2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷第Ⅰ卷選擇題（68分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，每小題只有1個(gè)選項(xiàng)符合題意。1．集合A=yy=x2,x∈RA．? B．R C．0,1 D．?2．已知復(fù)數(shù)z=2i1?iA．z=2 B．zC．z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限 D．z3．設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+34．設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．245．若tan(α+π4)=?3,tanA．?1 B．75 C．35 6．已知函數(shù)fx=ex?1exA．1,+∞ B．?∞,?2 C．?7．將函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<π2的圖象向左平移πA．fx在區(qū)間2π3,πC．f12>f8．已知圓C的方程為(x?1)2+(y?1)2=2，點(diǎn)P在直線y=x+3上，線段AB為圓C的直徑，則A．2 B．52 C．3 D．9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?1?1,0<x≤212A．?4 B．4 C．8 D．?4或810．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x)+f(3?x)=4,f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則f3A．?3 B．3 C．?1 D．1二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分。11．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+bC．log2a+log12．等差數(shù)列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S1013．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量為2C．若OA?FC=1+2D．若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH第=2\*ROMANII卷非選擇題（82分）三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。14．函數(shù)f(x)=x3?2lnx15．設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6ω>016．設(shè)A,B,C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則cosA3sin四、解答題：本題共4小題，共64分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（16分）已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)fx18．（16分）已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論fx(2)當(dāng)a<0，證明：f(x)≤?219．（16分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足1?sin(1)求證：A+2B=π(2)求a220．（16分）歐拉（1707-1783），他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率π(1)將復(fù)數(shù)eπ3i+eπi表示成(2)求eπ(3)若zn=1，則z=zkk=0,1,2,?,n?1，這里zk=cos2kπn+isin2kπ高三期中數(shù)學(xué)解析一、單選題1．集合A=yy=x2,x∈RA．? B．R C．0,1 D．?【正確答案】C【分析】化簡集合A,B，根據(jù)交集的定義計(jì)算A∩B．【詳解】因?yàn)榧螦=y|y=化簡B=x|y=1?x,故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z=2i1?A．z=2 B．zC．z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限 D．z【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到z=?1+i【詳解】由復(fù)數(shù)z=2對(duì)于A中，由z=對(duì)于B中，復(fù)數(shù)z=?1+i的虛部為1對(duì)于C中，復(fù)數(shù)z=?1+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(?1,1)對(duì)于D中，復(fù)數(shù)z=?1+i的共軛復(fù)數(shù)為z故選：A.3．設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+3【正確答案】C【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)a⊥b時(shí)，則所以x?(x+1)+2x=0，解得x=0或?3，即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)x=0時(shí)，a=1,0,所以a⊥對(duì)B，當(dāng)a//b時(shí)，則2(x+1)=x對(duì)D，當(dāng)x=?1+3時(shí)，不滿足2(x+1)=x2故選：C.4．設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1<0，S7=A．10 B．12 C．15 D．24【正確答案】B【分析】根據(jù)前n項(xiàng)和的定義結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得a12+a【詳解】因?yàn)镾7=S又因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，則a可得5a12+且a1<0，可知即當(dāng)n≤12時(shí)，an<0；當(dāng)n≥13時(shí)，所以當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n故選：B.5．若tan(α+π4)=?3,tanA．?1 B．75 C．35 【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出tanα【詳解】由tan(α+π4)=?3，得tanα+1所以cos(α?β)故選：B6．已知函數(shù)fx=ex?1exA．1,+∞ B．?∞,?2 C．?【正確答案】C【分析】先用定義法證明fx為奇函數(shù)，化簡f(x)解析式可知f(x)【詳解】因?yàn)閒?x=e又因?yàn)閒x所以fx為R因?yàn)閒m2+f所以fm又fx為R上的增函數(shù)，所以m即m2+m?2>0，解得m<?2或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞故選：C.7．將函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<π2的圖象向左平移πA．fx在區(qū)間2π3,πC．f12>f【正確答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可知gx=cosωx+π3ω+φ；根據(jù)圖象、gx的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可確定最小正周期T，從而得到ω；由gx【詳解】由題意知：gx由圖象可知：T4<π3，則∴T=4×0+π4∵gx為奇函數(shù)，∴解得：φ=?π6+kπk∈Z，又φ對(duì)于A，當(dāng)x∈2π3,π時(shí)，2x?π對(duì)于B，fπ對(duì)于C，f12=∵y=cosx在0,π2上單調(diào)遞減，對(duì)于D，f?1=cos∵y=cosx在π2∴0>cos2+π6>故選：D.8．已知圓C的方程為(x?1)2+(y?1)2=2，點(diǎn)P在直線y=x+3上，線段ABA．2 B．52 C．3 D．【正確答案】B將PA?PB轉(zhuǎn)化為|PC|2【詳解】PA?PB=(PC+本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查點(diǎn)到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?1?1,0<x≤212A．?4 B．4 C．8 D．?4或8【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)在x≥0時(shí)圖象，換元f(x)=t解方程可得t=a或t=1，利用圖象求出交點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)，注意利用函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分t=a=12與【詳解】作出函數(shù)在x≥0時(shí)的圖象，如圖所示，

設(shè)f(x)=t，則關(guān)于x的方程[f(x)]2?(a+1)f(x)+a=0(a∈解得：t=a或t=1，如圖，

