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2024-2025學(xué)年年八年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷21.3二次根式的加減同步練習(xí)(含答案)21.3二次根式的加減一、選擇題1.下列根式中,與是同類二次根式的是()A.B.C.D.2.下面說法正確的是()A.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B.與是同類二次根式C.與不是同類二次根式D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3.與不是同類二次根式的是()A.B.C.D.4.下列根式中,是最簡二次根式的是()A.B.C.D.5.若,則化簡的結(jié)果是()A.B.C.3D.-36.若,則的值等于()A.4B.C.2D.7.若的整數(shù)部分為,小數(shù)部分為,則的值是()A.B.C.1D.38.下列式子中正確的是()A.B.C.D.二、填空題9.在中,與是同類二次根式的是。10.若最簡二次根式與是同類二次根式,則。11.一個(gè)三角形的三邊長分別為,則它的周長是cm。12.若最簡二次根式與是同類二次根式,則。13.已知,則。14.已知,則。15.。三、解答題16.計(jì)算:⑴.⑵.⑶.⑷.17.計(jì)算及化簡:⑴.⑵.⑶.⑷.18.已知:,求的值。19.已知:,求的值。20.已知:為實(shí)數(shù),且,化簡:。21.已知的值。參考答案1——8:BAACCCCC9.;10.1、1;11.;12.1;13.10;14.;15.;16.;17.;18.5;19.;20.-1;21.221.3二根式的加減(B卷)(綜合應(yīng)用創(chuàng)新能力提升訓(xùn)練題,90分,70分鐘)一、學(xué)科內(nèi)綜合題(每題8分,共32分)1.÷(1-)2.2.在長方形ABCD中,AD=,AB=1,E是AD上一點(diǎn),且DE=-1,化簡求值:+(-)÷,其中a=,b=.3.設(shè)a、b、c均為正整數(shù),且=-,求a+b+c的算術(shù)平方根.4.已知a-b=+,b-c=-,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.二、實(shí)際應(yīng)用題(8分)5.豐產(chǎn)某種實(shí)驗(yàn)中心要在一塊矩形的土地上做水稻良種實(shí)驗(yàn),矩形土地的長是寬的3倍,面積是3600平方米,這塊實(shí)驗(yàn)田的周長是多少米?(精確到1米,≈1.732)三、創(chuàng)新題(8題8分,其余每題10分,共28分)6.(巧題妙解)(1);(2)已知x、y都是正整數(shù),且+=,求x+y的值.7.(新情境新信息題)如圖21-3-2所示是小華同學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)計(jì)算機(jī)程序,請你看懂后再做題:(1)若輸入的數(shù)x=5,輸出的結(jié)果是______.(2)若輸出的結(jié)果是0且沒有返回運(yùn)算,輸入的數(shù)x是________.(3)請你輸入一個(gè)數(shù)使它經(jīng)過第一次運(yùn)算時(shí)返回,經(jīng)過第二次運(yùn)算則可輸出結(jié)果,你覺得可以輸入的數(shù)是_________輸出的數(shù)是_________.8.(一題多解)計(jì)算(+)2-(-)2,其中x>.四、經(jīng)典中考題(22分)9.(6分)計(jì)算:-++(-1)0-|-1+|.10.(2005,河南,8分)有一道題:“先化簡,再求值:(+)÷,其中x=-”,小玲做題時(shí)把“x=-”錯(cuò)抄成了“x=”,但她的計(jì)算結(jié)果也是正確的,請你解釋這是怎么回事?11.(5分)計(jì)算:-+()-1.12.(3分)小明的作業(yè)本上有以下四題:①=4a2;②·=5a;③a==;④-=.做錯(cuò)的題是()A.①B.②C.③D.④答案:一、1.解:÷(1-)2=×=×=×=×=點(diǎn)撥:題目考查的知識面很廣,我們在解這類題時(shí),首先是要擺正心態(tài),不要產(chǎn)生輕敵的思想,以免造成不必要的失分.2.解:由已知,得BD=,BE=.原式=+[-]·=+(-)·=+(-)·=++==當(dāng)a==+,b==-時(shí),原式=.3.