湖南省長沙市長郡教育集團2023-2024學年九年級上學期數(shù)學期末考試試卷

湖南省長沙市長郡教育集團2023-2024學年九年級上學期數(shù)學期末考試試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項）1．中華文明，源遠流長：中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．2．2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C．12024 D．3．元旦假期哈爾濱旅游總收入達59.14億元，南泥北搓成了新時尚．將數(shù)據(jù)59.14億用科學記數(shù)法表示為（）A．5.914×108 B．5.914×109 C．5.914×1010 D．59.14×1084．下列計算正確的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．x2+x3＝x5C．x8÷x2＝x4 D．（a+b）2＝a2+b25．古語有言“逸一時，誤一世”，其意是教導我們青少年要珍惜時光，切勿浪費時間，浪費青春，其數(shù)字諧音為1，1，4，5，1，4，有關這一組數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．中位數(shù)為4.5 B．平均數(shù)為83 C．眾數(shù)是1 6．下列命題正確的是（）A．方程x2﹣x﹣1＝0沒有實數(shù)根B．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等C．平分弦的直徑垂直于弦D．“對角線互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)7．如圖，△ABC和△ABD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°8．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=kx+1(k≠0)A． B．C． D．9．如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α，得到△AB'C'.若點B'A．60° B．70° C．100° D．110°10．如圖，拋物線y＝x2﹣8x+15與x軸交于A、B兩點，對稱軸與x軸交于點C，點D（0，﹣2），點E（0，﹣6），點P是平面內(nèi)一動點，且滿足∠DPE＝90°，M是線段PB的中點，連接CM．則線段CM的最大值是（）A．3 B．412 C．72二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11．因式分解：3x2﹣9x＝．12．若式子x+1x-2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是13．把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝65°，則∠2＝．14．一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是.15．在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有個.16．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則a2+2b﹣ab的值是．三、解答題（本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：|-3|+（12）﹣1+（π+1）18．解不等式組：4(2x-1)＜3x+119．育才中學九年級的一位同學，想利用剛剛學過的三角函數(shù)知識測量新教學樓的高度，如圖，她在A處測得新教學樓房頂B點的仰角為45°，走7米到C處再測得B點的仰角為55°，已知O、A、C在同一條直線上．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求新教學樓OB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，結(jié)果精確到0.1m）．20．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習慣．崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動，學生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．根據(jù)圖中信息，請回答下列問題；（1）條形圖中的m＝，n＝，文學類書籍對應扇形圓心角等于度；（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)；（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．21．如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一點，OC⊥OA，OC交AB于點P，交⊙O于點D，且CP＝CB．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝3，求圖中陰影部分的面積．22．某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同．（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?23．如圖，在?ABCD中，點E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于點F，過點F作FG∥AB，交AD于點（1）求AFFC（2）若AB：AC=3①求證：∠AEF＝∠ACB．②求證：DF2＝DG?DA．24．我們不妨約定，如果點（x，y）滿足2x+y＝2024，那么稱這個點（x，y）為“郡系點”．如果一個函數(shù)的圖象經(jīng)過一個“郡系點”，那么稱這個函數(shù)為“郡系函數(shù)”．（1）對下面的結(jié)論進行判斷，請在正確結(jié)論的后面的括號中打“√”，錯誤結(jié)論后面的括號中打“×”．①點（1，2022）為“郡系點”（▲）；②已知y=mx（m為常數(shù)，且m≠0），它的圖象經(jīng)過的“郡系點”的坐標為（﹣1，n），則m＝2025（▲），n＝2026（（2）已知點A（1，c）和B（2，c+2），那么線段AB上是否存在“郡系點”？如果存在，請表示出來；如果不存在，請說明理由．（3）已知關于x的二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣2024）x+a﹣2（a，b均為正整數(shù)）為“郡系函數(shù)”，其圖象滿足下面兩個條件：（Ⅰ）圖象經(jīng)過四個象限；（Ⅱ）M，N是圖象上的兩個“郡系點”，且MN＝905，試求該二次函數(shù)的解析式和它的“郡系點”M，N的坐標．25．已知拋物線y=ax2+bx+8過點B(4，8)和點C(8（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AB，BC，點D在線段AB上（與點A，B不重合），點F是OA的中點，連接FD，過點D作DE⊥FD交BC于點E，連接EF，當△DEF面積是（3）如圖2，點P是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，H(m，0)是x軸正半軸上的動點，若線段OB上存在點G（與點O，B不重合），使得

