2024-2025學年年八年級數(shù)學人教版下冊分式方程 西城區(qū)同步學習探究診斷測試(含答案)

2024-2025學年年八年級數(shù)學人教版下冊分式方程西城區(qū)同步學習探究診斷測試(含答案)課堂學習檢測一、選擇題1．方程的解為()．(A)2 (B)1 (C)－2 (D)－12．解分式方程，可得結果()．(A)x＝1 (B)x＝－1 (C)x＝3 (D)無解3．要使的值和的值互為倒數(shù)，則x的值為()．(A)0 (B)－1 (C) (D)14．已知，若用含x的代數(shù)式表示y，則以下結果正確的是()．(A) (B)y＝x＋2 (C) (D)y＝－7x－25．若關于x的方程有增根，則k的值為()．(A)3 (B)1 (C)0 (D)－16．若關于x的方程有正數(shù)解，則()．(A)m＞0且m≠3 (B)m＜6且m≠3(C)m＜0 (D)m＞67．完成某項工作，甲獨做需a小時，乙獨做需b小時，則兩人合作完成這項工作的80％，所需要的時間是()．(A)小時 (B)小時(C)小時 (D)小時8．a個人b天可做c個零件(設每人速度一樣)，則b個人用同樣速度做a個零件所需天數(shù)是()．(A) (B) (C) (D)二、填空題9．x＝______時，兩分式與的值相等．10．關于x的方程的解為______．11．當a＝______時，關于x的方程的根是1．12．若方程有增根，則增根是______．13．關于x的方程的解是負數(shù)，則a的取值范圍為____________．14．一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它在江水中航行時，江水的流速為v千米/時，則它以最大航速順流航行s千米所需的時間是______．綜合、運用、診斷三、解方程15． 16．17．四、列方程解應用題18．甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他們同時加工1500個零件，甲比乙提前18個小時完工，問他們每人每小時各加工多少個零件?19．甲、乙兩地相距50km，A騎自行車，B乘汽車，同時從甲城出發(fā)去乙城．已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，B中途休息了0.5小時還比A早到2小時，求自行車和汽車的速度．拓展、探究、思考20．面對全球金融危機的挑戰(zhàn)，我國政府毅然啟動內需，改善民生．國務院決定從2009年2月1日起，在全國范圍內實施“家電下鄉(xiāng)”，農民購買入選產品，政府按原價購買總額的13％給予補貼返還．某村委會組織部分農民到商場購買入選的同一型號的冰箱、電視機兩種家電，已知購買冰箱的數(shù)量是電視機的2倍，且按原價購買冰箱總額為40000元、電視機總額為15000元．根據(jù)“家電下鄉(xiāng)”優(yōu)惠政策，每臺冰箱補貼返還的金額比每臺電視機補貼返還的金額多65元，求冰箱、電視機各購買多少臺?(1)設購買電視機x臺，依題意填充下列表格：項目家電種類購買數(shù)量/臺原價購買總額/元政府補貼返還比例/％補貼返還總金額/元每臺補貼返還金額/元冰箱4000013電視機x1500013(2)列出方程(組)并解答．

參考答案1．A．2．D．3．B．4．C．5．A.6．B．7．C．8．A．9．x＝－8．10．11．12．x＝1．13．a＜1且a≠0．14．小時．15．無解．16．17．無解．18．設乙的工作效率為x個/時，甲的工作效率為個/時．．．經檢驗，x＝50是原方程的根．答：甲每小時加工125個，乙每小時加工50個．19．設自行車速度為x千米/時，汽車速度為2.5x千米/時．．x＝12．經檢驗x＝12是原方程的根．答：自行車的速度為12km/時，汽車的速度為30km/時．20．(1)2x，40000×13％，，15000×13％，；(2)冰箱、電視機分別購買20臺、10臺． 15.3分式方程專題一解分式方程1．方程的解是．2．解分式方程：．3．解分式方程：+＝．專題二分式方程無解4．關于x的分式方程無解，則m的值是（） A．1 B．0 C．2 D．–25．若關于x的方程無解，則m的值是______．6．若關于x的分式方程無解，則m的值為__________．專題三列分式方程解應用題7．甲、乙兩班學生參加植樹造林．已知甲班每天比乙班少植2棵樹，甲班植60棵樹所用天數(shù)與乙班植70棵樹所用天數(shù)相等．若設甲班每天植樹x棵，則根據(jù)題意列出方程正確的是（）A．B．Ｃ．Ｄ．9．某校為了進一步開展“陽光體育”活動，計劃用2000元購買乒乓球拍，用2800元購買羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍貴14元．該校購買的乒乓球拍與羽毛球拍的數(shù)量能相同嗎？請說明理由．狀元筆記【知識要點】1．分式方程分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步驟【溫馨提示】1．