歷屆 最近十年 (新知杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷及答案(含模擬試題及解答)

PAGEPAGE13新知杯模擬試題一、填空題（第1-5小題每題8分，第6-10題每題10分，共90分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)ab，定義aba(abb，已知a2.528.5，則實(shí)數(shù)a的值是 。在三角形ABCABbba 。

a2aab1的整數(shù)，則一個(gè)平行四邊形可以被分成92個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，它的周長(zhǎng)可能是 。xx

2x

(3k)x

(2k)x2k0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為-2，則所有實(shí)根的平方和為 。PBPABCAC1，BC2AB上一動(dòng)點(diǎn)。

PEBC

,PFCA

長(zhǎng)的最小值 E為 。C F Aabx268x10c，dx286x10的兩個(gè)根，則dd的值為 。在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)ykx1PQ延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不包括Q，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 。方程xyz2009的所有整數(shù)解有 組。ADAFD如圖，四邊形ABCD中ABBCCD,ABC78,BCD162。設(shè)AD,BC延長(zhǎng)線交于E，則AEBADAFDB C

B C E如圖，在直角梯形ABCD中， D CABCBCD90,ABBC10,MBC上，使得ADM是正三角形，則ABM與DCM的面積和。 MA B（15分）ABCACB90,D在CA上，使得CD并且BDCBA求BC的長(zhǎng)。BBC D A C D E A 三（本題15分）求所有滿足下列條件的四位數(shù)abcd ：abcdabcd ，其中數(shù)字c可以是。 （15分）正整數(shù)n滿足以下條件：任意n12009至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n。（15分）若兩個(gè)實(shí)數(shù)ab使得a2b與ab2都是有理數(shù)，稱數(shù)對(duì)a,b是和諧的。①試找出一對(duì)無(wú)理數(shù)，使得a,b是和諧的；②證明：若a,b是和諧的，且ab是不等于1的有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；③證明：若a,b是和諧的，且a是有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)。b新知杯模擬試題（參考答案）一、填空題（第1-5小題每題8分，第6-10題每題10分，共90分）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b定義ab=a(ab)b已知a2.528.5則實(shí)數(shù)a的值。4或132【解析】2.52.528.5a所以a4或132

2.5a26，2a

5a520，40，在三角形ABCABbba 。【答案】0

a2aab1的整數(shù)，則【解析1】若ba,則b2

1(a

1a

2aABBC矛盾若ba，則babba0

1(a

1a

2a，即ABBCCA【解析2】ab是大于1的整數(shù)，所以a2，此時(shí)BCCAa2BCCAABBCCA，即a22ab21a22a，

2aaa20，a2b2a2，即a 1 b a ba，即ba0一個(gè)平行四邊形可以被分成92個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，它的周長(zhǎng)可能是 ?！敬鸢浮?0，94【解析】設(shè)兩邊長(zhǎng)分別為xy2xy92xy46146223，所以周長(zhǎng)為24694或22350xx

2x

(3k)x

(2k)x2k0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為-2，則所有實(shí)根的平方和為 。【答案】5【解析】原方程可化為(x2x2)(x2xk)0,x2x20x2

xk0，k2，x2x20，x1

2,x2

1x1

x2

415如圖直角三角形ABC中AC2為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)PEBC,PFCA，則線段EF長(zhǎng)的最小值為 。PBPEC F A2 5【答案】2 55【解析】設(shè)CFxECyEP

BE x，所以

2y，y22x，CA BC 1 2

42 4 4 2EF2x2y2x2(22x)25x28x4x x，y時(shí)， 5 5 5 5EF

最小。2 5452 545abx268x10c，dx286x10的兩個(gè)根，則dd的值為 ?！敬鸢浮?772 【解析】ab68ab1cd86cd1d (ab(ab)cc2)(ab(ab)dd2)168cc2 168dd2(86c68c)(86d68d)18154cd2772在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)ykx1PQ延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不包括Q，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 。1【答案】

k33 221 1 20 2 1 3【解析】k 1

2

3，k22

k3 3 2方程xyz2009的所有整數(shù)解有 組?！敬鸢浮?2【解析】200928771112009774114941正整數(shù)解6+3+3+6=18組，非正整數(shù)解18×3=54組，共72組如圖四邊形ABCD中ABBCCD,ABC78,BCD162設(shè)AD,BC延長(zhǎng)線交于E，則AEB .AD ADAFDB C

B C E【答案】21AFBCFCABABCF為平行四邊形，BAFFCB180ABC102FCD16210260CDF是等邊三角形，即AFD7860138AEBFAEABCDABCBCD90,ABBC10,MBC上，使得ADM是正三角形，則ABM與DCM的面積和。D C H D CM MA B A B3【答案】3001503【解析】將圖補(bǔ)成正方形，易知ABMAHDBMHDx，則CDCM10x，由勾股定理得10x

