清單01 三角形（10個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）解析版

清單01三角形（10個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．（2）按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．（4）三角形具有穩(wěn)定性．1．（2022秋?金平區(qū)期末）如圖，圖中三角形的個數(shù)共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據三角形的定義，找出圖中所有的三角形，數(shù)出其個數(shù)即可得出結論．【解答】解：圖中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故選：C．【點評】本題考查了三角形，牢記三角形的定義是解題的關鍵．2．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）已知一個三角形的周長為15厘米，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么這個三角形的最短邊為．【分析】可設這個三角形的最短邊為x厘米，根據三角形的周長為15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：設這個三角形的最短邊為x厘米，依題意有x+2x+2x＝15，5x＝15，x＝3．故這個三角形的最短邊為3厘米．故答案為：3厘米．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，本題關鍵是根據三角形的周長公式列出方程求解．考點二．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．3．（2022秋?龍馬潭區(qū)期末）畫△ABC的BC邊上的高，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據高的畫法可知，畫△ABC的BC邊上的高，即過點A作BC邊的垂線．【解答】解：畫△ABC的BC邊上的高，即過點A作BC邊的垂線．故選：C．【點評】鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部．4．（2022秋?榮昌區(qū)期末）下列說法中正確的是（）A．平分三角形內角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經過頂點和對邊中點的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內【分析】根據三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【解答】解：A、三角形的角平分線是一條線段，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、三角形的中線是經過頂點和對邊中點的線段，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、鈍角三角形的二條高都在三角形外，最長邊上的高在三角形內，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、三角形的三條中線總在三角形內，本選項說法正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．5．（2022秋?南陽期末）已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周長）且AB＝4，則AC＝．【分析】（1）取BC的中點D，然后連接AD即可；（2）作∠ADB的平分線交AB于M點；（3）過C點作CN⊥AD于N點；（4）利用三角形中線的定義得到BD＝CD，然后利用三角形周長的定義得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，從而可計算出AC．【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，DM為所作；（3）如圖，CN為所作；（4）∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案為：7．【點評】本題考查三角形的中線，高線，角平分線，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的角平分線、中線和高．考點三．三角形的穩(wěn)定性當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應用在實際生活中．6．（2022秋?白云區(qū)期末）人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．兩直線平行，內錯角相等 D．三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據三角形的穩(wěn)定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故選：D．【點評】此題考查了三角形的性質，關鍵是根據三角形的穩(wěn)定性解答．7．（2022秋?北侖區(qū)期末）生活中，自行車的車架大多設計成如圖所示的三角形，這是因為三角形具有．【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：因為三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：穩(wěn)定性．【點評】本題考查的是三角形的性質，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．考點四．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最?。ǖ冗吶切危?．（2021秋?翔安區(qū)期末）如圖，G是△ABC的重心，則下列結論正確的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD且AD⊥BC【分析】根據三角形的重心是三角形中線的交點，再由中線的定義即可判斷．【解答】解：如圖，∵點G為△ABC的重心，∴AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，故選：B．【點評】本題考查三角形的中線的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．9．如圖，△ABC的中線AD，BE相交于點F，F(xiàn)H⊥BC，垂足為H．若S△ABC＝15，BC＝6，則FH長為．【分析】連接FC，由三角形的中線與面積的關系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，則有S△BCF＝S△BEC＝5，進而問題可求解．【解答】解：連接FC，如圖所示：∵AD、BE是△ABC的中線，S△ABC＝15，∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，∴S△AEF＝S△BDF，∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，∴S△BCF＝S△BEC＝5，∵S△BCF＝BC?FH＝×6FH＝5，∴FH＝．故答案為：．【點評】本題主要考查三角形的中線與面積的關系，熟練掌握三角形的中線與面積的關系是解題的關鍵．考點五．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．10．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）三角形的三邊長可以是（）A．2，2，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．