猜想06 平行線的證明和三角形內角和定理（易錯必刷36題9種題型）解析版

猜想06：平行線的證明和三角形內角和定理【聚焦題型】題型一：平行公理及其推論題型二：平行線的判定題型三：平行線的性質定理題型四：平行線性質的應用題型五：平行線的距離問題題型六：與平行線有關的三角形內角和問題題型七：與角平分線有關的三角形內角和問題題型八：三角形折疊的角度問題題型九：平行線和三角形交匯綜合問題【題型通關】題型一：平行公理及其推論1．（2022上·河南鶴壁·八年級統(tǒng)考期中）下列命題中是真命題的是（

）A．相等的兩個角是對頂角B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C．兩邊和其中一角分別相等的兩個三角形全等D．在同一平面內，若，，則【答案】D【分析】根據對頂角的定義、平行線的性質、平行線的判定方法、三角形全等的判定方法逐項判斷即可．【詳解】解：A、相等的兩個角不一定是對頂角，故A是假命題；B、兩條直線被第三條直線所截，只有當這兩條直線平行時，同位角才會相等，故B是假命題；C、兩邊和兩邊的夾角分別相等的兩個三角形全等，故C是假命題；D、在同一平面內，若，，則，故D是真命題．故選：D．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．2．（2017下·浙江臺州·七年級臺州市書生中學?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（

）①同位角相等；②a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：①兩直線平行，同位角相等，故原命題是假命題；②，在同一平面內，a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，故原命題是假命題；③a，b，c是三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，是真命題；④過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題是假命題，綜上，真命題只有③一個，故選：A．【點睛】主要考查命題的真假判斷，判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定理．3．（2011·廣東廣州·中考真題）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內，下列四條命題：①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c．其中真命題的是．（填寫所有真命題的序號）【答案】①②④【詳解】①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，②如果b//a，c//a，那么b//c是真命題，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c是真命題，∴真命題有①②④，故答案為：①②④題型二：平行線的判定4．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，由下列條件能判定的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線的判定作答即可．【詳解】A項，不能判定，故本項不符合題意；B項

，不能判定，故本項不符合題意；C項，根據內錯角相等，兩直線平行能判定，故本項不符合題意；D.，不能判定，故本項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握內錯角相等，兩直線平行，是解答本題的關鍵．5．（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正六邊形中，，是對角線上的兩點．添加下列條件中的一個：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是（

）

A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①④【答案】A【分析】①連接，交于點，證明，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得出結論；②證明，由全等三角形的性質得出，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結論；③不能證明與全等，則可得出結論；④證明，得出，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結論．【詳解】解：①如圖，連接，交于點，∵正六邊形中，，∴和是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，故①符合題意；②在正六邊形中，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故②符合題意；③∵，，，∴與不一定全等，不能得出四邊形是平行四邊形，故③不符合題意；④在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故④符合題意．故選：A．

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，正六邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．6．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是四邊形的邊延長線上的一點，且，則下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行線的判定方法及平行四邊形的判定可得出答案．【詳解】解：、，，又，四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；、不能判斷四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；、，，又，四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；、，，，，，四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意．故選：．【點睛】此題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵．7．（2023上·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，是的一個外角．

(1)用尺規(guī)作圖法，求作直線，使；（保留作圖痕跡，不寫作法，并用2B鉛筆描粗）(2)請說明（1）中你所作的直線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作的平分線即可；（2）根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的外角和角平分線的定義得到，進而利用平行線的判定可證得結論．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作；

（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵是的一個外角∴，∴，∴．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-作角平分線、平行線的判定，涉及到等腰三角形的性質和三角形的外角性質，熟練掌握相關知識的運用，得到作平分線是解答的關鍵．8．（2023上·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，點F在上，(1)與平行嗎？為什么？(2)如果，且，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解答(2)【分析】（1）根據垂直得出，根據平行線的判定得出即可；（2）根據平行線的性質得出，求出，根據平行線的判定得出，根據平行線的性質得出即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，能正確運用平行線的性質和判定定理進行推理是解此題的關鍵，難度適中．9．（2023上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，點E在的延長線上，交于點F，交于點G，在的延長線上取一點H，使．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行線的性質及角平分線的定義，通過等量代換證明，再根據平行線的判定可得結論；（2）根據平行四邊形的性質求出，再由可得，根據角平分線的定義求出，再由平行線的性質可得，從而可得結論．【詳解】（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，角平分線定義，熟練掌握相關性質是解決本題的關鍵．題型三：平行線的性質定理10．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點，，，在同一直線上，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平行線的性質得出，，進而利用證明與全等，進而利用全等三角形的性質解答即可．【詳解】解：，，，，在與中，，，，，，，，故選：．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，平行線性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．11．（2023下·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點A和點B分別在直線a和b上，點C在直線a、b之間，且，，，則的度數(shù)是（