解:因?yàn)?-,所以a-=(-)2.所以a-2=b+c-2.又因?yàn)閍,b,c均為正整數(shù),所以a=b+c,b·c=7.又因?yàn)?≥0,所以b≥c.所以b=7,c=1,a=8.所以=4.點(diǎn)撥:同學(xué)們觀察上面的解題過程可以發(fā)現(xiàn),此題綜合應(yīng)用了二次根式的性質(zhì)及正整數(shù)的性質(zhì),如果沒有經(jīng)過認(rèn)真的思考,可能一開始被題目嚇住了,只有一個(gè)條件等式,其中還出現(xiàn)了三個(gè)字母.但經(jīng)過對條件等式的兩邊同時(shí)平方,問題也就迎刃而解了.因此,在遇到困難時(shí),往往只要向前挪動(dòng)一步,就會柳暗花明了.4.解:因?yàn)閍-b=+,b-c=-所以a-c=++-=2.所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=[(+)2+(-)2+2()2]=(8+2+8-2+20)=×36=18.點(diǎn)撥:解決本題的思路應(yīng)該是從所求代數(shù)式的特征入手,通過等式的恒等變形,構(gòu)造了三個(gè)完全平方公式.然后整體代入,方法很巧妙,也有很強(qiáng)的代表性.二、5.解:設(shè)這塊實(shí)驗(yàn)田的寬是x米,則長為3x米依題意:3x·x=3600,x2=1200;x=;x=20.所以實(shí)驗(yàn)田的周長是:(20+20×3)×2=160≈277(米)答:這塊實(shí)驗(yàn)田的周長約為277米.點(diǎn)撥:題目中計(jì)算的結(jié)果涉及到了近似計(jì)算,在近似計(jì)算時(shí),我們不要邊計(jì)算邊代入,而應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上最后代入求近似值.這樣得出的結(jié)果會更接近準(zhǔn)確值.三、6.(1)解:原式==+=+=+=點(diǎn)撥:不經(jīng)過認(rèn)真分析,題目簡直難以下手,該解法巧妙地借鑒了分式中拆分的技巧.把一個(gè)式子拆成同分母分式相加的形式,先約分,使式子簡單化,從而找到了解題的捷徑.(2)解:因?yàn)?=3,所以+=3,因?yàn)閤,y都是正整數(shù),所以=,=2或=2,=即或所以x+y=222+888=1110.點(diǎn)撥:解題的思路是從的化簡入手,從而找到x、y的關(guān)系,解題的難點(diǎn)就在于找到解題的突破口,這往往是解此類題的關(guān)鍵所在.有的同學(xué)把等式的兩邊同時(shí)平方后,找不到出路,那就應(yīng)退回原地,尋找新的方法.7.解:(1)(2)±(3)2;2-點(diǎn)撥:題目設(shè)計(jì)得比較新穎活潑,同學(xué)們對這種題目肯定很感興趣,但難度也相當(dāng)大,主要有兩點(diǎn):(1)看不懂程序,程度中既有數(shù)字的運(yùn)算又有二次根式大小的比較,理解有一定的難度.(2)不但考查同學(xué)們順向思維的能力,還考查了逆向思想的能力,解決這類新情境的辦法只有一個(gè),那就是經(jīng)過平常的練習(xí),提高思維的敏捷程度,題目的第三問是一個(gè)開放性試題,需要同學(xué)們?nèi)∫粋€(gè)數(shù)代入進(jìn)行多次嘗試.8.解法一:原式=[(+)+(-)]·[(+)-(-)]=2·2=4解法二:原式=(2x+3+2+2x-1)-(2x+3-2+2x-1)=4x+2+2-4x-2+2=4解法三:用換元法:設(shè)=a,=b,則原式=(a+b)2-(a-b)2=4ab=4·=4點(diǎn)撥:前兩種方法分別直接采用平方差公式和完全平方公式.可以發(fā)現(xiàn)解題過程很復(fù)雜.且容易出錯(cuò).第三種方法采用了換元法,使計(jì)算過程相對簡化了許多,希望同學(xué)們能認(rèn)真領(lǐng)會這種方法.拓展:二次根式的運(yùn)算會涉及非常復(fù)雜的知識體系,在運(yùn)算中要注意歸納運(yùn)算方法,掌握有效的解題技巧,并且要把整式運(yùn)算中的乘法公式,分式運(yùn)算中的約分、通分等知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪w移.四、9.解:原式=-+3+1-|-|=-+3+1-=3.