2025年江蘇省中考數學壓軸卷

2025年江蘇省中考數學壓軸卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列化簡正確的是（）A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝22．（3分）雅安市是全國十大水電基地之一，全市水電裝機達12720000千瓦，該數用科學記數法表示正確的是（）A．1272×104 B．0.1272×108 C．1.272×106 D．1.272×1073．（3分）要使分式x2?4x+2A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x≠﹣2 D．x≠±24．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a3?a4＝a12 C．a3÷a2＝a D．（﹣3a3b）2＝6a6b25．（3分）一個多邊形的內角和是1260°，則這個多邊形是（）A．十邊形 B．九邊形 C．八邊形 D．七邊形6．（3分）規(guī)定：符號[x]叫做取整符號，它表示不超過x的最大整數，例如：[﹣3.3]＝﹣4，[﹣2]＝﹣2，[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．則[?3]+[?2]+[?1]+[1]+[2A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣27．（3分）若圓錐的底面半徑是3cm，母線長5cm，則這個圓錐側面展開圖的面積是（）A．30πcm2 B．25πcm2 C．20πcm2 D．15πcm28．（3分）如圖是一個風箏設計圖，其主體部分（四邊形ABCD）關于BD所在的直線對稱，AC與BD相交于點O，且AB≠AD，則下列判斷不正確的是（）A．△ABD≌△CBD B．△ABC是等邊三角形 C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD9．（3分）小聰上午8：00從家里出發(fā)，騎“共享單車“去一家超市購物，然后從這家超市原路返回家中，小聰離家的路程S（米）和經過的時間t（分）之間的函數關系如圖所示，下列說法正確的是（）A．從小聰家到超市的路程是1300千米 B．小聰從家到超市的平均速度為100米/分 C．小聰在超市購物用時35分鐘 D．小聰從超市返回家中的平均速度為26米/分10．（3分）如圖，在5×5的方格紙中，每個小正方形的邊長都是1，點O，A，B都在方格紙的交點（格點）上，建立如圖所示的平面直角坐標系，在x軸下方的格點上找點C，使△ABC的面積為3，則這樣的點C共有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝．12．（3分）方程組2x+y=△x+y=3的解為x=2y=?，則用符號△表示的數為13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?12（x﹣3）2+m與y=23（x+2）2+n的一個交點為A．已知點A的橫坐標為1，過點A作x軸的平行線．分別交兩條拋物線于點B、C（點B在點A左側，點C在點A右側），則14．（3分）已知方程x2+ax﹣b＝0的兩根為a，c，方程x2+cx+d＝0的兩根為b，d，其中a，b，c，d互不相同，則a+b+c+d＝．15．（3分）已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分別是反比例函數y=?3x圖象上的兩點，則y1y16．（3分）平面直角坐標系中，A（2，1），B（0，﹣2），直線y＝x?m2+1（m為常數）與線段AB有公共點，則m17．（3分）如圖：兩張寬度都為5cm的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為α（見圖中的標注），則重疊（陰影）部分的面積表示為．18．（3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F、G分別在AD、BC上，連結OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則BC﹣AB的值，CD+DF的值．三．解答題（共10小題，滿分96分）19．（8分）（1）計算：8?4sin45°+|（2）化簡：（x+1）（x﹣1）+x（1﹣x）．20．（8分）（1）解方程：3?xx?4（2）解不等式組：3x＜5x+6x+121．（10分）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD和BC上，且AE＝FC，連接AF，CE，分別交DC，BA的延長線于點H，G．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）當△ABF滿足什么條件時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．22．（10分）為了解學生的科技知識情況，某校在七、八年級學生中舉行了科技知識競賽（七、八年級各有300名學生）．現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：收集數據：七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理數據：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年級0101171八年級1007a2分析數據：平均數眾數中位數七年級7875b八年級788180.5應用數據：（1）由上表填空：a＝，b＝；（2）估計該校七、八兩個年級在本次競賽中成績在90分以上（含90分）的學生共有多少人？（3）你認為哪個年級的學生科技知識的總體水平較好，請說明理由．23．（10分）智慧的中國古代先民發(fā)明了抽象的符號來表達豐富的含義．例如，符號“?”有剛毅的含義，符號“?”有愉快的含義，符號中的“”表示“陰”，“”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義．所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現(xiàn)陰、陽的可能性相同．