線的距離為.若過雙曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，且分別在第一象限和第四象限(1)求雙曲線的方程；(2)若，求的面積.【變式8-2】（23-24高二下·重慶·期中）已知點，在拋物線上.(1)若，記線段的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離；(2)若點，在直線上，且滿足四邊形為正方形，求此正方形的面積.【考點題型九】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（最值或范圍問題）核心方法：面積公式+弦長公式+點到直線的距離+基本不等式+一元二次函數(shù)【例9】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知動點滿足：．(1)求動點E的軌跡方程；(2)過作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點，過作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點，且，依次連接A，B，C，D四點得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．【變式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和為橢圓上的兩點.(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，求三角形AOB面積的取值范圍.【變式9-2】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線與E的交點為，直線與傾斜角互補.（i）求的值；（ii）若，求面積的最大值.【考點題型十】圓錐曲線中的向量問題【例10】（2024·陜西商洛·一模）已知雙曲線的左、右頂點分別是，點在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標準方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點，為坐標原點，君，求點到直線的距離的最大值．【變式10-1】（24-25高二上·甘肅武威·期中）已知曲線的左右焦點為，P是曲線E上一動點(1)求△的周長；(2)過的直線與曲線E交于AB兩點，且，求直線AB的方程；【變式10-2】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獟佄锞€經(jīng)過點，直線過點且與拋物線有兩個不同的交點，.(1)求拋物線的準線方程；(2)求直線的斜率的取值范圍；(3)若直線交軸于，直線交軸于，設(shè)為原點，，，求的值.【考點題型十一】圓錐曲線中的定點問題【例11】（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線：，F(xiàn)是其焦點，已知拋物線上一點，且(1)求該拋物線的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點分別為P，Q，求證:直線恒過一個定點.【變式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知橢圓的右焦點在直線上，分別為的左?右頂點，且.(1)求的標準方程；(2)設(shè)的右頂點為，點是上的兩個動點，且直線與的斜率之和為，證明：直線過定點.【變式11-2】（24-25高二上·遼寧·期中）在平面直角坐標系中，，分別為雙曲線的左?右焦點，已知，為雙曲線上的兩動點，若點的橫坐標為3，則的長為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，記的面積為，的面積為，若，求的取值范圍；(3)已知點在軸上方，直線過雙曲線的右焦點且與軸交于點，若的延長線與交于點，問是否存在軸上方的點，使得成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【考點題型十二】圓錐曲線中的定值問題【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如圖，已知圓，圓心是點，點是圓上的動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作一條直線與曲線相交于兩點，與軸相交于點，若，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【變式12-1】（24-25高三上·山東濟寧·階段練習(xí)）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動點的軌跡的方程.(2)過點的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.①求證：直線過定點；②試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知拋物線的準線與軸的交點為．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過點的直線與拋物線交于兩點，證明：為定值．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·云南昆明·期中）設(shè)是橢圓上的上頂點，點在上，則的最大值為（

）A． B． C． D．42．（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓，過點的直線交于、兩點，且是的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的右焦點為，過點的直線與交于兩點，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．4．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為，則C的方程為（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·湖南長沙·期中）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交于兩點，在第一象限，若以為直徑的圓經(jīng)過(0,2)，則的面積為（

）A． B．C． D．56．（2024高三·全國·專題練習(xí)）定義：直線叫作雙曲線的準線．已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是（

）．A． B．C． D．7．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點．且，這樣的直線有4條，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線交于異于原點的，兩點，若在直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題9．（24-25高二上·北京·期中）已知橢圓，過原點的直線交橢圓于，兩點，過點向軸引垂線，垂足為，連接并延長，交橢圓于點，直線和的斜率分別為，，則下列選項正確的有．①．②．③．④．若，則三、解答題10．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線(1)求橢圓的方程；(2)求中點E的軌跡方程；(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.11