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)軸對成圖形的定義，"我"、"愛"、"國"都不是軸對稱圖形，"中"是軸對稱圖形。

故答案為：C。

【分析】根據(jù)軸對成圖形的定義進行選擇即可。2．【答案】B【解析】【解答】2024的相反數(shù)是﹣2024，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.3．【答案】B【解析】【解答】59.14億=5.914×109，

故答案為：B.

【分析】將一個大于10的數(shù)記為a×10n，4．【答案】A【解析】【解答】（﹣2x3）2＝4x6，故A計算正確，符合題意；

x2+x3，不是同類項，不能直接相加，故B計算錯誤，不符合題意；

x8÷x2＝x6，故C計算錯誤，不符合題意；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D計算錯誤，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)積的乘方運算法則、合并同類項法則、同底數(shù)冪的除法法則、完全平方公式進行逐一判斷即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：將這一組數(shù)按照由小到大重新排序1，1，1，4，4，5，∴中位數(shù)應該1+42=2.眾數(shù)為1，極差為5?1=4，故C，D均不符合題意，故答案為：A．【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)和極差的計算方法計算求解即可。6．【答案】D【解析】【解答】∵?=（-1）2-4×1×（-1）=5>0，

∴方程x2﹣x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，故A說法錯誤，不符合題意；

由三角形的判定定理可得“SSA”不能直接判定兩個三角形全等，故B說法錯誤，不符合題意；

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故C說法錯誤，不符合題意；

“對角線互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)，故D說法正確，符合題意；

故答案為：D.

7．【答案】C【解析】【解答】∵∠D＝50°，

∴∠C＝50°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC＝50°，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)圓周角定理以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】解：當k>0時，一次函數(shù)y=kx+1經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y=k當k<0時，一次函數(shù)y=kx+1經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=k故答案為：D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系逐項判斷即可。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α，得到△A∴AB=AB'，∵∠AB∴∠AB∴∠BAB故答案為：C.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB′，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AB′B=∠ABB′=40°，然后根據(jù)內(nèi)角和定理進行計算.10．【答案】C【解析】【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，則A（3，0），∵拋物線的對稱軸與x軸交于點C，∴C點為AB的中點，∵∠DPE＝90°，∴點P在以DE為直徑的圓上，圓心Q點的坐標為（﹣4，0），AQ=32+延長AQ交⊙Q于F，此時AF最大，最大值為2+5＝7，連接AP，∵M是線段PB的中點，∴CM為△ABP為中位線，∴CM=12∴CM的最大值為72故答案為：C．

【分析】先解方程得到點A的坐標，再由拋物線的性質(zhì)以及圓周角定理得到C點為AB的中點和圓心的坐標，利用勾股定理求得AQ的值和⊙Q的半徑，延長AQ交⊙Q于F，此時AF最大，最大值為7，連接AP，利用三角形的中位線定理得到CM=1211．【答案】3x（x﹣3）【解析】【解答】解：3x2﹣9x＝3x（x﹣3），故答案為：3x（x﹣3）.

【分析】利用提取公因式3x的方法進行因式分解即可.12．【答案】x≥﹣1且x≠2【解析】【解答】∵x+1x-2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴x+1≥0且x-2≠0，

解得：x≥﹣1且x≠2，

故答案為：x≥﹣1且x≠2.13．【答案】130°【解析】【解答】∵四邊形EFNM由四邊形EFCD折疊而成，

∴∠MEF=∠DEF,

∵AD∥BC,

∴∠DEF=∠EFG,∠2=∠MED,

即∠2=∠MEF+∠DEF,

∵∠EFG＝65°，

∴∠2=65°+65°=130°,

故答案為：130°.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠MEF=∠DEF,再由平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠EFG,∠2=∠MED,結(jié)合已知求得∠EFG＝65°，從而求解.14．【答案】10【解析】【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則該多邊形的內(nèi)角和為(n?2)×180°，依題意得：(n?2)×180°=360°×4，解得：n=10，∴這個多邊形的邊數(shù)是10.故答案為：10.【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為(n-2)×180°，外角和為360°，結(jié)合題意列出關于n的方程，然后求解即可.15．【答案】3【解析】【解答】解：口袋中紅球的個數(shù)為：12×50200故答案為：3.【分析】利用頻率估計概率的方法可得隨機的摸出1個球是紅球的概率為5020016．【答案】6【解析】【解答】∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，