（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，列舉出這些三行符號共有多少種；（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率．24．（10分）如圖，在△ABC中，CB＜CA，請用尺規(guī)作圖法，在△ABC中找出一個以AB為底邊的等腰△ABD，并使得△ABD的面積最大．（保留作圖痕跡，不寫作法）25．（10分）已知平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD的長是關于x的方程x2（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？（2）若(AB?3)(AD?3)=254m26．（10分）操作初探：（1）如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；再對折，使AB與CD重合，得到折痕GH，展平紙片，連接AG，與EF交于點P，連接PC，PD．則tan∠PCD的值為；猜想證明：（2）如圖2，將正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；點M在BC邊上，連接AM，與EF交于點P，連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉，使點B的對應點B'落在對角線AC上，連接MB′．當點M在邊BC上運動時（點M不與B，C重合），試判斷△CMB′的形狀，并說明理由．拓展探究：（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BP交AD于點N，連接PC，PD．當PD平分∠NPB'時，請證明∠MPC＝45°．27．（10分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝BC，A為CD中點，CD與AB相交于點E．過B作BF∥AC，交CD延長線于F．（1）求證：△ACE∽△ABC；（2）求證：BF＝FE；（3）延長FB交AO延長線于M．若tan∠F=34，CD＝83，求28．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的表達式；（2）當點P在直線AC上方的拋物線上時，連接BP交AC于點D，如圖1，當PDDB的值最大時，求點P的坐標及PD（3）過點P作x軸的垂線交直線AC于點M，連結PC，將△PCM沿直線PC翻折，當點M的對應點M′恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．

中考模擬卷參考答案與試題解析題號12345678910答案BDCCBDDBCA一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列化簡正確的是（）A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝2【分析】根據相反數的定義解答即可．【解答】解：A、+（﹣2）＝﹣2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；B、﹣（﹣3）＝3，原計算正確，故此選項符合題意；C、+（+3）＝3，原計算錯誤，故此選項不符合題意；D、﹣（+2）＝﹣2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了相反數．解題的關鍵是掌握相反數的定義．相反數的定義：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數．2．（3分）雅安市是全國十大水電基地之一，全市水電裝機達12720000千瓦，該數用科學記數法表示正確的是（）A．1272×104 B．0.1272×108 C．1.272×106 D．1.272×107【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：12720000＝1.272×107．故選：D．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）要使分式x2?4x+2A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x≠﹣2 D．x≠±2【分析】根據分式有意義的條件可得x+2≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故選：C．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．a3?a4＝a12 C．a3÷a2＝a D．（﹣3a3b）2＝6a6b2【分析】根據合并同類項的法則，同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方與積的乘方的性質逐項計算可判斷求解．【解答】解：A．a2與a3不是同類項，不能合并，故A選項不符合題意；B．a3?a4＝a7，故B選項不符合題意；C．a3÷a2＝a，故C選項符合題意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D選項不符合題意，故選：C．【點評】本題主要考查合并同類項，同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方與積的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵．5．（3分）一個多邊形的內角和是1260°，則這個多邊形是（）A．十邊形 B．九邊形 C．八邊形 D．七邊形【分析】設這個多邊形是n邊形，就可以列出方程（n﹣2）?180°＝1260°，即可解得n的值．【解答】解：設這個多邊形是n邊形，根據題意得：（n﹣2）?180°＝1260°，解得n＝9，則這個多邊形是九邊形．故選：B．【點評】本題考查了多邊形內角和定理，熟練掌握n邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°是解答本題的關鍵．6．