10x

x2

102，解得x2010 ，33331 1 23333S 102010 10 10 3001502 2（15分）ABCACB90,D在CA上，使得CD并且BDCBA求BC的長(zhǎng)。BBC D A C D E A11【答案】BC4 。1111BCxBD

x2AB x21作DBA的平分線交AC于點(diǎn)E，DBE1DBA1AABE，則BDEADB,所以2 2BD2DEDA3DE，由角平分線定理可知，DE

BD

DE

3BD

因此AE AB AEDE ABBD ABBD9 x9 x21x216 x2111x21

解得BCx 11

2三（本題15分）求所有滿足下列條件的四位數(shù)abcd：abcdabcd ，其中數(shù)字c可以是?！敬鸢浮縜bcd9801,2025,3025xabycd100xyxy2x2

y

xy2y0，因?yàn)閤為整數(shù)，2y0

4y2

y99y4t2，99y50t50t，0t50，且在100內(nèi)11的倍數(shù)只有9個(gè)，經(jīng)驗(yàn)證，t49時(shí)，x98 x20 x30y1t5y25，解得

，因此，abcd9801,2025,3025

y1 y25 y25（15分）正整數(shù)n滿足以下條件：任意n12009至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n。22,32,52,722,192,232,292,312,372,412,432142009且兩兩互質(zhì)，因此。而n=15時(shí)，我們?nèi)?5個(gè)不超過(guò)2009的互質(zhì)合數(shù)a,a, ,a 的最小素因子1 2 15p,p1

, ,p15

,則必有一個(gè)素?cái)?shù)47,不失一般性，設(shè)p15

4由于p15

是合數(shù)a15

的最小素因子，因此a15

p 15

472200矛盾。所以，任意15個(gè)大于1且不超過(guò)2009的互質(zhì)整數(shù)a,a1 2

a 15。15（15分）若兩個(gè)實(shí)數(shù)ab使得a2b與ab2都是有理數(shù)，稱數(shù)對(duì)b是和諧的。④試找出一對(duì)無(wú)理數(shù)，使得a,b是和諧的；⑤證明：若a,b是和諧的，且ab是不等于1的有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；⑥證明：若a,b是和諧的，且a是有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)。b【解析】①不難驗(yàn)證

(a,b)

1,122 22

2是和諧的。2 ②由已知ta2

bab

ab

ab

是有理數(shù)，abs是有理數(shù)，所以ab

t 1 ，解得a （

是有理數(shù)，所以bsa也是有理數(shù)。ab2

ab1 2 s10，則ba是有理數(shù)，因此ab

ab

b2也是有理數(shù)。若ab2

0，由已知a 1( )2 ( )a2bab2 ab2 (a

b b y

a 1也是有理數(shù)，因此

y2

，故b

xy

是有理)()1 bb b數(shù)，因此a(ab2)b2也是有理數(shù)。

b xy1 y2x2013上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）題號(hào)題號(hào)一二9101112總分得分評(píng)卷復(fù)核一、填空題(每題10分)22 72 7已知a

,b ，則a3ab3b .已知l1

//l2

//l3

//l,m4

//m2

//m3

//m4

，SABCD

100,

ILKJ

20,則

EFGH

.已知AACE、FABAEBF3EAC的平行線交BC于D，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于G，則GF .已知凸五邊形的邊長(zhǎng)為a

,a,

,a,f(x)為二次三項(xiàng)式；當(dāng)xa

x

aa af(x)5，

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5當(dāng)xa1

af(x)pxaa2 3

a時(shí)，f(x)q，則pq .5已知一個(gè)三位數(shù)是35的倍數(shù)且各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為15，則這個(gè)三位數(shù).已知關(guān)于x的一元二次方程x2ax(m1)(m2)0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a都有實(shí)數(shù)根則m的取值范圍.已知四邊形ABCD 的面積為2013，E為AD上一點(diǎn)，BCE,ABE,CDE的重心分別為G,G,G1 2

，那么GGG1 2

的面積.直角三角形斜邊AB上的高CD3，延長(zhǎng)DC到P使得CP2，過(guò)B作BFAP交CD于E，交AP于F，則DE .二、解答題（第9題、第10題15分，第11題、第12題20分）已知BAC90，四邊形ADEF是正方形且邊長(zhǎng)為1，求1 1 1 的最大.AB BC CAxy已知a0

xayxyy1 x an,aa1 2

,a, ,a3

為整數(shù)且aa1 2

a a3

aa1

a a3

2013，求n的最小值.已知正整數(shù)d滿足a2

c(d13),b2

c(d13),求所有滿足條件的d的值.答案：1.210

2.60 3.