∴a2﹣2a﹣1＝0，ab=-1，a+b=2，

∴a2﹣2a＝1，

∴a2+2b﹣ab=a2+2a-2a+2b﹣ab=(a2-2a)+2(a+b)-ab=1+4-(-1)=6，

故答案為：6.

【分析】利用一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關系得到a2﹣2a＝1，ab=-1，a+b=2，再將a2+2b﹣ab進行變形整體代入即可求解.17．【答案】解：|-3|+（12）﹣1+（π+1）=＝3．【解析】【分析】先計算絕對值、負指數(shù)、0指數(shù)、特殊角的三角函數(shù)，再合并同類二次根式即可求解.18．【答案】解：4(2x-1)＜3x+1①3x-8解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣4，所以不等式組的解集為：﹣4＜x＜1．【解析】【分析】先解不等式①得：x＜1，再解不等式②得：x＞﹣4，從而求解.19．【答案】（1）解：∵∠BCO是△ABC的外角，∴∠ABC＝∠BCO﹣∠A＝55°﹣45°＝10°；（2）解：在Rt△AOB中，∠A＝45°，則OA＝OB，∵AC＝7米，∴OC＝（OB﹣7）米，在Rt△COB中，∠BCO＝55°，∵tan∠BCO=OB∴OBOB-7解得：OB≈23.3，答：新教學樓OB的高度約為23.3米．【解析】【分析】（1）利用三角形的外角和性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA＝OB，結(jié)合AC＝7米表示出OC的長度，利用銳角三角函數(shù)的定義得到tan∠BCO=OB20．【答案】（1）18；6；72（2）解：2000×12答：估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)約為480人；（3）解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，即BB、CC，∴甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為29【解析】【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)為：4÷8%=50（人），m=50×36%=18（人），n=50-18-10-12-4=6（人），文學類書籍對應扇形圓心角等為1050×360°=72°，

【分析】（1）根據(jù)E：其他類的人數(shù)除以其占比求得總?cè)藬?shù)，進而求的m、n以及文學書籍對應扇形的圓心角度數(shù)，從而求解；

（2）利用喜歡閱讀政史類書籍的學生人數(shù)的占比乘以總?cè)藬?shù)即可求解；21．【答案】（1）解：直線BC與⊙O的位置關系是相切，理由如下：如圖，連接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵∠APO=∠CPB，∴∠APO=∠CBP，∴∠A+∠APO=∠OBA+∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠OBA+∠CBP=∠A+∠APO=180°?90°=90°，即∠OBC=90°，∴OB⊥BC，又∵OB是⊙O的半徑，∴直線BC與⊙O的位置關系是相切；（2）解：∵∠AOP=90°，∴AP=2OP=23∴OB=3，∵∠A=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°?∠A?∠OBA=120°，∵∠AOC=90°，∴∠COB=∠AOB?∠AOC=120°?90°=30°，∴OC=2BC，由勾股定理得：OC2=B解得BC=3或BC=?則圖中陰影部分的面積為S△OBC【解析】【分析】（1）連接OB，先證明∠OBA+∠CBP=∠A+∠APO=180°?90°=90°，即∠OBC=90°，再結(jié)合OB是⊙O的半徑，即可得到直線BC與⊙O的位置關系是相切；