（3分）規(guī)定：符號[x]叫做取整符號，它表示不超過x的最大整數，例如：[﹣3.3]＝﹣4，[﹣2]＝﹣2，[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．則[?3]+[?2]+[?1]+[1]+[2A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】由﹣2＜?3＜?2【解答】解：[?3]+[?2]+[?1]+[1]+[2＝﹣2﹣2﹣1+1+1+1＝﹣2，故選：D．【點評】本題考查取整函數，熟練掌握無理數大小比較的方法，弄清定義是解題的關鍵．7．（3分）若圓錐的底面半徑是3cm，母線長5cm，則這個圓錐側面展開圖的面積是（）A．30πcm2 B．25πcm2 C．20πcm2 D．15πcm2【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面半徑為3cm，則底面周長＝6πcm，側面面積＝×6π×5＝15πcm2．故選：D．【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．8．（3分）如圖是一個風箏設計圖，其主體部分（四邊形ABCD）關于BD所在的直線對稱，AC與BD相交于點O，且AB≠AD，則下列判斷不正確的是（）A．△ABD≌△CBD B．△ABC是等邊三角形 C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD【分析】先根據軸對稱的性質得出AB＝BC，AD＝CD，OA＝OC，BD⊥AC，再根據全等三角形的判定定理即可得出結論．【解答】解：∵主體部分（四邊形ABCD）關于BD所在的直線對稱，AC與BD相交于點O，∴AB＝BC，AD＝CD，OA＝OC，BD⊥AC，在△ABD與△CBD中，AB=CBAD=CD∴△ABD≌△CBD，故A正確；在△AOB與△COB中，OA=OCBA=BC∴△AOB≌△COB，故C正確；在△AOD與△COD中，OA=OCAD=CD∴△AOD≌△COD，故D正確；△ABC是等腰三角形，故B錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱的性質，熟知如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解答此題的關鍵．9．（3分）小聰上午8：00從家里出發(fā)，騎“共享單車“去一家超市購物，然后從這家超市原路返回家中，小聰離家的路程S（米）和經過的時間t（分）之間的函數關系如圖所示，下列說法正確的是（）A．從小聰家到超市的路程是1300千米 B．小聰從家到超市的平均速度為100米/分 C．小聰在超市購物用時35分鐘 D．小聰從超市返回家中的平均速度為26米/分【分析】仔細觀察圖象的橫縱坐標所表示的量的意義，從而進行判斷．【解答】解：A、觀察圖象發(fā)現(xiàn)：從小聰家到超市的路程是1800米，故錯誤；B、小聰去超市共用了10分鐘，行程1800米，速度為1800÷10＝180米/分，故錯誤；C、小聰在超市逗留了45﹣10＝35分鐘，故正確；D、（1800﹣1300）÷（50﹣45）＝500÷5＝100，所以小聰從超市返回的速度為100米/分，故錯誤；故選：C．【點評】本題考查了函數的圖象，能夠仔細讀圖并從中整理出進一步解題的有關信息是解答本題的關鍵，難度不大．10．（3分）如圖，在5×5的方格紙中，每個小正方形的邊長都是1，點O，A，B都在方格紙的交點（格點）上，建立如圖所示的平面直角坐標系，在x軸下方的格點上找點C，使△ABC的面積為3，則這樣的點C共有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【分析】由于AB＝3，△ABC的面積為3，根據三角形面積公式得到C點到AB的距離為2，然后在網格中畫出C點即可．【解答】解：如圖，滿足條件的C點有6個．故選：A．【點評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）因式分解：3x﹣12x3＝3x（1+2x）（1﹣2x）．【分析】先提公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x（1+2x）（1﹣2x），故答案為：3x（1+2x）（1﹣2x）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．12．（3分）方程組2x+y=△x+y=3的解為x=2y=?，則用符號△表示的數為【分析】把x＝2代入方程組第二個方程求出y的值，即可確定出所求．【解答】解：把x＝2代入x+y＝3得：y＝1，則用符號△表示的數為2x+y＝4+1＝5，故答案為：5【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?12（x﹣3）2+m與y=23（x+2）2+n的一個交點為A．已知點A的橫坐標為1，過點A作x軸的平行線．分別交兩條拋物線于點B、C（點B在點A左側，點C在點A右側），則【分析】由兩拋物線的解析式確定出兩拋物線對稱軸，利用對稱性確定出B與C的橫坐標，進而即可求出BC的長．【解答】解：拋物線y=?12（x﹣3）2+m與y=23（x+2）2+n的對稱軸分別為直線∵點A的橫坐標為1，∴點C的橫坐標為5，點B橫坐標為﹣5，∴BC＝10，故答案為：10．【點評】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．14．（3分）已知方程x2+ax﹣b＝0的兩根為a，c，方程x2+cx+d＝0的兩根為b，d，其中a，b，c，d互不相同，則a+b+c+d＝1或±22【分析】根據根與系數的關系得到a+c＝﹣a，ac＝﹣b，b+d＝﹣c，bd＝d，若d＝0，求得a+b+c+d＝1，若d≠0，則b＝1，d＝﹣1﹣c，求得a+b+c+d=±2【解答】解：∵方程x2+ax﹣b＝0的兩根為a，c，∴a+c＝﹣a，ac＝﹣b∵方程x2+cx+d＝0的兩根為b，d，∴b+d＝﹣c，bd＝d，若d＝0，則b＝﹣c，c＝﹣2a，∴﹣2a2＝﹣2a∴a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣2，d＝0，∴a+b+c+d＝1，若d≠0，則b＝1，d＝﹣1﹣c，把b＝1d＝﹣1﹣c代入a+c＝﹣aac＝﹣b，解得：c=±2∴當c=2時，a=?22，d當c=?2時，a=22，d∴a+b+c+d=?22?1+2+1?2=?22，或a+b+綜上所述：a+b+c+d＝1或±2故答案為：1或±2【點評】本題考查了根與系數的關系，分類討論思想的運用是解題的關鍵．