4.0 5.735 6.2m1 7.671 8.926527 3 52652 29. 1 2 2

1 1 1

x經(jīng)檢驗(yàn)原方程組的解為：

a21a2a21a21a ， a .AB BC CA 4 a21aa21a21y y【解析】當(dāng)naa1 2

a a3

a5

2013滿足題設(shè)等式，下證當(dāng)n4時(shí)，不存在滿足等式要求的整數(shù)，不妨設(shè)aa1 2

a a，3 n(1)n4201331161，當(dāng)aa1 2

,a,a3

中有負(fù)整數(shù)時(shí)，必為aa 2015aa1

2

1, 3 4aa 34

，若a

3

4

2013不滿足條件，當(dāng)a 3,a3

671aa3 4

2a4

2015無(wú)解不可能，當(dāng)aa1 2

,a,a3

中無(wú)負(fù)整數(shù)時(shí)，顯然a 2013a 671.4 4n3時(shí)，當(dāng)aaa1 2 3

中有負(fù)整數(shù)時(shí)，必為aa1 2

顯然等式不成立，當(dāng)aaa1 2 3

中無(wú)負(fù)整數(shù)時(shí)，同上容易驗(yàn)證等式不可能成立.n2aa1 2

均為正整數(shù)，同上易驗(yàn)證等式不可能成立.綜上所述，n的最小值為5.d85 2013上海新知杯初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽答案2012（新知杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（2012年12月9日上午9:00~11:00）題號(hào)題號(hào)一二9101112總分得分評(píng)卷復(fù)核解答本試卷可以使用科學(xué)計(jì)算器一、填空題（每題10分，共80分）已知直線與

的邊 上的高為與邊 平行的兩條直線 將 的面積三等分之間的距離為 。同時(shí)投擲兩顆骰子，在平面直角坐標(biāo)系

表示兩顆骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為的概率，的值為 。中，已知點(diǎn) （，），點(diǎn)在直線 上，使得 是等腰三角形，則點(diǎn)

的坐標(biāo)是 。在矩形 中， 。點(diǎn) 分別在 上，使得則四邊形使得

。是矩形內(nèi)部的一點(diǎn)若四邊的面積等于 。是素?cái)?shù)的整數(shù)共有 個(gè)。

的面積為 ，平面上一動(dòng)點(diǎn) 到長(zhǎng)為 的線段 所在直線的距離為 ，當(dāng) 取到最小值時(shí)， 。已知一個(gè)梯形的上底、高、下底恰好是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且這三個(gè)數(shù)使得多項(xiàng)式（是常數(shù)）的值也恰好是按同樣順序的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則這個(gè)梯形的積為 。

余和除以余的正整數(shù)從小到大排成一列，設(shè)

表示這數(shù)列的前項(xiàng)的和，則 （這里

表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)。）二、解答題（第9,10題，每題15分，第11,12題，每題20分，共70分）

是正方形 內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 分別

的垂線，垂足分別為 。已知 ，求證：或者 ，或者 。解方程組 。最大整數(shù)。

，這里， 表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的若求證：

，求的取值范圍；。證明：在任意 個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)中，一定存在兩個(gè)數(shù)

，滿足2011年（新知杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷（2011124題號(hào)題號(hào)一二9101112總分得分解答本試卷可以使用科學(xué)計(jì)算器（每題10分，共80分）xx

x3m①，x

xm②，其中m0。若方程①中有一個(gè)根是方程②的某個(gè)根的3倍，則實(shí)數(shù)m的值是 。ABCDAB//CD，ABC90BDADBC5BD13，則梯形ABCD的面積為 。從編號(hào)分別為123，4，5，6的6張卡片中任意抽取3張，則抽出卡片的編號(hào)都大于等于2的概率為 。4. 將8個(gè)數(shù)753224613排列為abcdefgh，使得abcdefgh2的值最小，則這個(gè)最小值 。已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E分別是邊AB，BC上的點(diǎn)使得AE3，BF2，線段AF與DE相交于點(diǎn)G，則四邊形DGFC的面積為 。ABCACB90P是ABCPA11PB7，PC6，則邊AC的長(zhǎng)為 。有10名象棋選手進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)擅x手比賽一場(chǎng)2分，平局得1得02和的4，則第2名選手的得分是 。5已知a，b，c，d都是質(zhì)（質(zhì)數(shù)即素?cái)?shù)允許a，b，c，d有相同的情況且abcd是35個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，則abcd的最小值為 。二、解答題（第910題，每題15分，第1112題，每題20分，共70分）ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，已知DAC60，角DACDCS，直線OSADLBLACSM//LC。解DSDSCMOA B對(duì)于正整數(shù)n，記n!12 n。求所有的正整數(shù)組b,c,d,e,f，使得a!b!c!d!e!f!，且abcdef。解（1）xyx