點(diǎn)撥:這類中考題考查的知識通常比較廣泛,基礎(chǔ)性較強(qiáng),可以說是送分題,但同學(xué)們?nèi)菀滓蚓o張而出現(xiàn)不該有的失誤,導(dǎo)致丟分,這是我們應(yīng)特別引起重視的地方.10.解:(+)÷=÷=·(x2-4)=x2+4,因?yàn)椋?)2=()2=3,所以當(dāng)把x=-抄成了x=時(shí),原式的值仍為7.點(diǎn)撥:題型雖然是說理題,但仍是以計(jì)算作為前提基礎(chǔ),欲說清道理,仍必須先進(jìn)行分式的運(yùn)算,在計(jì)算的過程中道理自然就找到了.11.解:原式=-+=2-2-2+3=1.點(diǎn)撥:注意的化簡方法,它具有普遍性,我們在很多題目中都應(yīng)用了這種方法.12.D點(diǎn)撥:第④小題-是進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算,需要把被開方數(shù)相同的二次根式合并,而與并非被開方數(shù)相同的二次根式,不能合并.二次根式的性質(zhì)專題訓(xùn)練題1.當(dāng)x=________時(shí),代數(shù)式9-有最大值,其最大值為_______.2.當(dāng)x=________時(shí),代數(shù)式有最小值,其最小值為_______.3.如果等式=-a成立,則字母a的取值范圍是_______.4.若等式=-x成立,那么a的取值范圍是_______,x的取值范圍是________.5.把式子(x-1)中根號外的因式移到根號內(nèi),結(jié)果是________.6.若+=3,則x的取值范圍是________.7.已知a、y均為實(shí)數(shù),且滿足等式y(tǒng)=,試求y2006的個(gè)位數(shù)字.8.若x、y均為實(shí)數(shù),且滿足等式+=·,求a的值.9.請你先計(jì)算=________;=_______;=________,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.求的值(n是自然數(shù),n≥1).答案:1.3;9點(diǎn)撥:根據(jù)二次根式的性質(zhì),≥0,所以當(dāng)x=3時(shí),的最小值為0,9是一個(gè)定值,所以減數(shù)越小,其差就越大,所以當(dāng)x=3時(shí),9-可取得最大值9.2.-;-3點(diǎn)撥:由于≥0,所以的最小值為0,這時(shí)x的值是-,由于式子中減數(shù)是固定不變的,差隨被減數(shù)的減小而減小,故當(dāng)x=-時(shí),的最小值是0,式子的最小值是0-3=-3.3.-1≤a≤0點(diǎn)撥:解法一:因?yàn)?=-a,所以│a│=-a,a+1≥0,-1≤a≤0.解法二:根據(jù)二次根式的非負(fù)性,≥0,≥0,所以-a≥0,-1≤a≤0.4.a(chǎn)≥0;x≤0點(diǎn)撥:因?yàn)?=·=·|x|=-x.所以-x≥0,所以x≤0,因?yàn)?ax≥0,所以a≥0.5.-點(diǎn)撥:因?yàn)椤?,所以x<1,即x-1<0.所以(x-1)=-(1-x)=-=-.欲把根號外的因式移到根號內(nèi),首先必須弄清題中x的取值范圍,由二次根式的定義,就可得x<1.其次,移到根號內(nèi)的因式必須是非負(fù)數(shù),才能保證變形的恒等性,否則會發(fā)生符號錯(cuò)誤.6.5≤x≤8點(diǎn)撥:+=│x-5│+│x-8│.當(dāng)x<5時(shí),x-5<0,x-8<0,所以原式=5-x+8-x=13-2x.當(dāng)5≤x≤8時(shí),x-5≥0,x-8≤0.所以原式=x-5+8-x=3,當(dāng)x>8時(shí),x-5>0,x-8>0,所以原式=x-5+x-8=2x-13.所以x的取值范圍是5≤x≤8.欲化去題目中出現(xiàn)的絕對值,必須依題意弄清(x-5)與(x-8)的符號,而題目中的條件不足以說明這兩個(gè)式子的符號,故采用了上述對數(shù)軸進(jìn)行分段討論的方法,這種方法又叫做零點(diǎn)取值法,通過對各種情況的分析討論,最終得到正確答案.7.解:依題意解得a=-3,所以y==-2.所以y2006=(-2)2006=22006=22004×22.因?yàn)?1=2,22=4,23=8,24=16.25=32,26=64,27=128,28=256.所以22004的個(gè)位數(shù)一定是6,22006的個(gè)位數(shù)一定是4.