當(dāng)t=1時(shí)，即f(x)=1對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)為x1（1）t=a=12，即f(x)=1此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為8；（2）t=a=?12，即f(x)=?1此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為?4.故選：D解決此類問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，第一換元后對(duì)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化求解t=a或t=1，第二結(jié)合函數(shù)圖象處理方程f(x)=t有四個(gè)根，即要轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合，看圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)及橫坐標(biāo)即可求解.10．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x)+f(3?x)=4,f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，函數(shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，則f32+gA．?3 B．3 C．?1 D．1【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，利用賦值法分析f32的值，對(duì)f(x)+f(3?x)=4求導(dǎo)，結(jié)合g(x)的對(duì)稱性分析g(x)的周期，分析求出【詳解】根據(jù)題意，f(x)滿足f(x)+f(3?x)=4，令x=32可得：f3又由f(x)+f(3?x)=4，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：f′(x)?f因?yàn)楹瘮?shù)y=g(1+3x)?1為奇函數(shù)，所以g(1?3x)?1=?[g(1+3x)?1]=?g(1+3x)+1，即，g(1?3x)+g(1+3x)=2所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，則有g(shù)(x)+g(2?x)=2②，且g(1)=1，聯(lián)立①②可得：g(3?x)+g(2?x)=2，變形可得g(x)+g(x+1)=2，則有g(shù)(x+1)+g(x+2)=2，綜合可得：g(x+2)=g(x)，即函數(shù)g(x)是周期為2的周期函數(shù)，所以g(2024)=g(2)=g(1)=1，故f3故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)、奇偶性求解函數(shù)g(x)的周期.二、多選題11．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．a(chǎn)2+bC．log2a+log【正確答案】ABD【分析】根據(jù)a+b=1，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，a2+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1對(duì)于B，a?b=2a?1>?1，所以2a?b對(duì)于C，log2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1對(duì)于D，因?yàn)閍+所以a+b≤故選：ABD本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12．等差數(shù)列an中，a1>0A．若a3+B．若S15>0，SC．若a1+a2D．若a8=S10【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】等差數(shù)列an中，a對(duì)于A，a3+a對(duì)于B，S15=15(a1則a8+a9<0，a對(duì)于C，a5+a對(duì)于D，設(shè)an的公差為d，由a8=S10則S9=9a故選：ACD13．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BGB．AD在AB向量上的投影向量為2C．若OA?FC=1+2D．若P在線段BC上，且AP=xAB+yAH【正確答案】BD【分析】以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算BG≠2AH，A錯(cuò)誤，投影向量為22【詳解】如圖所示：以AE為y軸，GC為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，則2=a2+A0,?aG?a,0，H?2對(duì)選項(xiàng)A：BG=?a?22a,對(duì)選項(xiàng)B：AD=D22AD?ABAB對(duì)選項(xiàng)C：OA?PA?OA?FC=1+2對(duì)選項(xiàng)D：AP=x0,yAP=xAB+y整理得到x+y=y0+aa?2故選：CD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了向量的運(yùn)算，投影向量，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中建立直角坐標(biāo)系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，可以減少計(jì)算量，是解題的關(guān)鍵.三、填空題14．函數(shù)f(x)=x3?2lnx【正確答案】x?y=0【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，f1=1，則切點(diǎn)為1,1，因?yàn)閒′所以fx在點(diǎn)1,1處的切線斜率為1，則切線方程為y?1=1?x?1故x?y=015．設(shè)函數(shù)fx=sinωx+π6ω>0【正確答案】7【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】x∈0,π，則f(x)在區(qū)間0,π恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則5π解得73故7316．設(shè)A,B,C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則cosA3sin【正確答案】?【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦公式、輔助角公式、結(jié)合換元法得到ft【詳解】cos=cos令3+4cos所以cosA要想cosA3sinB+4sin于是有a2設(shè)fA因?yàn)閏osA<0所以f令cosA=t?1<t<0，即當(dāng)?1<t<?2536時(shí)，f′當(dāng)?2536<t<0時(shí)，f因此當(dāng)t=?2536時(shí)，函數(shù)ft所以fA的最小值為?此時(shí)cosA=?2536即存在tanθ=6712>1,θ∈π即cosA3sin故?關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理把三個(gè)變量變成二個(gè)變量問題，最后利用輔助角公式就成一個(gè)變量，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求最值.四、解答題17．已知向量m=3sinx2,sinx2(1)求常數(shù)a的值；(2)求函數(shù)fx【正確答案】(1)3(2)2π【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算、二倍角和輔助角公式可化簡fx，根據(jù)正弦型函數(shù)最大值可構(gòu)造方程求得a（2）采用整體代換的方式，構(gòu)造不等式π2【詳解】（1）∵m∴fx=2sinx?π6（2）由（1）知：fx令π2+2kπ∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為2π318．已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論fx(2)當(dāng)a<0，證明：f(x)≤?2【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行通分再對(duì)其分子因式分解，分類討論a≥0與a<0時(shí)f(x)的單調(diào)性即可.（2）求出f(x)max，將所證轉(zhuǎn)化為fx【詳解】（1）∵f(x)=lnx+ax則f′①當(dāng)a≥0時(shí)，f′x>0，f②當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x∈0,?1a時(shí)，f′x當(dāng)x∈?1a,+∞時(shí)，f綜上，①當(dāng)a≥0時(shí)，fx在0,+②當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,?1a上單調(diào)遞增，在（2）由（1）可得，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)要證fx只需證fx即證ln?令t=?1a，gt當(dāng)t∈0,1時(shí)，g′t當(dāng)t∈1,+∞時(shí)，g′∴gt的最大值為g1=0∴l(xiāng)n?∴原命題得證.即：當(dāng)a<0時(shí)，fx≤?19．△ABC的內(nèi)