2025屆山東省高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆山東省高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.2.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③3.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.4.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.5.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.37.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.8.已知隨機變量的分布列是則()A. B. C. D.9.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列10.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.12.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知過點的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點,點在線段上,過作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點,當(dāng)∥軸,點的橫坐標(biāo)是14.圓心在曲線上的圓中,存在與直線相切且面積為的圓,則當(dāng)取最大值時,該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.15.某大學(xué)、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本???cè)藬?shù)的比例依次為、、、,現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況,則專業(yè)應(yīng)抽取_________人.16.已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,.(1)求的值;(2)點為邊上的動點(不與點重合),設(shè),求的取值范圍.18.(12分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.19.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個不同的點到曲線的距離相等,求這三個點的極坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù),).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(3)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,且恒成立,求滿足條件的的最小值(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值).21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點,求;(Ⅱ)若點為曲線上任意一點,求的取值范圍.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變,得到曲線,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線與曲線交于點,將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點.(1)求曲線的參數(shù)方程;(2)求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于中等題.2、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.3、D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.4、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.5、C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點,得出的夾角為MN和NP夾角或其補角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點,則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知,.作BC中點Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點睛】此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.6、A【解析】,故,故選A.7、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點,據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點,且在這兩個零點的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別,此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點情況,本題屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.9、D【解析】

由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題10、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

設(shè),延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設(shè),延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.

故選:A.【點睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

通過設(shè)出A點坐標(biāo),可得C點坐標(biāo),通過∥軸,可得B點坐標(biāo),于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可設(shè)點,則,由于∥軸,故,代入,可得,即,由于在線段上,故,即,解得.14、【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑,由圓心在曲線上,設(shè)圓的圓心坐標(biāo),到直線的距離等于半徑,再由均值不等式可得的最大值時圓心的坐標(biāo),進而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為,由題意可得,所以,由題意設(shè)圓心,由題意可得,由直線與圓相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,可得,所以圓心坐標(biāo)為:,半徑為,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意驗正等號成立的條件.15、【解析】

求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得.【詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為,故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為.故答案為:1.【點睛】本題考查分層抽樣,根據(jù)分層抽樣的定義,在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的.16、【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得,即為所求斜率.【詳解】,,解得:,即在處的切線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.18、(1)證明見詳解;(2)或或【解析】

(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【詳解】(1)因為所以(2)當(dāng)時所以當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立因為存在,且,使得成立所以所以或解得:或或【點睛】1.要熟練掌握絕對值的三角不等式,即2.應(yīng)用基本不等式求最值時要滿足“一正二定三相等”.19、(1),;(2),,.【解析】

(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用圖象求出三個點的極徑與極角.【詳解】解:(1)由消去參數(shù)得,即曲線的普通方程為,又由得即為,即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為(2)∵圓心到曲線:的距離,如圖所示,所以直線與圓的切點以及直線與圓的兩個交點,即為所求.∵,則,直線的傾斜角為,即點的極角為,所以點的極角為,點的極角為,所以三個點的極坐標(biāo)為,,.【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,只要將和換成和即可.20、(1);(2);(3).【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有兩根,令,求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以且,,,求出的范圍即可.【詳解】(1)因為,所以,當(dāng)時,,所以切線方程為,即.(2),.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以實數(shù)的取值范圍是.(3).因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,所以方程在上有兩不等實根,即.令,則,由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,解得且.又由,所以,且當(dāng)和時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,是極值點,此時令,則,所以在上單調(diào)遞減,所以.因為恒成立,所以.若,取,則,所以.令,則,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,即存在使得,不合題意.滿足條件的的最小值為-4.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點,不等式恒成立等知識,是一道難題.21、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化簡得到直線的普通方程化為,,是以點為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點為圓心,為半徑的圓,設(shè)點到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因為,所以,所以.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.22、(1)(為參數(shù));(2).【解析】

(1)根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程;(2)將曲線的方程化為普通方程,然后化為極坐標(biāo)方程,設(shè)點的極坐標(biāo)為,點的極坐標(biāo)為,將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓

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