用分式方程中各項的最簡公分母乘方程的兩邊，從而約去分母．但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項時，切勿漏項．2．解分式方程可能產生使分式方程無解的情況，那么檢驗就是解分式方程的必要步驟．參考答案1．x=6解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，經檢驗x＝6是原方程的解．2．解：方程兩邊乘，得，解得．檢驗：當時，＝0，故不是原方程的解，所以，原分式方程無解．3．解：方程兩邊乘x(x+2)，得QUOTE3x+x+2=4，解得QUOTEx=．經檢驗：QUOTEx=是原方程的解．4．A解析：方程兩邊成x－1，得x－2（x－1）=m，解得x=2－m．∵當x=1時分母為0，方程無解，∴2－m=1，即m=1時，方程無解．故選A．5．0解析：去分母，得，，即3x=6－m．∵方程無解，∴x=2．把x=2代入3x=6－m，得m=0．6．±解析：方程兩邊都乘x－3，得x－2（x－3）=m2．∵原方程無解，∴x=3．把x=3代入x－2（x－3）=m2，得m=±．7．B解析：設甲班每天植樹x棵，則乙班每天植樹（x+2）棵，甲班植60棵樹所用的天數(shù)為，乙班植70棵樹所用的天數(shù)，可列方程為=．故選B．8．解：設原計劃每天種棵樹，實際每天種樹棵，根據(jù)題意，得．解這個方程，得x=30．經檢驗x=30是原方程的解且符合題意．答：原計劃每天種樹30棵．9．解：不能相同．理由如下：設該校購買的乒乓球拍每副x元，羽毛球拍每副（x＋14）元，若購買的乒乓球拍與羽毛球拍的數(shù)量相同，則，解得x＝35．經檢驗x＝35是原方程的解．但當x＝35時，，不是整數(shù)，不合題意．所以購買的乒乓球拍與羽毛球拍的數(shù)量不能相同．15.3分式方程1．分式方程的概念分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程．談重點分式方程與整式方程的區(qū)別從分式方程的定義可以看出分式方程有兩個重要特征：一是方程；二是分母中含未知數(shù)．因此整式方程和分式方程的根本區(qū)別就在于分母中是否含未知數(shù)．【例1】下列方程：①eq\f(x－3,5)＝1，②eq\f(3,x)＝2，③eq\f(1＋x,5＋x)＝eq\f(1,2)，④eq\f(x,2)＋eq\f(2,x)＝5.其中是分式方程的有()．A．①② B．②③C．③④ D．②③④解析：根據(jù)分式方程的定義知②③④是分式方程，故選D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程eq\o(→,\s\up7(去分母),\s\do5(轉化))整式方程．(2)解分式方程的一般方法和步驟：①去分母：即在方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程；②解這個整式方程；③驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原方程的根，使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去．(3)對分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是轉化，即把分式方程轉化為整式方程，通過解整式方程從而確定分式方程的解；②將分式方程轉化為整式方程時，是將分式方程兩邊同乘最簡公分母，當所乘的整式不為零時，所得整式方程與原分式方程同解；當所乘整式為零時，所求出的未知數(shù)的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程時，方程兩邊約去含有未知數(shù)的公因式時，若該公因式的值為零，會造成原方程失根，所以在解分式方程時，兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的公因式；④驗根的方法：代入原分式方程，看左右兩邊是否相等，但這種方法較麻煩，直接代入最簡公分母驗根較為簡捷．解技巧分式方程驗根的方法把解得的未知數(shù)的值代入最簡公分母較為簡捷，但是不能檢查解方程的過程中出現(xiàn)的計算錯誤，我們可以采用另一種驗根的方法，即把求得的未知數(shù)的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以檢查解方程時有無計算錯誤．【例2】解下列方程：(1)eq\f(7,x2＋x)＋eq\f(3,x2－x)＝eq\f(6,x2－1)；(2)eq\f(x,2x－5)－1＝eq\f(5,5－2x).解：(1)方程兩邊同乘x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)＋3(x＋1)＝6x.解這個方程，得x＝1.檢驗：當x＝1時，x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝1是原方程的增根，即原方程無解．