4xyy

2022；（2）xyx

4xyy

2011?證明你的結(jié)論。解對(duì)每一個(gè)大于1的整數(shù)n，設(shè)它的所有不同的質(zhì)因數(shù)為 p1

，p，2

...，pk

，對(duì)于每個(gè)pik，存在正整數(shù)ai

，使得pai

npi

ai1，記pnpa11

pa2 pakp100265289。2 k試找出一個(gè)正整數(shù)npnn；證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)npn1.1n解2010（新知杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、填空題（1~586~101090分）1 1 1x

3，則x10x5 x x5

x10

。滿足方程x

y

xy

3的所有實(shí)數(shù)對(duì)為 。yAMNOBCx已知直角三角形ABC中C90，BC，CA3CD為C的角平分線yAMNOBCx4.2011個(gè)正整數(shù)的乘積122011能被2010k的最大值。

整除，則正整數(shù)k如圖平面直角坐標(biāo)系內(nèi)正三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別03，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的一條直線分別與邊AAC交于點(diǎn)，，若OM=MN，則點(diǎn)M的坐標(biāo)。如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，使得點(diǎn)O在線段HF上使得四邊形AEOH的面積為則四邊形的面積。整數(shù)q滿足pq201，且關(guān)于x的一元二次方程 A H D67x2pxq0的兩個(gè)根均為正整數(shù)，則p 。 EGO已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足abbc0且a0。設(shè)x，x B F C1 2是方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則平面直線坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)APQ，xPQ

之間的距離的最大值。1 2 2 1B E如圖，設(shè)ABCDE是正五邊形，五角星陰影部分）的面積設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為與CE的交點(diǎn)為則四邊形APQD的面積等。設(shè)a，b，c是整數(shù)，1abc9，且abcbcacab1能被9 C D整除，則abc的最小值，最大值。二、解答題（每題15分，共60分）4的ABCBCa，CAb，ABb是A的角平分線，點(diǎn)C是點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，若CBD與ABC相似，C'求ABC的周長(zhǎng)的最小值。 AC'29BD CPAGEPAGE38adgbehcfi將這9個(gè)數(shù)字分別填入圖1adgbehcfi三位數(shù)abcdefghibehcfi和aei都能被11整除求三位數(shù)ceg的 大值設(shè)實(shí)數(shù)z滿足xyz0，且xy2

yz

zx

2，求x的最大值和最小值稱具有a

2“”，其中a，b都是整數(shù)（1）證明：100，2010都是“好數(shù)”。（2）證明：存在正整數(shù)

y161是“好數(shù)xy不是”。2009年新知杯上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（2009年12月6日）一、填空題（第1-5小題每題8分，第6-10小題每題10分，共90分）1、對(duì)于任意實(shí)a,b，定義,a?b=a(a+b)+b,已a(bǔ)?2.5=28.5，則實(shí)a的值是 。2、在三角中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是大1的整數(shù)，則b-a= 。3、一個(gè)平行四邊形可以被分92個(gè)邊長(zhǎng)1的正三角形，它的周長(zhǎng)可是 。4的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有實(shí)根，并且所有實(shí)根P的乘積為?2，則所有實(shí)根的平方和為 。 BPE5、如圖，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)。PE⊥BC，PF⊥CA，則線段EF長(zhǎng)的最小值為 。 C F A第五題圖6、是方程x268x10的兩個(gè)根是方程x286x10的兩個(gè)根，則(a+c)(b+c)(a?d)(b?d)的值 。7在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)P(-1,1),Q(2,2)，函數(shù)y=kx?1的圖像與線段PQ延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不包Q），則實(shí)k的取值范圍是 。8方xyz=2009的所有整數(shù)解有 組。9如圖，四邊形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。設(shè)AD,BC延長(zhǎng)線交E，∠AEB= 。D CDADB EC第九題圖

MB第十題圖10、如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點(diǎn)M在BC上，使得ΔADM是正三角形，則ΔABM與ΔDCM的面積和是 。15分ΔABC中∠ACB90在CC1,A3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的長(zhǎng)。BACD三、（本題15分）求所有滿足下列