2，4，6【分析】根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可得出答案．在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．【解答】解：A．∵2+2＝4，∴不能構成三角形，不符合題意；B．∵2+3＝5，∴不能構成三角形，不符合題意；C．∵2+4＞5，∴能組成三角形，符合題意；D．∵2+4＝6，∴不能構成三角形，不合題意．故選：C．【點評】此題考查了三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．11．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，將長為8的線段AB分成三條線段AC，CD，BD，且AC＝BD＝a，若這三條線段首尾相連能夠圍成一個三角形，則a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的三邊關系構建不等式求解．【解答】解：由題意，，∴2＜a＜4．∴a＝3符合題意．故選：B．【點評】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建不等式解決問題．12．（2022秋?安次區(qū)期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整數(shù)，求BC的長；（2）已知AD是△ABC的中線，若△ACD的周長為10，求三角形ABD的周長．【分析】（1）根據三角形的三邊關系解答即可；（2）根據三角形的中線的定義得到BD＝CD，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整數(shù)，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD∵△ACD的周長為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．考點六．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．13．（2022秋?嘉魚縣期末）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點I．∠BIC＝115°，則∠A為（）A．70° B．65° C．50° D．30°【分析】設∠A＝α，利用角平分線的性質得，再根據∠BIC＝115°得∠OBC+∠OCB＝65°，所以求解即可．【解答】解：設∠A＝α，則∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠BIC＝115°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣115°＝65°，∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點I，∴，即，解之得：α＝50°，故選：C．【點評】本題考查角平分線的性質，三角形內角和定理，解一元一次方程，解題的關鍵是找出等量關系進行求解．14．（2022秋?莘縣期末）如圖，△ABC中，點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，若∠P＝2∠A，則∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】先根據角平分線的定義得：∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再由三角形內角和定理和已知可得結論．【解答】解：∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°﹣（180°﹣∠P），∵∠P＝2∠A，∴∠A＝60°，故選：B．【點評】此題考查的知識點是三角形內角和定理與角平分線的定義，結合圖形，靈活運用基本知識解決問題．15．（2022秋?花溪區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A＝70°，求∠D的度數(shù)．【分析】先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，再由角平分線的定義推出∠DBC+∠DCB＝55°，進而利用三角形內角和定理求出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴，∴，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝125°．【點評】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內角和為180°是解題的關鍵．16．（2022秋?章貢區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD與AE交于點F，求∠AFB．【分析】首先利用三角形的內角和求出∠CAB＝40°，然后利用角平分線的性質求出∠DAF＝20°，最后利用三角形的外角與內角的關系及垂直的定義即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，而∠ABC＝82°，∠C＝58°，∴∠CAB＝40°，∵AE平分∠CAB，∴∠DAF＝20°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB＝90°，∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．故答案為：110°．【點評】本題考查了三角形的內角和等于180°求解，是基礎題，準確識別圖形是解題的關鍵．17．（2022秋?濰坊期末）通過學習第5章《幾何證明初步》知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結論還需要通過證明來確認它的正確性，實驗的方法能給我們證明提供思路．例如：在證明“三角形的內角和是180°”的結論時，如圖2，有兩種實驗方法．小明受實驗方法1的啟發(fā)，形成了證明該結論的思路，寫出了已知、求證，并進行了證明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內角．求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：延長BC，過點C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的證明過程依據有哪些？（寫兩條即可）（2）請你參考小明同學解決問題的方法1的思路，寫出實驗方法2的證明過程．【分析】（1）結合平行線的判定，平角的定義對過程進行分析即可；（2）過點A作直線l∥BC，利用平行線的性質，可得出∠3＝∠B，∠4＝∠C，結合平角等于180°，即可證出∠BAC+∠B+∠C＝180°．【解答】（1）解：依據是：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；平角的定義．（2）證明：如圖所示，過點A作直線l∥BC，∴∠3＝∠B，∠4＝∠C．∵∠BAC+∠3+∠4＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的性質，牢記“兩直線平行，內錯角相等”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵．考點七．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．18．（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根據角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和，可求出∠A的度數(shù)，根據補角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據三角形的內角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故選：C．