（2）先求出∠COB=∠AOB?∠AOC=120°?90°=30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2BC，再利用勾股定理可得(2BC22．【答案】（1）解：設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是(x?200)元．根據(jù)題意，得2000解這個方程，得x=500經(jīng)檢驗，x=500是原方程的根．x?200=300答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元．（2）解：設購買A型編程機器人模型m臺，購買B型編程機器人模型(40?m)臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費w元，由題意得：40?m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0即w=160m+9600，∵160>0，∴w隨m的增大而增大．∴當m=10時，w取得最小值11200，此時40?m=30；答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關系求出2000x=1200x?200，再解方程求解即可；23．【答案】（1）解：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，又∵∠DFC＝∠AFE，∴△AFE∽△CFD，∴AFFC（2）解：①證明：∵AB：AC=3可設AC＝2a，則AB=3由（1）知：AFAC∴AF=1∴AFAB=1∴AFAB又∵∠BAC＝∠FAE，∴△FAE∽△BAC，∴∠AEF＝∠ACB；②證明：∵FG∥AB，∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠FAD＝∠GFD，又∵∠GDF＝∠FDA，∴△GDF∽△FDA，∴DGDF∴DF2＝DG?DA．【解析】【分析】（1）證明△AFE∽△CFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)AB：AC=3：2，可設AC＝2a，則AB=3a，由（1）相似三角形的性質(zhì)得到AFAC24．【答案】（1）√；×；√（2）解：線段AB上存在“郡系點”，理由如下：設直線AB的解析式為y＝kx+m，∴k+m=c2k+m=c+2解得k=2m=c-2∴直線AB的解析式為y＝2x+c﹣2，當2x+c﹣2＝﹣2x+2024時，x=2026-c∵1≤x≤2，2018≤c≤2022，∴線段AB上存在“郡系點”為（2026-c4（3）解：∵a是正整數(shù)，∴a＞0，當a≥2時，a﹣2≥0，即拋物線與y軸的交點在x軸上方或經(jīng)過原點，此時二次函數(shù)的圖象不能經(jīng)過四個象限，∴0＜a＜2，∴a＝1，∴函數(shù)的解析式為y＝x2+（b﹣2024）x﹣1，當x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024時，x1+x2＝2022﹣b，x1?x2＝﹣2025，∵MN＝905，∴905=解得b＝0（舍）或b＝2022，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣1，當x2﹣2x﹣1＝﹣2x+2024時，解得x＝±45，∴M（45，2114），N（﹣45，2114）或M（﹣45，2114），N（45，2114）．【解析】【解答】解：（1）①∵點（1，2022），

∴2×1+2022=2024，

∴點（1，2022）為“郡系點”，故打√；

②∵（﹣1，n）為“郡系點”，

∴2×（-1）+n=2024，

解得n=2026，

該“郡系點”為（﹣1，2026），

∵y=mx的圖象經(jīng)過該“郡系點”，

∴m=-1×2026=-2026，故m=2025錯誤，此處打×；n=2026，此處打√；

【分析】（1）①根據(jù)“郡系點”的定義進行判斷即可求解；②根據(jù)“郡系點”的定義求出n的值得到該“郡系點”的坐標，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征即可求解；

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+m，利用待定系數(shù)法求得k、m的值，從而得到直線AB的表達式，根據(jù)“郡系點”的定義得到x的方程，解方程求得x的值，結(jié)合x、c的取值范圍，從而得出結(jié)論；

（3）由二次函數(shù)的圖象特點以及a的取值范圍確定a的值為1，當x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024時，利用韋達定理可得x1+x2＝2022﹣b，x1?x2＝﹣2025，進而得到9025．【答案】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+8過點B(4∴16a+4b+8=8解得：b=∴拋物線解析式為y=?1（2）解：∵拋物線y=?18x2+當x=0時，y=8，∴A(0，8)，則∵B(4，∴AB∥x，AB=4，∵點F是OA的中點，則F(0，∴AB=AF=4，設直線BC的解析式為y=kx+b，∵點B(4，8)和點∴8=4k+b解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+12，設E(m，如圖所示，過點E作EG⊥AB交AB的延長線于點G，則∠G=90°，則G的坐標為(m，∴GE=8?(?m+12)=m?4，BG=m?4∴BG=GE，∴△BGE是等腰直角三角形，設D(t，8)，則∵DE⊥FD，∴∠FDE=90°，∵∠FAD=∠G=∠FDE=90°，∴∠AFD=90°?∠ADF=∠GDE，∴△AFD∽△GDE∴AD∴t即(t?4)m=(t?4)(t+4)∵m>4∴m=t+4即m?t=4，∴DG=AF，∴△AFD≌△GDE∴DF=DE