(2)方程兩邊同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.解這個方程，得x＝10.檢驗：當x＝10時，2x－5≠0，所以x＝10是原方程的解．3．分式方程的應用分式方程的應用主要是列方程解應用題，它與列一元一次方程解應用題的基本思路和方法是一樣的．列分式方程解應用題的一般步驟：①審：審清題意；②找：找出相等關系；③設：設未知數(shù)；④列：列出方程；⑤解：解這個分式方程；⑥驗：既要檢驗根是否是所列分式方程的根，又要檢驗根是否符合題意；⑦答：寫出答案．解技巧構建分式方程的方法(1)在實際問題中，有時題目中包含多個相等的數(shù)量關系，在列方程時一定要選擇一個能夠體現(xiàn)全部(或大部分)題意的相等關系列方程；(2)在一些實際問題中，有時直接設出題中所求的未知數(shù)可能比較麻煩，需要間接地設出未知數(shù)，或設出一個未知數(shù)不好表示相等關系，還可設多個未知數(shù)，即設輔助未知數(shù)．【例3】今年春季我國西南五省持續(xù)干旱，旱情牽動著全國人民的心．“一方有難、八方支援”，某廠計劃生產1800噸純凈水支援災區(qū)人民，為盡快把純凈水發(fā)往災區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計劃的1.5倍，結果比原計劃提前3天完成了生產任務．求原計劃每天生產多少噸純凈水？解：設原計劃每天生產x噸純凈水，則依據(jù)題意，得eq\f(1800,x)－eq\f(1800,1.5x)＝3，整理，得4.5x＝900，解之，得x＝200.把x＝200代入原方程，成立，∴x＝200是原方程的解．答：原計劃每天生產200噸純凈水．4．分式方程無解型問題解答分式方程無解型問題的方法是：首先將分式方程轉化為整式方程，然后再將分式方程的增根(使分式方程的分母為零的未知數(shù)的值)代入整式方程(因為方程若有增根，則增根是通過解整式方程而得到的，故它滿足整式方程)，從而求出方程中的參數(shù)值．5．生活中的分式方程列分式方程解實際問題時，關鍵是從實際問題中找出等量關系．另外，還要注意對方程的根進行檢驗．檢驗時，要注意雙重檢驗：既要根據(jù)所列方程進行檢驗，又要根據(jù)實際問題進行檢驗．舉例：甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等．已知甲、乙兩人每天共加工35個玩具，問甲、乙兩人每天各加工多少個玩具？解：設甲每天加工x個玩具，則乙每天加工(35－x)個玩具．根據(jù)題意，得eq\f(90,x)＝eq\f(120,35－x)，解得，x＝15.經檢驗，x＝15是原方程的解且符合實際意義．所以35－x＝35－15＝20(個)．答：甲每天加工15個玩具，乙每天加工20個玩具．【例4－1】已知關于x的分式方程eq\f(a－1,x＋2)＝1有增根，則a＝________.解析：去分母得a－1＝x＋2，將x＝－2代入得a－1＝0，解得a＝1.答案：1【例4－2】若關于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2無解，求m的值．解：方程兩邊同乘(x－3)，得x－2＝m＋2(x－3)．整理，得m＝－x＋4.因為當x＝3時，分式方程無解，所以m＝1.【例5】某文化用品商店用2000元購進一批學生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應求，商店又購進第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的3倍，但單價貴了4元，結果第二批用了6300元．(1)求第一批購進書包的單價是多少元？(2)若商店銷售這兩批書包時，每個售價都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？解：(1)設第一批購進書包的單價是x元，則第二批購進書包的單價為(x＋4)元．根據(jù)題意，得eq\f(2000,x)×3＝eq\f(6300,x＋4)，解得x＝80.經檢驗，x＝80是原方程的解．答：第一批購進書包的單價是80元．(2)解法一：eq\f(2000,80)×(120－80)＋eq\f(6300,84)×(120－84)＝1000＋2700＝3700(元)．解法二：eq\f(2000,80)×(1＋3)×120－(2000＋6300)＝12000－8300＝3700(元)．答：商店共盈利3700元．6．分式方程中的閱讀題在解分式方程中的閱讀題時，首先要認真閱讀題意，仔細觀察列舉的條件，觀察比較所給各方程的特點和它的解與原方程的關系，發(fā)現(xiàn)解答過程的錯誤或探究得出其中的規(guī)律，然后根據(jù)題目的要求改正題目中的錯誤或者根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答提出的問題．