第二大題圖 條件的四位數(shù)abcdabcd(abcd)2c0。四、（本題15分）正整數(shù)n滿足以下條件：任意n個(gè)大于1且不超過(guò)2009的兩兩互素的正整數(shù)中，至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n。（15分a,b,使得a2b與ab2(a,b)是和諧的。①試找出一對(duì)無(wú)理數(shù)，使得(a，b)是和諧的；②證明：若(a，b)是和諧的，且a+b是不等于1的有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；③證明：若(a，b)是和諧的，且a是有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；b2009年新知杯上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考解答一、填空題（第1-5小題每題8分，第6-10小題每題10分，共90分）1a,b，定義,a?b=a(a+b)+b,a?2.5=28.5a的值是 ?！敬鸢浮?1322、在三角形ABC中，ABb21,BCa2,CA2a，其中a,b是大于1的整數(shù)，則b-a= ?！敬鸢浮?3、一個(gè)平行四邊形可以被分92個(gè)邊長(zhǎng)1的正三角形，它的周長(zhǎng)可是 ?！敬鸢浮?0,944、已知關(guān)的方程x42x3(3k)x2(2k)x2k0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為?2，則所有實(shí)根的平方和為 。【答案5 BP5、如圖，直角三角ABC中,為斜 邊PEAB上一動(dòng)點(diǎn)。則線EF長(zhǎng)的最 小值5為 。5【答案】25

C F A第五題圖6是方程x268x10是方程x286x10的兩個(gè)根，(a+c)(b+c)(a?d)(b?d)的值 ?！敬鸢浮?7727在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)P(-1,1),Q(2,2)，函數(shù)y=kx?1的圖像與線段PQ延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不包Q），則實(shí)k的取值范圍是 ?！敬鸢浮?k33 28方xyz=2009的所有整數(shù)解有 組?！敬鸢浮?29如圖，四邊形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。設(shè)AD,BC延長(zhǎng)線交E，∠AEB= ?！敬鸢浮?1°D CDADEC第九題圖

MA B第十題圖10、如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，點(diǎn)M是正三角形，ΔABM與ΔDCM的面積是 。3【答案】300150315分ΔABC中∠ACB90在CC1,A3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的長(zhǎng)。 B解：設(shè)BC=x，則BD x21，x2x216

，如圖，∠ABD平分 C D E線BE，則BDE ADB,因此BD2DEDA。

第二大題圖DE

BD

DE

3BD 。AE AB AEDE ABBD ABBDx21x216 xx21x216 x21

，解得

BCx4 11114 11三、（15分）求所有滿足下列條件的四位數(shù)abcdabcd(abcd)2數(shù)字c0。解：設(shè)xabycd,，則100xy(xy)2，故x2(2y100)xy2y)0有整數(shù)10x100y≠0。因此x完全平方數(shù)，

(2y100)24(y2y)4(250099y是可設(shè)t2250099y故9 y0 t0 t 0≤50-50+t 之和10而其中11的倍數(shù)，只能50?t=150?t=45，相應(yīng)得y=1,25，代入解得x98x20x30 因此abcd9801,2025,3025。y1 y25y25四、（本題15分）正整數(shù)n滿足以下條件：任意n個(gè)大于1且不超過(guò)2009的兩兩互素的正整數(shù)中，至少有一個(gè)素?cái)?shù)，求最小的n。解：由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432這14個(gè)合數(shù)都小于2009且兩兩互質(zhì)，因此n≥15。而n=15時(shí)，我們?nèi)?5個(gè)不超過(guò)2009的互質(zhì)合數(shù)a,a1 2

, ,a15

的最小素因子p,p1

, ,p15

p15

47，由于p15

是合數(shù)a15的最小素因子，因此a15

p 2472009151且不15超過(guò)的互質(zhì)正整數(shù)中至少有一個(gè)素?cái)?shù)。綜上所述，n最小是15。（15分a,b,使得a2b與ab2(a,b)是和諧的。①試找出一對(duì)無(wú)理數(shù)，使得(a，b)是和諧的；②證明：若(a，b)是和諧的，且a+b是不等于1的有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；③證明：若(a，b)是和諧的，且a是有理數(shù)，則a,b都是有理數(shù)；b2解：①不難驗(yàn)證(ab2

1,1 2)是和諧的2 2②由已知t(a2b(ab2)(ab)(ab1)bsab

tab1

，解得a

1s22

t 是有理數(shù)，當(dāng)b=s a也是有理數(shù)。s1ab20bab

是有理數(shù)，因此a(ab2)b2也是有理數(shù)。若a 21 ab20x

a2b

b

ya也是有理數(shù)，因此ab2 ab

1b 1 b1y2x，故b

xy1是有理數(shù)，因此a(ab2)b2也是有理數(shù)。b xy1 y2x2008年新知杯上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一、填空題：1、如圖：在正ABCDEBC、CA上，使得CDAEADBE交于點(diǎn)P，BQ