）

A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】根據等腰三角形的性質求出，根據角的和差求出，根據平行線的性質求解即可．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質，熟記“等腰三角形的兩底角相等”是解題的關鍵．12．（2023下·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，是內一點，，，，，則的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，延長交于，由條件推出四邊形，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，得到，即可求出的周長．【詳解】解：延長交于，延長交于，∵，，，∴四邊形，四邊形是平行四邊形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，同理：是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴的周長為：，即的周長是．故選：B．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是由等邊三角形的性質，平行四邊形的性質證明．13．（2023下·安徽宿州·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，，平分交于點，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行四邊形的鄰角互補、對邊平行求出，，根據角平分線定義及角的和差求出，根據平行線的性質求解即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．14．（2023下·四川·八年級統(tǒng)考期末）已知直線，將以，為兩腰的等腰的頂點P，N按如圖所示的方式分別放在a，b上，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設直線與交于點，如圖所示，先利用等腰三角形的性質求得，然后利用三角形的內角和定理求得的度數(shù)，再利用平行線的性質求得的度數(shù)，即可求得．【詳解】解：設直線與交于點，如圖所示，

∵，，∴，∴中，，∵，，∴，∴．故選：【點睛】本題考查了平行線的性質以及等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，平行線性質的正確運用是解題的關鍵．15．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州十一中?？计谀┤鐖D，，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形的外角的性質可得，再根據可得，從而解決問題．【詳解】

∵，∴．∵，∴．故選：C【點睛】本題考查三角形外角的性質，平行線的性質，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．題型四：平行線性質的應用16．（2023下·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，點，分別是邊，上的點，且，將沿翻折，使點的對稱點落在邊上，若，，，則的周長是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據折疊的性質和平行線的性質證明，，易得是的中位線，根據中位線的性質即可求解．【詳解】解：如圖，由翻折的性質可得：，

∵∴，，∴，∴，∴，同理可證：，∴是的中位線，，∵，，∴，，∴的周長是，故選：A．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，中位線的判定，折疊的性質，平行線的性質等，證明出是的中位線是解題的關鍵．17．（2022下·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，點是邊上一點，且，交于點，是延長線上一點，則下列結論：平分；平分；；．其中正確結論的有（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據等邊對等角，平行四邊形的性質，平行線的性質即可證明正確；根據線段垂直平分線的判定即可證明正確；根據平行線的性質，等角對等邊即可證明正確；根據線段垂直平分線的判定即可證明正確；即可得出答案．【詳解】解：證明：，，四邊形是平行四邊形，，，，平分，正確；，，，平分，正確；，，，，，正確；，，點一定在的垂直平分線上，即垂直平分，，故正確．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，正確應用等腰三角形的性質是解題關鍵．18．（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，現(xiàn)將一個含角的直角三角尺按如圖方式放置，其中頂點F、分別落在直線，上，交于點，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由對頂角相等可得，再由平行線的性質可得，最后根據平行線的性質可得的度數(shù)．【詳解】解：交于點，，，，，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等．題型五：平行線的距離問題19．（2023下·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，線段固定，直線，是上一動點，點，分別為，的中點，對于下列各值：①線段的長；②的周長；③的大小；④直線，之間的距離；⑤的面積．其中隨著點的移動而不改變的是（

）

A．①②④ B．①④⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【分析】由中位線定理知，故不變；由圖知，周長，隨點移動而變化；如圖，過點M作，垂足為點I，延長，交直線于點J，可證，于是，直線l與直線間的距離，為定值，直線，之間的距離不變；不隨點運動而變化．【詳解】如圖，點，分別為，的中點∴，故不變；周長，，隨點移動而變化，故周長變動；由圖可知，隨點移動而變化；如圖，過點M作，垂足為點I，延長，交直線于點J，∵∴，又∴∴長度即直線l與直線間的距離，為定值，不隨著點的移動改變；∴長度，即直線，之間的距離不變；∴不隨點運動而變化．綜上所述：①④⑤不隨點P的移動而變化；故選B

【點睛】本題考查兩平行線間的距離，中位線定理，全等三角形判定與性質，理解中位線的性質定理是解題的關鍵．20．（2022下·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，E點在BC邊上，P．Q是AD邊上的兩點（P在Q的左側）、若PB與AE相交于R點，QB與AE相交于S點，則下列對的面積大小判斷正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平行線之間的距離處處相等，可得△PBE、△QBE有同底和相等的高，即可得△PBE的面積＝△QBE的面積；由圖可得△BRE的面積＞△BSE的面積，可得△PRE的面積＜△QSE的面積．即可判斷．【詳解】解：①△PBE、△QBE如圖所示：兩個三角形有相同的底BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵平行線之間的距離處處相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面積＝△QBE的面積；②∵△PBE的面積＝△QBE的面積，