閱讀理解題是新課標理念下的創(chuàng)新題型，應予以重視．7．分式方程中的開放型問題分式方程中的開放型問題，其答案一般不唯一．有兩種類型：一是條件開放型問題，二是結論開放型問題．解答這類題目的一般方法是：通過條件，聯(lián)想有關概念或法則，探求結論．例如：請根據(jù)所給方程eq\f(6,x)＋eq\f(6,x－5)＝1聯(lián)系生活實際，編一道應用題．(要求題目完整，題意清楚，不要求解方程)解：甲、乙兩人合作加工一批零件，已知甲比乙每小時多加工5個零件，他們合作6h完成了加工任務．問：甲、乙每小時各加工零件多少個？這批零件共有幾個？8．列分式方程解答綜合性問題解答應用題的關鍵是弄清題目中的數(shù)量關系，選擇合適的關系式列出分式方程，求出方程的解來解決問題．如果涉及用其他知識的綜合題，應認真分析題意建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答．例如：從甲地到乙地共50千米，其中開始的10千米是平路，中間的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明騎自行車從甲地出發(fā)，經過2小時10分鐘到達甲、乙兩地的中點，再經過1小時50分鐘到達乙地，求小明在平路上的速度(假設小明在平路和上坡路上保持勻速)．解：設小明在平路上的速度為x千米/時，根據(jù)題意，得eq\f(13,6)－eq\f(10,x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)－\f(20,x)))，解得x＝15.經檢驗，x＝15是所列方程的解，且符合題意．答：小明在平路上的速度為15千米/時．【例6】先閱讀下列一段文字，然后解答問題：已知方程x－eq\f(1,x)＝1eq\f(1,2)的解是x1＝2，x2＝－eq\f(1,2).方程x－eq\f(1,x)＝2eq\f(2,3)的解是x1＝3，x2＝－eq\f(1,3).方程x－eq\f(1,x)＝3eq\f(3,4)的解是x1＝4，x2＝－eq\f(1,4).方程x－eq\f(1,x)＝4eq\f(4,5)的解是x1＝5，x2＝－eq\f(1,5).問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x－eq\f(1,x)＝10eq\f(10,11)的解．把你解題得到的收獲用語言表述出來，和你的同伴互相交流．解：x1＝11，x2＝－eq\f(1,11).方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的差，方程的右邊是比帶分數(shù)的整數(shù)部分大1的數(shù)與其倒數(shù)的差，此時方程的解就可以直接寫出了．【例7】請選擇一組a，b的值，寫出一個形如eq\f(a,x＋2)＝b的關于x的分式方程，使它的解為x＝2，這樣的分式方程可以是__________．解析：根據(jù)題意，把x＝2代入方程eq\f(a,x＋2)＝b中，化簡整理，得a＝4b.再任意給出一對a，b的值，使其滿足a＝4b即可．寫出一個題目所要求的分式方程，如當a＝4，b＝1時，所寫的方程為eq\f(4,x＋2)＝1.答案：eq\f(4,x＋2)＝1(不唯一)【例8】某市在道路改造過程中，需要鋪設一條長為1000米的管道，決定由甲、乙兩個工程隊來完成這一工程．已知甲工程隊比乙工程隊每天能多鋪設20米，且甲工程隊鋪設350米所用的天數(shù)與乙工程隊鋪設250米所用的天數(shù)相同．(1)甲、乙工程隊每天各能鋪設多少米？(2)如果要求完成該項工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種？請你幫助設計出來．解：(1)設甲工程隊每天能鋪設x米，則乙工程隊每天能鋪設(x－20)米．根據(jù)題意得eq\f(350,x)＝eq\f(250,x－20)，解得x＝70.檢驗：x＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程隊每天分別能鋪設70米和50米．(2)設分配給甲工程隊y米，則分配給乙工程隊(1000－y)米．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y,70)≤10，,\f(1000－y,50)≤10.))解得500≤y≤700.所以分配方案有3種．方案一：分配給甲工程隊500米，分配給乙工程隊500米；方案二：分配給甲工程隊600米，分配給乙工程隊400米；方案三：分配給甲工程隊700米，分配給乙工程隊300米．15.3分式方程（第1課時）一、選擇題1．下列方程是分式方程的是（）(A) (B)(C) (D)2．若分式的值為0，則x的值是（） A．x=3 B． x=0 C．x=﹣3D．x=﹣43．分式方程的解是（） A．x=3 B． x=﹣3 C．x=D．x=4．關于x的方程的解為x=1，則a應取值()A.1 B.3C.－1 D.－35．分式方程的解為（）A.B.