湖南瀏陽一中、株洲二中等湘東五校2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖南瀏陽一中、株洲二中等湘東五校2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或2.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.3.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.2 C. D.4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.5.本次模擬考試結(jié)束后,班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種6.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.7.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.8.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.9.從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.10.函數(shù)的定義域?yàn)?,集合,則()A. B. C. D.11.國家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯誤的是()A.12個月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個月的PMI值的平均值低于50%C.12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%12.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當(dāng)時,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)記載,最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時期的數(shù)學(xué)家商高,商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”,其中“股”,為“弦”上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且滿足勾股定理,則______.14.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長是______.16.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個半圓,這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;(3)設(shè),,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.18.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)P,Q分別為,的中點(diǎn).求證:(1)PQ平面;(2)平面.21.(12分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.22.(10分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表:并通過計(jì)算判斷,是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進(jìn)行體育鍛煉體會交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會交流的人中,隨機(jī)選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時,,∴,∴.②當(dāng)時,,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.2、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開,結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng),即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)的簡單應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時的函數(shù)值可排除三個選項(xiàng).【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項(xiàng).5、B【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個,有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題6、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.8、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線方程可得,,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個,所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對C,12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對D,12個月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由題設(shè)條件,可得函數(shù)的周期是,再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先由等面積法求得,利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得,依題意可得,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14、2889【解析】

先計(jì)算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當(dāng)時,集合中最小數(shù);當(dāng)時,得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15、【解析】

作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.16、【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題,涉及到距離的最值問題,在處理這類問題時,一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】

(1)依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知,求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式,列出方程,可以解出首項(xiàng)和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出?!驹斀狻浚?)因?yàn)閷θ我?,都有,所以,,兩式相加,,解得;?)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,因?yàn)閷θ我?,都有,所以有,解得,又,即有,化簡得,,即,或,因?yàn)椋喌?,所以故。?)因?yàn)閷θ我猓加校杂?,成等差?shù)列,設(shè)公差為,,,,,由等差數(shù)列的定義知,也成等差數(shù)列?!军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,綜合運(yùn)用數(shù)列知識的能力。18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)?,所以;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn),要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn),考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:20、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.根據(jù)線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn),由(1)得,再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點(diǎn)D,連結(jié),.在中,P,D分別為,中點(diǎn),,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點(diǎn),,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點(diǎn),.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.21、(1);(2)1.【解析】

(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長的值.【詳解】(1)由題意,在中,因?yàn)?,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因?yàn)椋傻胹inB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長a+b+c=5+7=1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.22、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列見解析.【解析】

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù),由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù),從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù),這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得,然

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