【點評】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，解答的關鍵是明確：一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和以及補角的定義以及三角形的內角和為180°．19．（2022秋?昭陽區(qū)校級期末）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°，∠DCE＝55°，則∠A等于（）A．65° B．75° C．85° D．95°【分析】根據角平分線的定義求出∠ACD，根據三角形的外角性質計算，得到答案．【解答】解：∵CE是∠ACD的平分線，∠DCE＝55°，∴∠ACD＝2∠DCE＝110°，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣35°＝75°，故選：B．【點評】本題考查三角形的外角性質、角平分線的定義，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．考點八．直角三角形的性質（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．20．（2022秋?江門期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在邊AC上點E處，若∠B＝65°，則∠ADE的大小為（）A．40° B．50° C．65° D．75°【分析】根據直角三角形兩銳角互余可得∠A＝25°，再由折疊可得∠CED的度數(shù)，再根據三角形外角的性質可得∠ADE的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，∴∠A＝90°﹣65°＝25°，根據折疊可得∠CED＝∠B＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故選：A．【點評】此題考查了直角三角形的性質，折疊的性質，以及三角形外角的性質，關鍵是掌握直角三角形兩銳角互余．21．（2022秋?寧波期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．75° C．55° D．65°【分析】根據三角形的內角和定理計算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，故選：D．【點評】本題考查直角三角形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．22．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，則∠B的度數(shù)為（）A．5 B．25° C．35° D．45°【分析】根據直角三角形的性質計算可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故選：B．【點評】本題主要考查直角三角形的性質，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關鍵．考點九．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側．②每個內角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．23．（2022秋?柳州期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由多邊形的概念，通過實際操作，即可解決問題．【解答】解：把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是6邊形．故選：D．【點評】本題考查多邊形，關鍵是動手實踐得到答案．24．（2023秋?德惠市校級期末）一個凸多邊形的內角中，最多有個銳角．【分析】根據任意凸多邊形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3個鈍角，則內角中，最多有3個銳角．【解答】解：一個凸多邊形的內角中，最多有3個銳角．【點評】注意每個內角與其相鄰的外角是鄰補角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內角的情況可以借助外角來分析．25．（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長度為1的正方形網格中，如果一個凸多邊形的頂點都是網格線交點，我們稱其為格點凸多邊形，并記該格點多邊形的面積為S，多邊形內部的格點數(shù)為N，多邊形邊上的格點數(shù)為L．（1）對于圖中的五個凸多邊形，補全以下表格：多邊形面積S內部格點數(shù)N邊上格點數(shù)LN+ⅠⅡ7488ⅢⅣ951010Ⅴ15.5111116.5（2）借助以上表格猜想格點凸多邊形的面積公式：S與N+的數(shù)量關系可用等式表示為；（3）已知格點長方形ABCD，設其邊長AB＝m，BC＝n，其中m，n為正整數(shù)．請以格點長方形ABCD為例，嘗試證明（2）中的格點凸多邊形的面積公式．【分析】（1）由三角形，梯形面積公式可求圖形的面積，由圖形可知圖形內部格點數(shù)，邊上格點數(shù)；（2）由（1）即可總結結論；（3）用m，n表示出長方形的面積，長方形內部格點數(shù)，邊上格點數(shù)，即可解決問題．【解答】解：（1）Ⅰ的面積是×3×4＝6，內部格點數(shù)是N＝3，邊上的格點數(shù)是L＝8，N+＝7，Ⅲ的面積是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，內部格點數(shù)是N＝2，邊上的格點數(shù)是L＝9，N+＝6.5．故答案為：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．（2）由（1）可以總結出結論：S＝N+﹣1，故答案為：S＝N+﹣1．（3）長方形的面積＝mn，內部格點數(shù)是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，邊上的格點數(shù)是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，∴S＝N+﹣1．【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是由長方形的長AB＝m，寬CD＝n，表示出，長方形內部格點數(shù)，邊上格點數(shù)．考點十．多邊形內角與外角（1）多邊形內角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．26．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（）A．180° B．210° C．240° D．270°【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補得到以點A、點E為頂點的五邊形的兩個外角的度數(shù)之和等于180°，再根據多邊形的外角和定理列式計算即可得解．【解答】A解：延長BA，DE，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，根據多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質，多邊形的外角和定理，是基礎題，理清求解思路是解題的關鍵．27．（2022秋?密山市校級期末）十二邊形的外角和是（）A．180° B．360° C．1800° D．2160°【分析】根據任何多邊形的外角和是360°即可求解．【解答】解：十二邊形的外角和是360°．故選：B．【點評】本題考查了多邊形的外角和，理解任何多邊形的外角和是360度是關鍵．28．（2022秋?周村區(qū)期末）如果一個多邊形的內角和等于其外角和的2倍，那么這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據多邊形的內角和的計算公式與外角和是360°列出方程，解方程即可．