于點(diǎn)Q

.則QP .QDEPQDEPCA B2、不等式x22x6a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成.則實(shí)數(shù)a的最大值為 .3、設(shè)a 表示數(shù)n4的末位數(shù).則a a a .n 1 2 20084、在菱形ABCD中，A60，AB1，點(diǎn)E在邊AB上，使得AE:EB2:1，P為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn).則PEPB的最小值.5x

ax2x

2aa21的解為 .6P12的正ABCPBC、CAAB的垂線，垂足分別為DEFPD:PE:PF123.那么，四邊形BDPF的面積是 . AFPEB FPE7、對(duì)于正整數(shù)n，規(guī)定12n.則乘積的所有約數(shù)中，是完全平方數(shù)的共有 個(gè).8、已知k為不超過(guò)2008的正整數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2xk0有兩個(gè)整數(shù)根.則所有這樣的正整數(shù)k的和為 .9、如圖：邊長(zhǎng)為1的正ABC1 1 1

的中心為O，將正ABC1 1 1

繞中心O旋轉(zhuǎn)到ABC2 2 2

，使得AB BC2 2 1

.則兩三角形的公共部分（即六邊形ABCDEF）的面積為 .A1AFB EC

D 10、如圖：已知BADDAC9，ADAE，且ABACBE.則B .AB D C E二、如圖：在矩形ABCD內(nèi)部（不包括邊界）有一點(diǎn)P，它到頂點(diǎn)A及邊BC、CD的距離都等46D F CPAGEPAGE50于1，求矩形ABCD 面積的取值范圍.x2y0三、已知實(shí)數(shù)x、y滿足如下條件：x2y0 ，求xy的最小值.22y4四、如圖：在凹六邊形ABCDEF中，A、B、D、E均為直角，p是凹六邊形ABCDEFPMPNAB、DE，垂足分別為MN，圖中每條線段的長(zhǎng)度如圖所示（單位是米，求折線MPN的長(zhǎng)度（精確到0.01米）.n2

n3

n 11

n13

n的最大正整數(shù)n，其中x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).2008年“新知杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案提示：8、答案：48°。延長(zhǎng)BA至F，則△ADE≌△AFE，AE平分∠FED，且∠BFE＝∠ABE，代換一下即可。10、1×2＋2×3＋3×4＋…＋44×45＝30360的因式分解，其次是求和問(wèn)題。二、答案：2＜S≤3/2＋21/2。本題是考察基本不等式的運(yùn)用技巧。我估計(jì)我的學(xué)生可以得一半分。三、答案：4×31/2/3。換元法技巧而已。只要令x＝（a+b）/2，y=(a－b)/2，利用對(duì)稱性，設(shè)y＞0即可。四、答案：15.50。純粹的解三角形的死做題。只要邊CF，則與NP的交點(diǎn)即為中點(diǎn)，并取AB中點(diǎn)，慢慢解了。希學(xué)生注意：可以使用計(jì)算器，一定要掌握。五、答案：1715。高斯函數(shù)題再加上放大與縮小的應(yīng)用。x的最大整數(shù)?！郲n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]≤n－1即n－1≥（n－2006年（新知杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、填空題（第1~5小題，每題8分，第6~10題，每題10分，共90分）1ABCA70B90ABC，點(diǎn)BACB，點(diǎn)CAB的對(duì)稱點(diǎn)是CABC1，則△ABC的面積．B'AEFCEFCB DBC'第1題圖 A' 第3題圖2abcdef20,acdef40,2a、b、c、d、e、f滿足如下方程組ab2cdef80,，abc2def160,abcd2ef320,abcde2f640.則fedcba的值．3ABCDABCAEAF6ABCD的邊長(zhǎng)．4、已知二次函數(shù)yx2xa的圖像與x軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過(guò)5，則a的取值范圍．5、使得n1能整除n2006的正整數(shù)n共個(gè)．6、表示不大于x的最大整數(shù)，方程8x7的所有實(shí)數(shù)解．27、如圖，ABCD為直角梯形（BC90°，且ABBC，若在邊BC上存在一點(diǎn)M，使得△AMD C ．

CD的值為ABM 57A B第7題圖PAGEPAGE64AhAhhBhCB' C'第8題圖8、如圖ABC的面積為S周長(zhǎng)為pABC的三邊在△ABC外且與對(duì)應(yīng)邊的距離均為h，則△ABC的周長(zhǎng)，面積．9n(個(gè)整數(shù)（可以相同）aa1 2

, an

滿足a a1

an

aa a1 2

2007，則n的最小值．10、把能表示成兩個(gè)正整數(shù)平方差的這種正整數(shù)，從小到大排成一列：a,a1 2

, ,an

,，例如：a 2212a 3222a 42327,a 3212, 那 么 ，1 2 3 4a a1

a99

a100

的值．（20）O如圖，已知半徑分別為的兩個(gè)同心圓，有一個(gè)正方形ABCD ，其中點(diǎn)D在半徑為2圓周上，點(diǎn)B,C在半徑為1的圓周上，求這個(gè)正方形的面積．O第二題圖（20）

