安徽師范大學附中2025屆高考考前模擬數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽師范大學附中2025屆高考考前模擬數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正項等比數(shù)列中,存在兩項,使得,,則的最小值是()A. B. C. D.2.某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多3.已知函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知復數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知命題若,則,則下列說法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”6.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.7.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.88.已知雙曲線的實軸長為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點,點在雙曲線上運動,若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.10.已知在平面直角坐標系中,圓:與圓:交于,兩點,若,則實數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-211.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學、英語各節(jié),自習課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.12.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.請列舉用0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù):___________.15.已知,則_____.16.在正方體中,為棱的中點,是棱上的點,且,則異面直線與所成角的余弦值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對的邊分別為,且,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實數(shù)的值.(2)若,,求正實數(shù)的取值范圍.20.(12分)設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列的前n項和為Tn,且,其中p為常數(shù).(1)求p的值;(2)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1,且y=2”.21.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達公路,中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機抽取4個路口,恰有個路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822.(10分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比,進而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號,所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當,時;當,時;當,時,,所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)兩個圖形的數(shù)據(jù)進行觀察比較,即可判斷各選項的真假.【詳解】在A中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的;在B中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的,所以是正確的;在C中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運營崗位的人數(shù)90后比80后多,所以是正確的;在D中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.故選:D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定,以及統(tǒng)計圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應用,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點情況:易知為的一個零點;對于當時,由代入解析式解方程可求得零點,結(jié)合即可求得的范圍;對于當時,結(jié)合導函數(shù),結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點,即.由圖像可知,,所以是的一個零點,當時,,若,則,即,所以,解得;當時,,則,且若在時有一個零點,則,綜上可得,故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法,函數(shù)零點定義及應用,根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導數(shù)的幾何意義應用,屬于中檔題.4、B【解析】

分別比較復數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時,所以,,所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義,考查學生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

解不等式,可判斷A選項的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項錯誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項正確;命題的否命題是“若,則”,C選項錯誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項錯誤.故選:B.【點睛】本題考查四種命題的關(guān)系,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.7、B【解析】

先求出向量,的坐標,然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動,則,當時,此時,所以,,所以;當軸時,,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.9、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.10、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上,從而可求.【詳解】因為,所以O(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個圓心的連線上,,,三點共線,所以,得,故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.11、C【解析】

根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學都安排在上午;②語文和數(shù)學一個安排在上午,一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進行討論:①語文和數(shù)學都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學都一個安排在上午,一個安排在下午.語文和數(shù)學一個安排在上午,一個安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時,排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分類計數(shù)原理的應用,屬于中等題.12、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標函數(shù)過點時取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.14、231,321,301,1【解析】

分個位數(shù)字是1、3兩種情況討論,即得解【詳解】0,1,2,3這4個數(shù)字所組成的無重復數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有:(1)當個位數(shù)字是1時,數(shù)字可以是231,321,301;(2)當個位數(shù)字是3時數(shù)字可以是1.故答案為:231,321,301,1【點睛】本題考查了分類計數(shù)法的應用,考查了學生分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

對原方程兩邊求導,然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導,得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題,建立空間直角坐標系,寫個各個點的坐標,并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形,以為原點建立空間直角坐標系:設(shè)正方體的棱長為1,則所以所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故答案為:.【點睛】本題考查了異面直線夾角的求法,利用空間向量求異面直線夾角,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】

(1)運用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因為為銳角三角形,所以,解得因此,那么【點睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學運算能力.18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是和;(2)最大值是.【解析】

(1)求得,由題意可知和是函數(shù)的兩個零點,根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化,進而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;(2)由(1)中的結(jié)論知,函數(shù)的極小值為,進而得出,解出、、的值,然后利用導數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】(1),令,因為,所以的零點就是的零點,且與符號相同.又因為,所以當時,,即;當或時,,即.所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是和;(2)由(1)知,是的極小值點,所以有,解得,,,所以.因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值,故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者,而,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)1(2)【解析】

(1)求得和,由,,得,令,令導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因為,所以在單調(diào)遞增,又,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;所以,當且僅當時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當時,.又由上式得,當時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;故.(ii)若時,,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當時,此時,,,則需由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.②當時,此時,,則當時,(由(*)知);當時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20、(1)p=2;(2)見解析(3)見解析【解析】

(1)取n=1時,由得p=0或2,計算排除p=0的情況得到答案.(2),則,相減得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化簡得到,得到證明.(3)分別證明充分性和必要性,假設(shè)an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),計算化簡得2x﹣2y﹣2=1,設(shè)k=x﹣(y﹣2),計算得到k=1,得到答案.【詳解】(1)n=1時,由得p=0或2,若p=0時,,當n=2時,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合題意,故p=2;(2)當p=2時,①,則②,②﹣①并化簡得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,則3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因為,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次為,,,滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列;必要性:假設(shè)an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),又,所以,化簡得2x﹣2y﹣2=1,顯然x>y﹣2,設(shè)k=x﹣(y﹣2),因為x、y均為整數(shù),所以當k≥2時,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故當k=1,且當x=1,且y﹣2=0時上式成立,即證.【點睛】本題考查了根據(jù)數(shù)列求參數(shù),證明

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