∴△PRE的面積+△BRE的面積＝△QSE的面積+△BSE的面積，由圖可知：△BRE的面積＞△BSE的面積，∴△PRE的面積＜△QSE的面積．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，平行線之間的距離，三角形的面積，解決本題的關鍵是掌握平行四邊形的性質．21．（2022下·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A、B為定點，定直線，點P是l上一動點，點M、N分別為PA、PB的中點，對于下列各值：①線段MN與AB的比值；②的面積；③的周長；④直線MN、AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲须S著點P的移動而變化的是（

）A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④【答案】C【分析】求出AB長為定值，P到AB的距離為定值，再根據三角形的中位線即可判斷①②④；根據運動得出PA+PB不斷發(fā)生變化、∠APB的大小不斷發(fā)生變化，即可判斷③⑤．【詳解】∵A、B為定點，∴AB長為定值，∵點M，N分別為PA，PB的中點，∴MN=AB為定值，故①不正確；∵點A，B為定點，定直線l//AB，∴P到AB的距離為定值，∴△PAB的面積為定值．故②④不正確；當P點移動時，PA+PB的長發(fā)生變化，∴?PAB的周長發(fā)生變化，故③正確；當P點移動時，∠APB發(fā)生變化，故⑤正確；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理的應用，能熟記三角形的中位線定理是解此題的關鍵，用了運動觀點的思想．題型六：與平行線有關的三角形內角和問題22．（2022上·浙江杭州·八年級翠苑中學校聯(lián)考期中）如圖，中，分別平分和，過點作交于點，交于點，那么下列結論：①；②為等腰三角形；③的周長等于的周長；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①根據平分線的性質、平行線的性質，借助于等量代換可求出∠DBF＝∠DFB；②同理可得②的結論；③用特殊值法，當為等邊三角形時，連接，根據等邊三角形的性質，角平分線定義和等腰三角形的判定便可得出，進而得，便可得出；的周長不等于的周長；④利用兩次三角形的內角和，以及平分線的性質，進行等量代換，可求的和之間的關系式．【詳解】解：①∵是的角平分線，∴，又，，，故①正確；②同理，，為等腰三角形故②正確；③假設為等邊三角形，則，如圖，連接，∵，，的周長，∵F是的平分線的交點，∴第三條平分線必過其點，即平分，∵為等邊三角形，∴，∴，，，，，，即的周長的周長，故③錯誤；④在中，（1），在中，，即（2），得，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及角平分線的性質，以及三角形內角和定理解答，涉及面較廣，需同學們仔細解答．尤其是第③小題在常規(guī)方法不能判斷正誤時，可采用的特殊值法進行判斷，也即是舉反例的方法．23．（2022上·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，，，則等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】設CD交BE于點F，根據AB∥CD，可得∠CFE=∠B=60°，再根據三角形內角和定理，即可求解．【詳解】解：如圖，設CD交BE于點F，∵AB∥CD，，∴∠CFE=∠B=60°，∵∠CFE+∠C+∠E=180°，，∴∠E=180°-∠C-∠CFE=80°．故選：B【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握兩直線平行，同位角相等；三角形的內角和等于180°是解題的關鍵．24．（2021·浙江·九年級專題練習）將一副三角板按如圖所示的方式放置，，，，且點在上，點在上，AC∥EF，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線的性質和三角形的內角和定理即可得到結論．【詳解】∵AC∥EF，∴∠DBE=∠C=45°，∴∠FBD=135°，∵∠E=60°，∠EDF=90°，∴∠F=30°，∴∠FDC=∠F+∠FBD=30°+135°=165°，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．題型七：與角平分線有關的三角形內角和問題25．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，點是的中點，若，則的長為（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題意推出，在中，，即可求出的長，進而可求出的長．【詳解】解：，，，平分，，，，點是的中點，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，關鍵在于根據已知推出．26．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，平分，點是、的垂直平分線的交點，連接、，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接并延長，根據線段垂直平分線的性質得到，，根據等腰三角形的性質得到，，根據三角形的外角性質計算，得到．根據三角形內角和定理得到，根據角平分線的定義得到，求出．【詳解】解：連接并延長，

