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2025屆安徽高考數(shù)學(xué)四模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng),,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.4.設(shè)集合,則()A. B. C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.6.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或7.某地區(qū)高考改革,實(shí)行“3+2+1”模式,即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目,“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門,“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科,則一名學(xué)生的不同選科組合有()A.8種 B.12種 C.16種 D.20種8.已知雙曲線的焦距為,過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.如圖,在三棱錐中,平面,,,,,分別是棱,,的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B. C. D.110.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.511.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差________,通項(xiàng)公式________.14.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為_(kāi)_______.15.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn),以線段為直徑的圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.18.(12分)如圖,在四棱錐中底面是菱形,,是邊長(zhǎng)為的正三角形,,為線段的中點(diǎn).求證:平面平面;是否存在滿足的點(diǎn),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為,求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),證明:當(dāng)時(shí),.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.21.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積22.(10分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn)),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),問(wèn)軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號(hào),屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡(jiǎn)求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí),循環(huán)終止,此時(shí),即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.4、C【解析】

解對(duì)數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.6、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時(shí),,∴,∴.②當(dāng)時(shí),,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.7、C【解析】

分兩類進(jìn)行討論:物理和歷史只選一門;物理和歷史都選,分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù),即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門,則有種組合;若一名學(xué)生物理和歷史都選,則有種組合;因此共有種組合.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理,熟記其計(jì)數(shù)原理的概念,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.8、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線的定義,求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,由于直線的斜率是,而圓,所以.由于是線段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.9、B【解析】

根據(jù)題意可得平面,,則即異面直線與所成的角,連接CG,在中,,易得,所以,所以,故選B.10、B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.11、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過(guò)此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過(guò)裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過(guò)不等式來(lái)求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.12、C【解析】

由已知畫(huà)出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,畫(huà)出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】,,解得,,故.故答案為:2;.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.15、1【解析】

由題得,解不等式得解.【詳解】因?yàn)椋?,所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

由題意求出以線段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E外,即圓E上存在點(diǎn),使得,則當(dāng)與圓E相切時(shí),此時(shí),由此列出不等式,即可求解。【詳解】由題意可得,直線的方程為,聯(lián)立方程組,可得,設(shè),則,,設(shè),則,,又,所以圓是以為圓心,4為半徑的圓,所以點(diǎn)恒在圓外.圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),即圓上存在點(diǎn),使得,設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩直線分別切圓于點(diǎn),要滿足題意,則,所以,整理得,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程,把圓上存在點(diǎn),使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為圓上存在點(diǎn),使得是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于中檔試題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進(jìn)行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)椋?,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因?yàn)?,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、證明見(jiàn)解析;2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要條件是,繼而得出的值.【詳解】解:證明:因?yàn)槭钦切?,為線段的中點(diǎn),所以.因?yàn)槭橇庑危裕驗(yàn)?,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?,知.所以,,.因此,的充要條件是,所以,.即存在滿足的點(diǎn),使得,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí);考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,屬于難題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,設(shè),證明函數(shù)單調(diào)遞減,故,得到證明.【詳解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,故,即,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞減,,故恒成立,故單調(diào)遞減.,故當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.20、(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,則,代入化簡(jiǎn)得到答案.(Ⅱ)分別計(jì)算,的極坐標(biāo)方程為,,取代入計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標(biāo)方程為:;,故,極坐標(biāo)方程為:.,故,,故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弦長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21、(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.22、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假

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