3x2yza,關(guān)于x、y、z的方程組xy2yz3zx

有實(shí)數(shù)解(x,y,z)，求正實(shí)數(shù)a的最小值．（20）設(shè)A是給定的正有理數(shù)．A是一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積3z，x

y

y

z

A．3x、y、zx

y

y

z

A，證明：存在一個(gè)三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．2005年(宇振杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷題號(hào)一二三四總分得分（2005年12月11日 上午9題號(hào)一二三四總分得分解答本試卷不得使用計(jì)算器（105851090分）1100n

1 n的所(3n32)(4n1)有可能值是 。2．將數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9按某種次序?qū)懗梢粋€(gè)九位數(shù)：abcdefghi令A(yù)abcbcdcdedefefgfghghiA的最大可能值是。3．如果一個(gè)兩位數(shù)X5與三位數(shù)的積是29400，那么X+Y+Z= 18 。x已知都為實(shí)數(shù)且y 21a2,x43y3b2則axy 的x值為 。CA1CA1BOD10x5．如圖：OAB的頂點(diǎn)2110，1，直線CDX軸，并且把△OAB面積二等分，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0，則x的值是 。如果兩個(gè)一元二次方程x2xm與mx2x10分別有兩個(gè)不相同的實(shí)根，但其中有一個(gè)公共的實(shí)根，那么實(shí)根的大小范圍是 。如圖：在梯形ABCD中，AB∥DC，DC=2AB=2AD， A B若BD=6，BC=4，則SABCD= 。（SABCD表示四邊形ABCD的面積，下同） D C如圖，ABCD 中，點(diǎn)MN分別是邊BCAN=1，AM=2，且∠MAN=60°，則AB 的長(zhǎng)D

A BM的中點(diǎn)，M是 。N CEFEF#如圖：△ABC中，點(diǎn)E、F分別在這AB、AC上，EF∥BC，若S

=1，S

=2S

，則S = 。△ABC

△AEF

△EBC

△CEFB C10．設(shè)P為質(zhì)數(shù)，且使關(guān)于x的方程有兩個(gè)整數(shù)根則p的值為 。（20）已知矩形ABCD的相鄰兩邊長(zhǎng)為a、b，是否存在另一個(gè)矩形A’B’C’D’，使它的周長(zhǎng)1和面積分別是矩形ABCD的周長(zhǎng)和面積的？證明你的結(jié)認(rèn)論。3（20分）已知a、b、c都是大于3的質(zhì)數(shù)，且2a5bc。求證：存在正整數(shù)n>1，使所有滿足題設(shè)的三個(gè)質(zhì)數(shù)abca+b+cn整除；n的最大值。（20分）如圖：在Rt△ABC中，CA>CB，∠C=90°，CDEF、KLMN是△ABC的兩個(gè)內(nèi)接

=441 S，KLMNCDEF，KLMN

=440，求△ABC的三邊長(zhǎng)。BMELMELC K D A一、填空題

2005年（宇振杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考解答101、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、102 ；10136、1 7、18； 8、2133

9、

35 10、293二、設(shè)矩形A’B’C’D’的相鄰兩邊長(zhǎng)為m、n，則按題意有m+n=1(ab),mn1ab，因3 31 此m、n是二次方程x2 (ab)x ab0的兩正根。1 3 31(ab0,1ab0 ∴上述二次方程有兩正根的條件是3 31(ab)241(a2100bb2)19399 [a1(ab)241(a2100bb2)19399即a(52 b或a(52 bb0或a(52 bb0 a(52 bb0 a(52 bb0∴當(dāng)a(52b b0<a(5-2bb滿足條件的矩形’CD’存在；當(dāng)2b2b

)a ( b

滿足條件的矩形A’B’C’D’不存在。（1）∵c=2a+5b，∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b)a、b、c3即存在正整數(shù)n>1(例如n=3)，使n(abc)（2）∵a、b、c都是大于3的質(zhì)數(shù) ∴a、b、c都不是3的倍若a1(mod3),b2(mod)3，例c2a2100(mod3)C3a2(mod3),b1(mod3)，也將導(dǎo)致矛盾因此，只能ab1(mod3)或ab2(mod3)于是a0(mod3),從9(abc)當(dāng)a7,bc2751379為質(zhì)數(shù)，a+b+c=99=9×11；當(dāng)a7,bc27519109為質(zhì)數(shù)，a+b+c=135=9×15；∴在所有n(abc)n中，最大為9四、論正方形CDEF的邊長(zhǎng)為x，正方形KLMN的邊長(zhǎng)為y，110則按題設(shè)x=21，y=2 ，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，則a2+b2=c2110注意到axby2(S S )2S abCEB CEA ABC∴x ab ……①abb又由△AKL∽△ABCAL=ybba

