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山西省河津三中2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.閱讀下面的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.82.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.3.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線(xiàn)中,不與平面平行的是()A.直線(xiàn) B.直線(xiàn) C.直線(xiàn) D.直線(xiàn)4.正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為,已知,則=()A.35 B.36 C.45 D.545.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.6.設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則()A. B. C. D.7.一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤(pán)中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1478.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減9.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.10.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.111.已知是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩支分別交于兩點(diǎn)(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn),已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)等于____________.15.如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,將射線(xiàn)繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),并在所得射線(xiàn)上取一點(diǎn),使得,連接,則的面積為_(kāi)_________.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦距是,點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)(與不同),若直線(xiàn)的斜率之積為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn),且處的切線(xiàn)相互垂直,直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),求的面積的最大值.18.(12分)在中國(guó),不僅是購(gòu)物,而且從共享單車(chē)到醫(yī)院掛號(hào)再到公共繳費(fèi),日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門(mén)不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國(guó)人民大學(xué)和法國(guó)調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶(hù),從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計(jì)他們出門(mén)隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從騰訊服務(wù)的用戶(hù)中隨機(jī)抽取3位女性用戶(hù),這3位用戶(hù)中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場(chǎng)為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費(fèi)每滿(mǎn)1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費(fèi)每滿(mǎn)1000元可抽獎(jiǎng)2次,每次中獎(jiǎng)的概率同為,且每次抽獎(jiǎng)互不影響,中獎(jiǎng)一次打9折,中獎(jiǎng)兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購(gòu)買(mǎi)某樣價(jià)值1200元的商品,請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.20.(12分)已知橢圓E:()的離心率為,且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A,C組成的三角形面積為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)若點(diǎn)P為橢圓E上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的切線(xiàn)交圓O:于不同的兩點(diǎn)M,N(其中M在N的右側(cè)),求四邊形面積的最大值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證:(1)直線(xiàn)平面EFG;(2)直線(xiàn)平面SDB.22.(10分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過(guò)程,寫(xiě)出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,如圖:

直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,

∴幾何體的體積,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,結(jié)合直觀(guān)圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.3、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線(xiàn)面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)椋云矫?,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)?,所以平面,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線(xiàn)面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.4、C【解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,解得或(舍),,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式,屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)()與前項(xiàng)和的關(guān)系.5、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀(guān)圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.6、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點(diǎn)睛:本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫(huà)出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.7、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào),即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性,屬于中檔題.10、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得的邊長(zhǎng)為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線(xiàn)的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.12、C【解析】

方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因?yàn)?,所以,則.故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線(xiàn)定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則,以及向量的共線(xiàn)定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.14、【解析】

方法一:依題意,知直線(xiàn)的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線(xiàn)的方程為,代入圓的方程化簡(jiǎn)得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線(xiàn)的距離,則.15、【解析】

由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因?yàn)?,所以,,所?又因?yàn)椋?因?yàn)?,所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題16、【解析】

先推導(dǎo)出函數(shù)的周期為,可得出,代值計(jì)算,即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則,又該函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則,所以,,則,所以,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算函數(shù)值,解題的關(guān)鍵就是結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)軸推導(dǎo)出函數(shù)的周期,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出直線(xiàn)的斜率之積,再根據(jù)三點(diǎn)均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達(dá)式列式求解即可.(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)的方程為,根據(jù)直線(xiàn)的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程,表達(dá)出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)的方程為,,由,故,又,故,因?yàn)樘幍那芯€(xiàn)相互垂直故.故直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達(dá)定理有設(shè),則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時(shí)也考查了拋物線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題以及橢圓中面積的最值問(wèn)題,需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.18、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)得出結(jié)論;(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,知服從二項(xiàng)分布,即,可求得其期望和方差;(3)若選方案一,則需付款元,若選方案二,設(shè)實(shí)際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,求出實(shí)際付款的期望,再比較兩個(gè)方案中的付款的金額的大小,可得出選擇的方案.【詳解】(1)由已知得出聯(lián)列表:,所以,有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,,;(3)若選方案一,則需付款元若選方案二,設(shè)實(shí)際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,,,,選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn),二項(xiàng)分布的期望和方差,以及由期望值確定決策方案,屬于中檔題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)椤窘馕觥?/p>

(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因?yàn)槭堑诙笙藿牵?,所?所以,所以.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?化簡(jiǎn),得,因?yàn)?,且,,所以,所?所以函數(shù)的值域?yàn)?(注:或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)?,所以”,其?shí)不然,因?yàn)?)【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問(wèn)題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力,屬于??碱}型.20、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)結(jié)合已知可得,求出a,b的值,即可得橢圓方程;(Ⅱ)由題意可知,直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)出直線(xiàn)方程,聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程,利用判別式等于0可得,聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得,利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,求出,得到,整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解:(Ⅰ)可得,結(jié)合,解得,,,得橢圓方程;(Ⅱ)易知直線(xiàn)的斜率k存在,設(shè):,由,得,由,得,∵,設(shè)點(diǎn)O到直線(xiàn):的距離為d,,,由,得,,,∴∴,∴而,,易知,∴,則,四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性比較強(qiáng),屬于難題.21、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H

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