15．（3分）已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分別是反比例函數y=?3x圖象上的兩點，則y1＜y【分析】先根據反比例函數中k＝﹣3＜0判斷出函數圖象所在的象限及增減性，再根據各點橫坐標的特點即可得出結論．【解答】解：∵比例函數y=?3x中，∴此函數圖象在二、四象限，∵﹣2＜﹣1＜0，∴P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）在第二象限，∵函數圖象在第二象限內為增函數，∴y1＜y2．故答案為：＜．【點評】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．16．（3分）平面直角坐標系中，A（2，1），B（0，﹣2），直線y＝x?m2+1（m為常數）與線段AB有公共點，則m的取值范圍4≤【分析】將點A、B的坐標分別代入直線方程，分別求得m的兩最值．【解答】解：把A（2，1）代入直線y＝x?m2+解得m＝4．把B（0，﹣2）代入直線y＝x?m2+解得m＝6．故m的取值范圍為：4≤m≤6．故答案為：4≤m≤6．【點評】本題主要考查了一次函數圖象與系數的關系和一次函數圖象上點的坐標特征．解題的關鍵是求得m的最大值和最小值．17．（3分）如圖：兩張寬度都為5cm的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為α（見圖中的標注），則重疊（陰影）部分的面積表示為25sinα【分析】過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證四邊形ABCD是菱形，然后由銳角三角函數定義得出BC的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF＝5cm，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC＝α，BC?AE＝CD?AF，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AEAB=sin∴BC＝AB=AE∴重疊部分（圖中陰影部分）的面積＝BC?AE=5sinα×故答案為：25sinα【點評】此題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及三角函數等腰等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．18．（3分）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，點F、G分別在AD、BC上，連結OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則BC﹣AB的值2，CD+DF的值5．【分析】設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，根據折疊的性質得到OG＝DG，根據全等三角形的性質得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．設AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，推出⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=12（a+b﹣c），根據勾股定理得到BC+AB＝23+4，再設DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+3?1﹣x，OF＝x，ON＝1+【解答】解：如圖，設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，∠OMG=∠DCG=90°∠MOG=∠DGC∴△OMG≌△GCD（AAS），∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2；設AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r=12（a+b﹣∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得a1＝1?3（舍去），a2＝1+∴BC+AB＝23+∴AB＝1+3，BC＝3+再設DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+3?1﹣x，OF＝x，ON＝1由勾股定理可得（2+3?x）2+（3）2＝x解得x＝4?3∴CD+DF=3+1+4故答案為：2，5．【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心，切線的性質，勾股定理，矩形的性質等知識點的綜合應用，解決本題的關鍵是三角形內切圓的性質．三．解答題（共10小題，滿分96分）19．（8分）（1）計算：8?4sin45°+|（2）化簡：（x+1）（x﹣1）+x（1﹣x）．【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（2）利用平方差公式，單項式乘多項式的法則進行計算，即可解答．【解答】解：（1）8＝22?4×＝22?22=2（2）（x+1）（x﹣1）+x（1﹣x）＝x2﹣1+x﹣x2＝x﹣1【點評】本題考查了整式的混合運算，實數的運算，單項式乘多項式，平方差公式，零指數冪，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．20．（8分）（1）解方程：3?xx?4（2）解不等式組：3x＜5x+6x+1【分析】（1）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．