同理，MB=yab a c2abab故cALLMMBx( 1 )yaba by abc ……②c2ab1 1 1 c 1

1 2 c2 1 2 1 1于是 )2()2( )( ) y2 x2

c ab a b c2

ab a2b2

a2 ab b2 c211440 4411101c 21 44011440 4411101 yc 將它代入②式，可得ab 22 進(jìn)而cyabab2122x于是a、b是二次方程t22122212220的兩根∵b>a11∴a2316311

11，b23163112004年(宇振杯)上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、填空題(前5題每題6分，后5題每題8分，共7O分)xx2+(3a-1)x+a+8=0xxx1，x1a1 2 1 2的取值范圍是 ．1方程 1

2 3=3的解是 ．5x 4x 3x一個(gè)二位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之積是這二位數(shù)兩個(gè)數(shù)字之和的2倍；又若這二位數(shù)加上9，恰好是原二位數(shù)的個(gè)位數(shù)與十位數(shù)交換位置后的數(shù)的2如圖，△ABC中CE分別是AB邊上高和中線又CE的中垂線過(guò)點(diǎn)且交AC于點(diǎn)F，則CD+BF的長(zhǎng)為 ．如圖分別以Rt△XYZ的直角邊和斜邊為邊向形外作正方形AXZFBCYX若直角邊YZ=1，XZ=2，則六邊形ABCDEF的面積為 ．如圖，正方形紙片ABCD1、NAD、BCAM=BN=2/5，將C折至MN上，落在點(diǎn)P的位置。折痕為BQ(QCD上)，連PQ，則以PQ方形面積為．三個(gè)不同的正整數(shù)ab、c，使a+b+c=133,且任意兩個(gè)數(shù)的和都是完全平方數(shù)，則a、b、c是 ．8．若實(shí)數(shù)ab、、d滿足a2+b2+c2+d2=10，則y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 ．a(chǎn)x2+2bx+c=Oxxa>b>ca+b+c=0，則1 2d=|x-x的取值范圍為 ．1 21O如圖△ABC中AB=A點(diǎn)PQ分別在AAB上且AP=PQ=QB=B則A的大小是 ．二、(本題16分)如圖PQMN是平行四邊形ABCD的內(nèi)接四邊形1MP∥BC,NQ∥AB，1

=四邊形PQMN

S ；2 □ABCD

=四邊形PQMN 2

，問(wèn)是否能推出MP∥BcNQ∥AB?證明你的結(jié)論．1 2 3 三、(本題l6nd1<d2<d3<d4nn=d2+d2+d2+d2，n1 2 3 l8△ABC，且S△ABC=1，D、EAB、ACCE16P，使

S ，求S 的最大值．BPC 9△ △BPC 92003年（宇振杯）上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（2003年12月7日上午9∶00~11∶00）解答本試卷不得使用計(jì)算器.一、填空題（本大題10小題，前5題每題6分、后5題每題8分，共70分.）1、設(shè)曲線Cyax2bxc(a0)y軸對(duì)稱的曲線為Cx軸對(duì)稱1 1的曲線為C，則曲線Cy＝＿＿＿＿＿＿＿＿.2 22、甲、乙兩商店某種鉛筆標(biāo)價(jià)都是1惠：甲痁實(shí)行每買(mǎi)5支送1支（不足5支不送，乙店實(shí)行買(mǎi)4支或4支以上打8.5折，小王買(mǎi)13支這種鉛筆，最少需要化＿＿＿＿＿元。3、已知實(shí)數(shù)abc滿足a+b+c=0a2b2c2

0.1，則a4b4c4的值是＿＿＿.4、已知凸四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)為AB＝8，BC＝4，CD＝DA＝6，則用不等式表示∠A大小的范圍是＿＿＿＿＿＿。51，2，3，…，2003nx2xn這樣的n共有＿＿＿＿＿個(gè)。6、設(shè)正整數(shù)m，n滿足m<n，且

1 1

1 1 ，則mn的值是 m2m m2

1

n 23＿＿＿＿。7、數(shù)1，2，3，…，k2按下列方式排列：1 2k1 k2……

… k…2k1k1 1k2 … k2kk的和是＿＿＿。8、如圖，邊長(zhǎng)為1的正三角形ANB放置在邊長(zhǎng)為MN＝3，NP＝4的正方形MNPQ內(nèi)，且NBNP上。若正三角形在長(zhǎng)方形內(nèi)沿著邊NP