點是、的垂直平分線的交點，，，，，是的一個外角，，同理，，，，，平分，平分，，，，，故選：B．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．27．（2022上·廣東深圳·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點，下面結論：①的面積等于的面積；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據三角形中線定義和三角形面積公式可對①進行判斷；根據等角的余角相等得到，再根據角平分線的定義和三角形外角性質、等腰三角形的判定可對②進行判斷；根據等角的余角相等得到，再根據角平分線的定義可對③進行判斷．【詳解】解：是中線得到，，故①正確；，是高，∴，，是角平分線，，，，，，故②正確；，，，而，，故③正確．根據已知條件不能推出，即不能推出，故④錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，三角形的外角性質，三角形的角平分線、中線、高線等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．題型八：三角形折疊的角度問題28．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考期末）如圖所示，在中，，將沿著直線折疊，點落在點的位置．則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形外角的性質及軸對稱的性質，由軸對稱的性質得出，再由，，即可得到，從而求出答案．【詳解】解：如圖所示，

由題意得：，，，，．故選：A．29．（2023上·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿翻折交于點，又將沿翻折，點落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由翻折得，根據三角形內角和得到，求出，再利用三角形內角和求出的度數(shù)．【詳解】解：設，由翻折得∵，∴解得，∴∴∴故選：A．【點睛】此題考查了翻折的性質，三角形內角和定理，一元一次方程，正確掌握翻折的性質是解題的關鍵．30．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，平分，點E在上，把沿直線折疊，使點B落在點F處，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，，平分，得，，根據折疊的性質得，，可得，即可得，根據得，即可得出結論．【詳解】解：∵，，平分，∴，，∵沿直線折疊，使點B落在點F處，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了等邊對等角，角平分線的性質，翻折的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點，正確計算．題型九：平行線和三角形交匯綜合問題31．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，的三個內角的角平分線交于點O，過點O作，交于點D，的外角的角平分線交的延長線于點F．

(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．(2)求證：．【答案】(1)，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據角平分線的定義可得，再結合三角形外角的定義可得，即可求解；（2）根據角平分線的定義可得，再結合第（1）問的結果即可證明．【詳解】（1）解：．∵三角形的三條角平分線交于點O，，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴．即．∵，∴．∴．【點睛】本題考查了幾何證明題，涉及到角平分線的性質和三角形外角的性質等，靈活運用所學知識是關鍵．32．（2023下·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在線段上，點在線段上，交于點，．

(1)求證：；(2)若平分，平分，交于點，且，求的度數(shù)．(3)若平分，平分，交于點，求和關系并說明理由．【答案】(1)見解答過程；(2)；(3)，理由見解答過程．【分析】（1）由，得出，結合，得出，即可證明；（2）由，，得出，，由平分，得出，進而得出，由平分，即可得出；（3）由平分，平分，得出，，由，得出，進而得出，根據三角形內角和定理得出，繼而得出，即可得出．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，平分，，，平分，；（3）解：，理由如下：平分，平分，，，，，，在中，，，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理及平行線的判定與性質，掌握角平分線的性質，平行線的判定與性質，三角形的內角和定理是解決問題的關鍵．33．（2023上·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數(shù)量與位置關系．

【答案】（1），；（2）見解析；（3）【分析】（1）通過證明，得到，在中，根據三角形三邊關系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；（2）延長至點，使，連接，通過證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關系得：；（3）延長于，使得，連接，延長交于，證明得到，證明得到，，在通過三角形內角和進行角度的轉化即可得到．【詳解】解（1）：如圖1，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據三角形三邊關系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）如圖2中，延長至點，使，連接，

點是的中點，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3）結論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，

，點是的中點，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，三角形的內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系以及三角形內角和定理，作出恰當?shù)妮o助線是解題的關鍵．34．（2023上·吉林·八年級?？计谀靖兄咳鐖D①，是等邊三角形，是邊上一點（點不與點，重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點，，且．若，則的大小是______度；【探究】如圖②，是等邊三角形，是邊上一點（點不與點，重合），作，使角的兩邊分別交邊，于點，，且．求證：；【應用】若是邊的中點，且，其它條件不變，如圖③所示，則四邊形的周長為______．

【答案】；證明見解析；【分析】【感知】根據等邊三角形的性質可知，求得，再根據三角形內角和定理即可求出的度數(shù)；【探究】根據等邊三角形的性質可知，推得，根據三角形的外角性質可推得，根據全等三角形的判定和性質即可證明；【應用】根據等邊三角形的性質可知，，推得，根據全等三角形的性質可得，，根據等邊三角形的判定和性質可得，即可求出四邊形的周長．【詳解】【感知】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；【探究】證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴，在△BED和中，，∴，∴；【應用】解：∵是等邊三角形，，∴，，∵是的中點，，∴，由探究可知，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形的周長，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．35．（2023下·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，連接，，，，動點從點出發(fā)，沿射線方向勻速運動，同時動點從點出發(fā)，沿線段勻速運動，當運動到點時停止運動，設運動的時間為(1)求證：四邊形為平行四邊形.(2)若點的運動速度為，點的運動速度為，當運動到以，，，為頂點的四