江西省宜春市上高縣第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江西省宜春市上高縣第二中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)押題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限3.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.4.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元5.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)集合,則()A. B. C. D.7.我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶(1202-1261)在《數(shù)書九章》(1247)一書中提出“三斜求積術(shù)”,即:以少廣求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí);一為從隅,開平方得積.其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的三邊長,,求三角形面積,即.若的面積,,,則等于()A. B. C.或 D.或8.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.9.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.10.在中,角、、所對的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.11.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.12012.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.14.設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上,點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.16.已知,則展開式中的系數(shù)為__三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)A,B為曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且,求的值.18.(12分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63519.(12分)在以為頂點(diǎn)的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),又直線上有兩點(diǎn)和,且,又點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為銳角.求:①點(diǎn)的極角;②面積的取值范圍.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對任意都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在橢圓:上,該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓外一點(diǎn)滿足,平行于軸,,動(dòng)點(diǎn)在直線上,滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線,試問直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請寫出該定點(diǎn),若不過定點(diǎn)請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.3、B【解析】

先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.4、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.6、C【解析】

解對數(shù)不等式求得集合,由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由,解得,故.依題意,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)不等式的解法,考查集合交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

將,,,代入,解得,再分類討論,利用余弦弦定理求,再用平方關(guān)系求解.【詳解】已知,,,代入,得,即,解得,當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.當(dāng)時(shí),由余弦弦定理得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和平方關(guān)系,還考查了對數(shù)學(xué)史的理解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.9、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實(shí)根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.10、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.12、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),解得.14、【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.15、【解析】

根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得.所以.因?yàn)?,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時(shí),,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.16、1.【解析】

由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,求出展開式中的系數(shù).【詳解】∵已知,則,

它表示4個(gè)因式的乘積.

故其中有2個(gè)因式取,一個(gè)因式取,剩下的一個(gè)因式取1,可得的項(xiàng).

故展開式中的系數(shù).

故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去參數(shù),即得曲線的直角坐標(biāo)方程;再求解,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,即得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于,可設(shè),,代入曲線直角坐標(biāo)方程,可得的關(guān)系,轉(zhuǎn)化,可得解.【詳解】(1)將及對應(yīng)的參數(shù),代入得,即,所以曲線的方程為,為參數(shù),所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)圓的半徑為R,由題意,圓的極坐標(biāo)方程為(或),將點(diǎn)代入,得,即,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由于,故可設(shè),代入曲線直角坐標(biāo)方程,可得,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo),參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最?。粚儆凇吧剿飯@”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾”【解析?/p>

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得:;因?yàn)椋?,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字,而“山”不是;又因?yàn)?,故選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾?【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識點(diǎn).考查了學(xué)生對統(tǒng)計(jì)圖表的識讀與計(jì)算能力,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量為,平面的法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié)因?yàn)闉榱庑危?因?yàn)?,所?因?yàn)槎娼菫橹倍娼?,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅危?所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.20、(1)曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對應(yīng)的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得點(diǎn)的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值,進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為,即.(2)①點(diǎn)的極角為,代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點(diǎn)的極角為銳角,所以,所以,所以點(diǎn)的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng),即()時(shí),取到最小值為.當(dāng),即()時(shí),取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2,且圓心到直線的距離,因?yàn)椋詧A與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為,最小值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換,極徑與極角;直線,圓的極坐標(biāo)方程,圓的參數(shù)方程,直線的極坐標(biāo)方程與普通方程,點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).21、(1)(2)【解

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