浙江省“浙南名校聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省“浙南名校聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，，所以故選：C2.直線關(guān)于y軸對稱的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線與兩坐標(biāo)軸的交點分別為和0,1，因為這兩點關(guān)于y軸的對稱點分別為1,0和0,1，所以直線關(guān)于y軸對稱的直線方程為故選：A3.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，則向量在向量上的投影向量為

.故選：D4.若α，β為兩個不同的平面，m為一條直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則α與β相交 D.若m⊥α，，則α⊥β【答案】D【解析】若，不一定成立，也可能相交，故AC錯誤；若，則或，故B錯誤；若，則必有一直線且，所以，又，所以，故D正確.故選：D5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，故函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為.故選：A6.已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的m的值共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.無數(shù)個【答案】C【解析】因為三條直線，，將平面分為六個部分，所以三條直線交于一點或兩條平行線與第三條直線相交，當(dāng)三條直線交于一點時，聯(lián)立可得，此時，即，當(dāng)兩條平行線與第三條直線相交時，可得或，所以或故選：C.7.已知拋物線過點，圓如圖，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】因為拋物線過點，則，則，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點坐標(biāo)F1,0，準(zhǔn)線方程為；圓：圓心為1,0，半徑1，故直線PQ過拋物線的焦點，設(shè)直線PQ的方程為，；聯(lián)立，整理可得，所以，再由焦半徑公式可得則，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值為故選：A8.已知棱長為1的正方體內(nèi)接于球O，在球O與正方體之間放入一個小正方體，則小正方體的棱長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題，棱長為1的正方體內(nèi)接于球，令球的半徑為，則球的直徑即為正方體的體對角線，，所以，當(dāng)小正方體的下底面與正方體相接，且上底面的四個頂點均在球面上時，小正方體的棱長最大，此時小正方體的正中心與球心的連線垂直于正方體的上下底面，令小正方體的棱長為，由球心，小正方體上底面的中心，小正方體上底面的頂點組成的三角形為直角三角形，有，將代入，解得，故小正方體的棱長為故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有（）A. B.本組樣本的眾數(shù)為250C.本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D.用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為82【答案】ACD【解析】對于A，因為，解得，故A正確；對于B，樣本的眾數(shù)位于內(nèi)，但不一定是250，故B錯誤；對于C，前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，故第45百分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故C正確；對于D，的頻率為，故用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為，故D正確.故選：ACD10.已知直線，圓，點P為直線l上一點，點Q為圓C上一點，則下列選項正確的是（）A.直線l恒過定點B.若圓C關(guān)于直線l對稱，則k=1C.若直線l與圓C相切，則D.當(dāng)k=1時，取y軸上一點，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，直線l：k，即，令，則，解得，，所以直線|恒過定點，故A正確;對于B，若圓C關(guān)于直線l對稱，則直線l過圓心，所以，解得，故B錯誤;對于C，若直線與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑1，即，解得，故C正確;對于D，當(dāng)k=1時，直線，點關(guān)于直線l的對稱點，則有，解得，即，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，其一條漸近線為，直線l過點且與雙曲線C的右支交于A，B兩點，M，N分別為和的內(nèi)心，則下列選項正確的是（）A.直線l斜率的取值范圍為 B.點M與點N的橫坐標(biāo)都為aC.為直角三角形 D.面積的最小值為【答案】BC【解析】因為雙曲線的其一條漸近線為，故雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為和，作圖可知，若直線l過點且與雙曲線C的右支有兩個交點，則直線l傾斜角的取值范圍為，則直線l斜率的取值范圍為，故A錯誤；設(shè)焦距為2c，由題可知，故，如圖，過點M分別作，，的垂線，垂足分別為D，E，H，易得，，，因為，所以，又，得，，所以，M點橫坐標(biāo)為a，同理可得N點橫坐標(biāo)也為a，故B正確;設(shè)直線l的傾斜角為，則，所以，即是直角三角形，故C正確;易得，則，，所以，，，由對勾函數(shù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則MN最小為2a，所以三角形的面積的最小值為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若A，B為兩個相互獨立的事件，，，則______.【答案】【解析】因為

相互獨立，所以與B也相互獨立，

又，，所以，所以故答案為:13.若函數(shù)的圖象向右平移個單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則__________.【答案】【解析】函數(shù)

)的圖象向右平移

個單位后，得到，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，又，故答案為：14.已知正四面體的邊長為2，點M，N為棱BC，AD的中點，點E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動點，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.【答案】【解析】在棱長為2的正四面體中，由點M，N為棱BC，AD的中點，得，由點E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，則，所以，又，，，故，當(dāng)時，，所以線段EF長度的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個黑球(標(biāo)號為1、2和，2個白色球(標(biāo)號為4和5)若一次性從盒子中取出2個小球.（1）寫出試驗的樣本空間;（2）求取出的小球恰好是1個黑球和1個白球的概率.解：（1）；（2）設(shè)事件A為取出的小球恰好是1個黑球和1個白球，則16.已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過兩點和（1）求圓C的方程;（2）設(shè)點，若圓C上存在點P滿足，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）設(shè)M，N的中點為點A，則A點坐標(biāo)為，易知，則過A點且與直線MN垂直的直線方程為，解得，又圓心也在直線上，聯(lián)立，解得，即圓心為，又易知，因此圓C的方程為；（2）設(shè)，，，由題可得，，，化簡得，可知點P軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，依題意可知圓C與圓有公共點，即，解得即實數(shù)a的取值范圍為17.如圖，四棱錐中，平面，，，，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）若為線段上一點，且，為何值時，直線與平面所成角的正弦值為?解：（1）取線段中點G，連結(jié)，，G分別是線段的中點，且，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）因為平面，平面，所以，如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線與平面所成角為，已知，，，，則可得P0,0,1，，，，，DC=1,0,0，，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z所以，則，令，則，為線段上一點，且，，所以，，，解得18.已知直線l是過橢圓上一點Px0,（1）已知橢圓C的切線l過，求切線l的方程;（2）求兩焦點，到直線l的距離之積;（3）若圓心在原點的圓與直線l也相切，且與橢圓C相交于點Q，若P，Q都在第一象限，求面積的最大值.解：（1）設(shè)，則，，可得，則l為或；（2）證明橢圓切線方程一般形式：①當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立方程，整理得，由可得，所以由韋達(dá)定理可知，即，把代入中，得，所以，化簡得．②當(dāng)切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式．綜上，橢圓上一點的切線方程為．因為滿足，所以直線，左右焦點，到直線l距離分別為，，；（3）①當(dāng)l斜率不存在時，此時不滿足題意；②當(dāng)l斜率存在時，設(shè)，，，其中直線，對于圓，其中，則，可得，，令，，因為，所以由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，則，即面積的最大值為.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義：為，兩點之間的“折線距離”.（1）已知，動點滿足，求動點M所圍成的圖形的面積;（2