2025屆上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.2.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.2 C.3 D.3.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.4.在等差數(shù)列中,若為前項(xiàng)和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1805.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個(gè)數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為()A. B. C. D.6.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A. B. C. D.7.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物四科競(jìng)賽,其中甲不能參加生物競(jìng)賽,則不同的參賽方案種數(shù)為A.48 B.72 C.90 D.968.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.010.在三棱錐中,,,P在底面ABC內(nèi)的射影D位于直線AC上,且,.設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上,則球Q的半徑為()A. B. C. D.11.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.12.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫(huà)中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪,將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點(diǎn),測(cè)得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在等比數(shù)列中,,則________.14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說(shuō)“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō):“我獲獎(jiǎng)了”.丁說(shuō):“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是__________.15.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前項(xiàng)和_____.16.已知,滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元?說(shuō)明你的理由.18.(12分)已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn),且當(dāng)時(shí),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),過(guò)點(diǎn)作垂直于軸,垂足為,連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn).(?。┣竺娣e最大值;(ⅱ)證明:直線與斜率之積為定值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),的頂點(diǎn)也在曲線上運(yùn)動(dòng),求面積的最大值.20.(12分)11月,2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過(guò)輪投球,用表示經(jīng)過(guò)第輪投球,累計(jì)得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得,請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫(xiě)出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.21.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時(shí),,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.3、C【解析】

化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問(wèn)題.4、A【解析】

因?yàn)椋傻?,根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、C【解析】由題意,根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,得展開(kāi)式的通項(xiàng)為,則展開(kāi)式的通項(xiàng)為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛:此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能,屬于中低檔題,也是??贾R(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中,注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),先求出通項(xiàng)公式,再根據(jù)所求問(wèn)題,通過(guò)確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算,從而問(wèn)題可得解.7、D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽,則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí),共有?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí),共有=24種選擇方案.綜上所述,所有參賽方案有72+24=96種故答案為:96點(diǎn)睛:本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體,考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為,要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù),至少需要向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,即為答案.【詳解】由題可知,對(duì)其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故的最小值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換,還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用,屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.10、A【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為O先求出外接圓的半徑,設(shè),利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為O,因?yàn)?,所以外接圓的圓心M在BO上.設(shè)此圓的半徑為r.因?yàn)椋?,解?因?yàn)椋?設(shè),易知平面ABC,則.因?yàn)?,所以,即,解?所以球Q的半徑.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體,考查空間想象能力,考查計(jì)算求解能力,是中檔題11、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由已知,設(shè).可得.于是可得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14、丙【解析】若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙.考點(diǎn):反證法在推理中的應(yīng)用.15、【解析】

解:兩式作差,得,經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡(jiǎn)得,檢驗(yàn):當(dāng)n=1時(shí),,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;,,令故填:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和,解題過(guò)程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論,側(cè)重考查運(yùn)算能力.16、【解析】

畫(huà)出可行域,通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示,由圖可知:可行域是由三點(diǎn),,構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)(i)詳見(jiàn)解析;(ii)會(huì)超過(guò);詳見(jiàn)解析【解析】

(1)利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫(xiě)出X所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬(wàn)元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬基礎(chǔ)題。18、(1);(2)(?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析.【解析】

(1)由,解方程組即可得到答案;(2)(?。┰O(shè),,則,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)設(shè)直線斜率為,直線方程為,聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.【詳解】(1)設(shè),由,得.將代入,得,即,由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,則,(ⅰ)易知為的中位線,所以,所以,又滿足,所以,得,故,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),所以面積最大值為.(ⅱ)記直線斜率為,則直線斜率為,所以直線方程為.由,得,由韋達(dá)定理得,所以,代入直線方程,得,于是,直線斜率,所以直線與斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,涉及到橢圓中的最值及定值問(wèn)題,在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時(shí),一般會(huì)用到根與系數(shù)的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道有一定難度的題.19、(1):,:;(2)【解析】

(1)由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由即可得的底,由點(diǎn)到直線的距離的最大值為即可得高的最大值,即可得解.【詳解】(1)由消去參數(shù)得直線的普通方程為,由得,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線即,圓心到直線的距離,所以,又點(diǎn)到直線的距離的最大值為,所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查了直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.20、(1)分布列見(jiàn)解析;(2)①;②,.【解析】

(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,甲的得分的取值為,記一輪投球,甲投中為事件,乙投中為事件,相互獨(dú)立,計(jì)算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由兩輪的得分可計(jì)算出,計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分的分布列(的取值為),然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算,由,代入,得兩個(gè)方程,解得,從而得到數(shù)列的遞推式,變形后得是等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,然后用累加法可求得.【詳解】(1)記一輪投球,甲命中為事件,乙命中為事件,相互獨(dú)立,由題意,,甲的得分的取值為,,,,∴的分布列為:-101(2)由(1),,同理,經(jīng)過(guò)2輪投球,甲的得分取值:記,,,則,,,,由此得甲的得分的分布列為:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題難點(diǎn)在于求概率分布列,特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列,這里可用列舉法寫(xiě)出各種可能,然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率.21、(1),,.(2)填表見(jiàn)解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情

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