【解答】解：設這個多邊形邊數(shù)是n，根據題意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6，即這個多邊形是六邊形，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查的是多邊形的內角和與外角和，一元一次方程的應用，掌握n邊形的內角和為（n﹣2）?180°、外角和是360°是解題的關鍵．29．（2022秋?青云譜區(qū)期末）已知一個正多邊形的內角和比外角和的3倍多180°，求這個正多邊形的邊數(shù)和每個內角的度數(shù)．【分析】由多邊形的內角和定理，外角和是360°，即可計算．【解答】解：設正多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×3+180°，∴n＝9，∴正多邊形的每個內角的度數(shù)是180°﹣360°÷9＝140°，答：這個正多邊形的邊數(shù)是9，每個內角的度數(shù)是140°．【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握多邊形內角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)），外角和是360°．30．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）一個各內角都相等的多邊形截去一個角以后（截線不經過多邊形的頂點），形成的另一個多邊形的內角和比五邊形的內角和多720°，求原多邊形的邊數(shù)及每個外角的度數(shù)．【分析】設原多邊形的邊數(shù)為n，根據題意可得：（n+1﹣2）?180°＝（5﹣2）×180°+720°，然后進行計算可求出多邊形的邊數(shù)，最后再利用任意多邊形的外角和都是360°，進行計算即可解答．【解答】解：設原多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n+1﹣2）?180°＝（5﹣2）×180°+720°，（n﹣1）?180°＝3×180°+720°，（n﹣1）?180°＝1260°，n﹣1＝7，n＝8，∵原多邊形各內角都相等，∴每個外角的度數(shù)＝＝45°，∴原多邊形的邊數(shù)為8，每個外角的度數(shù)為45°．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟練掌握多邊形的內角和公式，與外角和是解題的關鍵．【核心素養(yǎng)提升】數(shù)學建模-構建方程模型求角度1．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，，根據外角的性質，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理，利用三角形的內角和定理和外角的性質是解答此題的關鍵．分類討論思想2．（2022秋?番禺區(qū)校級期末）等腰三角形的一條邊長為6，另一邊長為14，則它的周長為（）A．26 B．26或34 C．34 D．20【分析】分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為6，底邊長為14時；當?shù)妊切蔚难L為14，底邊長為6時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為6，底邊長為14時，∵6+6＝12＜14，∴不能組成三角形；當?shù)妊切蔚难L為14，底邊長為6時，∴它的周長＝14+14+6＝34；綜上所述：它的周長為34，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，分兩種情況討論是解題的關鍵．3．（2022秋?公安縣期末）已知等腰三角形的一個內角為50°，則它的頂角為（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°【分析】可知有兩種情況（頂角是50°和底角是50°時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB＝AC．有兩種情況：①頂角∠A＝50°；②當?shù)捉鞘?0°時，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴這個等腰三角形的頂角為50°和80°．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的內角和定理的理解和掌握，能對有的問題正確地進行分類討論是解答此題的關鍵．4．（2022秋?睢陽區(qū)期末）先閱讀下面的內容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．【分析】（1）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，然后利用偶次方的非負性，進行計算即可解答；（2）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，再利用偶次方的非負性，先求出a，b的值，然后分兩種情況，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+4y2+2xy﹣12y+12＝0，∴x2+2xy+y2+3y2﹣12y+12＝0，∴（x+y）2+3（y﹣2）2＝0，∴x+y＝0，y﹣2＝0，∴x＝﹣2，y＝2，∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4，∴xy的值為﹣4；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因為△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當c＝5時，△ABC的周長為5+5+4＝14，當c＝4，△ABC的周長為5+4+4＝13，所以△ABC的周長為13或14．【點評】本題考查了配方法的應用，偶次方的非負性，三角形的三邊關系，熟練掌握完全平方式是解題的關鍵．數(shù)學運算-用轉化的思想方法解決問題5．（2023春?侯馬市期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為【分析】根據三角形外角的性質和四邊形內角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點評】此題考查三角形的內角和，角的和與差，掌握三角形的內角和定理是解決問題的關鍵．【中考熱點聚焦】熱點1.三角形的三邊關系1．（2023?衡陽）下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm【分析】根據兩邊之和大于第三邊判斷即可．【解答】解：A、∵1+2＝3，∴長度為1cm，2cm，3cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B、∵3+5＝8，∴長度為3cm，8cm，5cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C、∵4+5＜10，∴長度為4cm，5cm，10cm的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；D、∵4+5＞6，∴長度為4cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．2．（2023?金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設第三條線段長為xcm，再利用三角形的三邊關系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設第三條線段長為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．3.（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為