【解答】解：（1）3?xx?43﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，檢驗：當x＝3時，x﹣4≠0，∴x＝3是原方程的根；（2）3x＜5x+6①x+1解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤7∴原不等式組的解集為：﹣3＜x≤7【點評】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．21．（10分）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD和BC上，且AE＝FC，連接AF，CE，分別交DC，BA的延長線于點H，G．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）當△ABF滿足什么條件時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，根據線段的和差得到DE＝BF，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據平行線的性質得到∠DEC＝∠ECB，根據全等三角形的性質得到∠DEC＝∠BFA，推出AG∥CH，得到四邊形AHCG是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，∵AE＝FC，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，在△ABF與△CDE中，AB=CD∠B=∠D∴△ABF≌△CDE（SAS）；（2）解：當∠BAF＝90°時，四邊形AHCG是矩形，理由：∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵△ABF≌△CDE，∴∠DEC＝∠BFA，∴∠BFA＝∠ECF，∴AH∥CG，∵AB∥CD，即AG∥CH，∴四邊形AHCG是平行四邊形，∵∠BAF＝90°，∴∠GAH＝90°，∴四邊形AHCG是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，證得△ABF≌△CDE是解題的關鍵．22．（10分）為了解學生的科技知識情況，某校在七、八年級學生中舉行了科技知識競賽（七、八年級各有300名學生）．現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行分析，過程如下：收集數據：七年級：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．八年級：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．整理數據：40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七年級0101171八年級1007a2分析數據：平均數眾數中位數七年級7875b八年級788180.5應用數據：（1）由上表填空：a＝10，b＝78；（2）估計該校七、八兩個年級在本次競賽中成績在90分以上（含90分）的學生共有多少人？（3）你認為哪個年級的學生科技知識的總體水平較好，請說明理由．【分析】（1）根據題意可得a、中位數的意義可得b；（2）求出90分以上的所占得百分比即可；（3）根據中位數、眾數的比較得出結論．【解答】解：（1）由題意可得a＝10，將七年級學生成績從小到大排列處在中間位置的兩個數的平均數為（77+79）÷2＝78，因此中位數是78，即b＝78，故答案為：10，78；（2）（300+300）×1+2答：該校七、八年級學生在本次競賽中成績在90分以上的共有45人；（3）八年級學生的總體水平較好，因為七、八年級的平均數相等，而八年級的眾數和中位數大于七年級的眾數和中位數，所以八年級得分高的人數較多，即八年級學生的總體水平較好．【點評】本題考查了中位數、眾數、頻數分布表，理解中位數、眾數的意義是正確解答的關鍵．23．（10分）智慧的中國古代先民發(fā)明了抽象的符號來表達豐富的含義．例如，符號“?”有剛毅的含義，符號“?”有愉快的含義，符號中的“”表示“陰”，“”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義．所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現(xiàn)陰、陽的可能性相同．（1）請用畫樹狀圖或列表的方法，列舉出這些三行符號共有多少種；（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率．【分析】（1）根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結果數即可；（2）根據（1）列舉的結果數和概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根據題意畫圖如下：共有8種等可能的情況數．（2）根據第（1）問一個陰、兩個陽的共有3種，則有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率是38【點評】此題考查的是用列舉法求概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．24．（10分）如圖，在△ABC中，CB＜CA，請用尺規(guī)作圖法，在△ABC中找出一個以AB為底邊的等腰△ABD，并使得△ABD的面積最大．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作AB的垂直平分線交AC于點D，則DA＝DB，利用三角形面積公式可得此時△ABD的面積最大．【解答】解：如圖，△ABD為所作．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定．25．（10分）已知平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD的長是關于x的方程x2（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？（2）若(AB?3)(AD?3)=254m【分析】（1）由鄰邊相等的平行四邊形為菱形，得出根的判別式等于0，求出m的值即可；（2）根據根與系數的關系結合題意列出一元二次方程，解之取滿足題意的值即可．