江蘇省鎮(zhèn)江一中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省鎮(zhèn)江一中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.2.已知△ABC中,.點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.2 B. C. D.3.已知函數(shù),其中表示不超過的最大正整數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.的值域是 B.是奇函數(shù)C.是周期函數(shù) D.是增函數(shù)4.設(shè),,分別是中,,所對(duì)邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則()A.4 B.3 C.2 D.17.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.8.設(shè)集合,,若,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb10.若函數(shù)的圖象過點(diǎn),則它的一條對(duì)稱軸方程可能是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度12.若滿足,且目標(biāo)函數(shù)的最大值為2,則的最小值為()A.8 B.4 C. D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)14.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對(duì)角線折起,使得二面角為,此時(shí)點(diǎn),,,在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(,)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P,Q.若為直角三角形,則該雙曲線的離心率是______.16.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),求;(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.20.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.21.(12分)如圖,平面四邊形為直角梯形,,,,將繞著翻折到.(1)為上一點(diǎn),且,當(dāng)平面時(shí),求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí),求與平面所成角的正弦.22.(10分)如圖,底面是等腰梯形,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為邊作正方形,且平面平面.(1)證明:平面平面.(2)求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.2、D【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,可得,設(shè),運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,求得點(diǎn)A的軌跡,進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù),可得最小值.【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的直角坐標(biāo)系,可得,設(shè),由,可得,即,則,當(dāng)時(shí),的最小值為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù),可構(gòu)建函數(shù)圖象,即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性,進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù),其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù),故正確;選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性,故錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題干的理解,屬于函數(shù)新定義問題,可作出圖象分析性質(zhì),屬于較難題.4、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點(diǎn):直線與直線的位置關(guān)系5、B【解析】

列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.6、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得,即,已知,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本量的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8、C【解析】

由得出,利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,且,,.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】試題分析:對(duì)于選項(xiàng)A,,,,而,所以,但不能確定的正負(fù),所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,,,兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.10、B【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對(duì)稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:12、A【解析】

作出可行域,由,可得.當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【詳解】作出可行域,如圖所示由,可得.平移直線,當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最大,即最大,最大值為2.解方程組,得..,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.的最小值為8.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查基本不等式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、y=2x【解析】試題分析:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=ex-1+x.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=ex-1+x,所以f'【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識(shí)拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)y=f(x),則當(dāng)x<0時(shí),求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論:若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)的解析式為y=-f(x);若f(x)為奇函數(shù),則函數(shù)的解析式為y=-f(-x).14、【解析】

分別取,的中點(diǎn),,連接,由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點(diǎn),,連接,則易得,,,,由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算,屬于中檔題.15、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形,且為中點(diǎn)可得,再由雙曲線的性質(zhì)可得,解出即得.【詳解】由題,設(shè)點(diǎn),由,解得,即線段,為直角三角形,,且,又為雙曲線右焦點(diǎn),過點(diǎn),且軸,,可得,,整理得:,即,又,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),是??碱}型.16、1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)證明見解析【解析】

(1),分,討論即可;(2)由題可得到,故只需證,,即,采用換元法,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.【詳解】由已知,,若,則在定義域內(nèi)遞增;若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)由題意,對(duì)求導(dǎo)可得從而,是的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),因此下證:,即證令,即證:,對(duì)求導(dǎo)可得,,,因?yàn)楣?,所以在上單調(diào)遞減,而,從而所以在單調(diào)遞增,所以,即于是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式,考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,是一道有一定難度的壓軸題.18、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化簡得到直線的普通方程化為,,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計(jì)算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因?yàn)椋?,所?【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、(I)|FP|=2-32x【解析】

(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2?故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度,定值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,利用公式計(jì)算出平均數(shù)的值,再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為,,利用題中所給數(shù)據(jù),以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對(duì)稱性,求出對(duì)應(yīng)的概率;(2)根據(jù)題意,高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為,再結(jié)合得元、元的概率,分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)都有哪些,再利用公式求得對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而得出分布列,之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意可得,易知,,,;(2)根據(jù)題意,可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、元,,,,.所以,隨機(jī)變量的分布列如下表所示:所以,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望,在解題時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型,結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對(duì)應(yīng)事件的概率,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1);(2).【解析】

(1)連接交于點(diǎn),連接,利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出,然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值;(2)取中點(diǎn),連接、,過點(diǎn)作,則,作于,連接,推導(dǎo)出,,可得出為平面與平面所成的銳二面角,由此計(jì)算出、,并證明出平面,可得出直線與平面所成的角為,進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)連接交于點(diǎn),連接,平面,平面,平面平面,,在梯形中,,則,,,,所以,;(2)取中點(diǎn),連接、,過點(diǎn)作,則,作于,連接.為的中點(diǎn),且,,且,所以,四邊形為平行四邊形,由于,,,,,,,為的中點(diǎn),所以,,,同理

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