2025屆江西省九江市第三中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆江西省九江市第三中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成，則這個(gè)幾何體的表面積是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．3．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．45．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，的大小關(guān)系為()A． B．C． D．7．已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．6748．已知下列命題：①“”的否定是“”；②已知為兩個(gè)命題，若“”為假命題，則“”為真命題；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為（）A．③④ B．①② C．①③ D．②④9．已知中，，則（）A．1 B． C． D．10．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．16011．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．12．對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析．①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗(yàn)成績每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．14．已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.15．若為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．已知三棱錐中，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對稱.（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：.18．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.（1）求和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和，并證明：對任意的正整數(shù)m、k，均有.19．（12分）某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（2）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機(jī)選2所．（i）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn．21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于Q，線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N，D為線段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.22．（10分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；⑶若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的，所以它的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.2、D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．3、B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線上方，先求出兩者相切時(shí)的值，然后根據(jù)變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠(yuǎn)在的上方，設(shè)與的切點(diǎn)，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍．4、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)為，則雙曲線的焦點(diǎn)也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．5、A【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)題意，得，，則為減函數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，可比較和，而，比較，即可比較.【詳解】因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以，，所以函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又，，則|，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.7、B【解析】

由題知為奇函數(shù)，且可得函數(shù)的周期為3，分別求出知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的和是0，利用函數(shù)周期性對所求式子進(jìn)行化簡可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故；因?yàn)?，故，可知函?shù)的周期為3；在中，令，故，故函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和為0，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．8、B【解析】

由命題的否定，復(fù)合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關(guān)系對每個(gè)命題進(jìn)行判斷．【詳解】“”的否定是“”，正確；已知為兩個(gè)命題，若“”為假命題，則“”為真命題，正確；“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤；“若，則且”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯(cuò)誤.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ)．9、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.10、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.11、C【解析】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．12、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯(cuò)誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗(yàn)中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．14、0【解析】

由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點(diǎn)處的切線方程為，，代入得①.又②.聯(lián)立①②解得：..故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由為假，可知為真，所以對任意實(shí)數(shù)恒成立，求出的最小值，令即可.【詳解】因?yàn)闉榧?，則其否定為真，即為真，所以對任意實(shí)數(shù)恒成立，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用，利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、【解析】

設(shè)的中心為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，如圖所示因?yàn)?，，所以，，，又二面角的大小為，則，，所以，設(shè)外接球半徑為R，則，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計(jì)算量較大，是一道難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可得．則．即．詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．已知在直線上，故可設(shè)．因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榕c軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以．由消去并整理得：．設(shè)，則，那么．所以．所以，即．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．18、（1），；（2），證明見解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．19、（1）（2）（i）（ii）分布列見解析，【解析】

（1）先計(jì)算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率，利用事件的獨(dú)立性即得解；（2）（i）分別計(jì)算每個(gè)事件的概率，再利用事件的獨(dú)立性即得解；（ii），利用事件的獨(dú)立性，分別計(jì)算對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得解.【詳解】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學(xué)都選高校，共有四種情況，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為．（2）（i）甲同學(xué)必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率為．（ii），因此，．即的分布列為0123因此數(shù)學(xué)期望為．【點(diǎn)睛】本題考查了事件獨(dú)立性的應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，實(shí)際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯(cuò)位相減法求出，運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思