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當AB＝AD時，平行四邊形ABCD是菱形，∵AB、AD的長是關于x的方程x2∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m2即m2﹣2m+1＝0，解得：m1＝m2＝1，∴當m＝1時，四邊形ABCD為菱形；（2）∵AB、AD的長是關于x的方程x2∴AB+AD＝m，AB?AD=m∵（AB﹣3）（AD﹣3）=254m∴AB?AD﹣3（AB+AD）+9=254m即m2?14?3m整理得：5m2+2m﹣7＝0，解得：m1=?75，m∵AB+AD＝m＞0，∴m=?7∴m的值為1．【點評】本題考查了一元二次方程的應用、菱形的判定、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握菱形的判定和根的判別式是解題的關鍵．26．（10分）操作初探：（1）如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；再對折，使AB與CD重合，得到折痕GH，展平紙片，連接AG，與EF交于點P，連接PC，PD．則tan∠PCD的值為32猜想證明：（2）如圖2，將正方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；點M在BC邊上，連接AM，與EF交于點P，連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉，使點B的對應點B'落在對角線AC上，連接MB′．當點M在邊BC上運動時（點M不與B，C重合），試判斷△CMB′的形狀，并說明理由．拓展探究：（3）如圖3，在（2）的條件下，延長BP交AD于點N，連接PC，PD．當PD平分∠NPB'時，請證明∠MPC＝45°．【分析】（1）設正方形的邊長為4a，證明△AEP∽△ABG，得出EP=12BG＝a，進而可得PF＝EF﹣EP＝3（2）先證得點P是AM的中點，利用直角三角形性質和旋轉性質可得PB＝PA＝PM＝PB′，得出點A、B、M、B′四點共圓，且AM是圓的直徑，推出∠AB′M＝∠CB′M＝90°，再由∠B′CM＝45°，即可證得結論；（3）以PA為半徑，點P為圓心作⊙P，連接NB′、BB′、MN，可證得△ABM≌△BAN（ASA），進而可得四邊形ABMN是矩形，則點N在⊙P上，由BB′=BB′，得∠BNB′＝∠BAB′＝∠BAC＝45°，進而可得∠B′PN＝90°，結合題意得∠NPD＝45°，進而證明△PND≌△PMC（【解答】（1）解：如圖（1），設正方形的邊長為4a，由折疊得：BG=12BC＝2a，AE＝EB＝2a，F(xiàn)C＝DF＝2a，∠∵EF∥BC，∴△AEP∽△ABG，∴EPBG∴EP=12BG＝∴PF＝EF﹣EP＝3a，∴tan∠PCD=PF故答案為：32（2）解：△CMB′是等腰直角三角形，理由如下：如圖（2），∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，∠ACB＝45°，由折疊得：EA＝EB=12AB，F(xiàn)C＝FD=∴BE＝CF，∴四邊形ABMN是矩形，∴EF∥BC，∴△AEP∽△ABM，∴APAM∴點P是AM的中點，∴PB＝PA＝PM，由旋轉得：PB′＝PB，∴點A、B、M、B′四點共圓，且AM是圓的直徑，∴∠AB′M＝90°，∴∠CB′M＝180°﹣90°＝90°，∵∠B′CM＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形；（3）證明：如圖（3），以PA為半徑，點P為圓心作⊙P，連接NB′、BB′、MN，∵PE⊥AB，EA＝EB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠NAB＝∠MBA，AB＝BA，∴△ABM≌△BAN（ASA），∴BN＝AM，∴四邊形ABMN是矩形，∴點N在⊙P上，由（2）知：A、B、M、B′四點共圓，且AM是圓的直徑，∴∠BB′N＝90°，又∵BB′=∴∠BNB′＝∠BAB′＝∠BAC＝45°，∴△BB′N是等腰直角三角形，∵PB＝PN，∴∠B′PN＝90°，∵PD平分∠NPB′，∴∠NPD＝45°，∵AN＝BM，AD＝BC，∴ND＝MC，∵PF⊥CD，F(xiàn)D＝FC，∴PD＝PC，∵PM＝PN，∴△PND≌△PMC（SSS），∴∠MPC＝∠NPD＝45°．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，圓周角定理，折疊變換和旋轉變換的性質，三角函數定義等，熟練掌握相關知識是解題關鍵．27．（10分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝BC，A為CD中點，CD與AB相交于點E．過B作BF∥AC，交CD延長線于F．（1）求證：△ACE∽△ABC；（2）求證：BF＝FE；（3）延長FB交AO延長線于M．若tan∠F=34，CD＝83，求【分析】（1）利用等弧所對的圓周角相等可得∠ACE＝∠ABC，∠CAE為公共角，結論可得；（2）利用（1）中的結論可得△CAE為等腰三角形，即CA＝CE，則∠CAE＝∠CEA；利用平行線的性質和對頂角的性質可得∠FBE＝∠FEB，結論可得；（3）連接OB，利用已知條件可以判定OB⊥BM，利用同角的余角相等，可得∠BOM＝∠F；連接OC，設AM與CD交于點H，由垂徑定理可得CH＝HD=12CD＝43，利用平行線的性質可得tan∠ACH＝tan∠F=34，在Rt△ACH中，利用直角三角形的邊角關系可求得AH，設圓的半徑為【解答】證明：（1）∵A為CD中點，∴AD=∴∠ACE＝∠ABC．∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC；（2）∵△ACE∽△ABC，∴CACE∵AB＝BC，∴CA＝CE．∴∠CEA＝∠CAE．∵BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE．∵∠FEB＝∠CEA，∴∠FBE＝∠FEB．∴BF＝FE．解：（3）連接OB，OC，設AM與CD交于點H，如圖，∵A為CD中點，∴OA⊥CD，∴CH＝HD=12CD＝43，∠AEH+∠∵∠FEB＝∠AEH，∴∠FEB+∠EAH＝90°．∴∠FB