點(diǎn)撥:由二次根式的定義及分式的定義,求出a的值為-3是解題的關(guān)鍵,在y=-2的基礎(chǔ)上,求(-22006)的個(gè)位數(shù)字,需要一定的觀察、推理和歸納能力,通過幾個(gè)簡單數(shù)字的計(jì)算,知道了2n的個(gè)位數(shù)字是以4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán),即從21開始到24為一個(gè)循環(huán),個(gè)位數(shù)字依次是2、4、6、8,依此類推,到22004時(shí)正好是501個(gè)循環(huán),22006是第502個(gè)循環(huán)的第二個(gè)數(shù),故個(gè)位數(shù)字是4.8.解:依題意:解得x+y=199①即+=0由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知:3x+5y-2=0②2x+4y-a=0③由②-①得,2x+4y=-197④④-③得,a=-197.點(diǎn)撥:從觀察等式右邊的兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)入手,由于x-199+y與199-x-y互為相反數(shù)且均為非負(fù)數(shù),故x+y的值必為199,再由二次根式的非負(fù)性及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知3x+5y-2=0且2x+4y-a=0,然后用整體加減的辦法求出2x+4y的值,也可以由①②組成二元一次方程組,求出x、y的值,再代入③,即可求出a的值.9.3;33;333;=點(diǎn)撥:先認(rèn)真計(jì)算每一個(gè)二次根式的結(jié)果,然后通過觀察,分析推理,即可得出結(jié)論,被開方數(shù)中被減數(shù)每個(gè)數(shù)位上都是1,減數(shù)每個(gè)數(shù)位上都是2,被減數(shù)的位數(shù)是減數(shù)位數(shù)的2倍,化簡的結(jié)果每個(gè)數(shù)位上都是3,位數(shù)與減數(shù)相同.二次根式的運(yùn)算專題訓(xùn)練1.化簡:+.2.計(jì)算:(1);(2).3.若x=,求(4x3-2009x-2006)2007.4.計(jì)算()1004·.5.已知x+=+1,求x4+的值.6.當(dāng)x=,y=時(shí),求的值.7.+++…+.8.已知:x=,求代數(shù)式的值.答案:1.解:原式=+=+=點(diǎn)撥:對于式子第一步的變形,我們可以理解為通分,把分式的運(yùn)算方式遷移到二次根式的運(yùn)算之中,但需要指出的是,二次根式并不是分式,只不過借用了分式的計(jì)算方法.因此,在學(xué)習(xí)中要分析和把握新舊知識之間的聯(lián)系.達(dá)到融會貫通的目的.2.解:(1)====|-|=-;(2)====.3.解:因?yàn)閤=,所以2x=1+.2x-1=,4x2-4x+1=2006,4x2-4x=2005,所以4x2=4x+2005.所以(4x3-2009x-2006)2007=(4x2·x-2009x-2006)2007=[(4x+2005)·x-2009x-2006]2007=(4x2+2005x-2009x-2006)2007=(4x2-4x-2006)2007=(-1)2007=-1點(diǎn)撥:認(rèn)真審題可以發(fā)現(xiàn),不可能通過直接代入進(jìn)行求值,而本解法中的變形方法十分巧妙,充分地利用所給的等式,不但構(gòu)造了4x的值,而且構(gòu)造了(4x-4x)的值,希望同學(xué)們能認(rèn)真體會每一步變形的依據(jù)和用途.4.解:原式=()1004×==()1004×=×=×=1點(diǎn)撥:解題的關(guān)鍵是把二次根式的被開方數(shù)化簡開方,先逆用積的乘方公式把152008寫成(3×5)2008=32008×52008.進(jìn)而把被開方數(shù)的分子提取公因式,出現(xiàn)了(1+52008),把分母進(jìn)行相似的變形后,也出現(xiàn)了(1+52008)這一因式,通過約分,被開方數(shù)得以化簡,問題得以解決.5.解:因?yàn)閤+=+1,所以(x+)2=(+1)2.即x2+2x·+=()2+2××1+12,x2+=2+1.兩邊再次同時(shí)平方,得(x2+)2=(2+1)2x4++2=9+4,因而x4+=7+4.點(diǎn)撥:題中的字母由x變?yōu)閤4,需經(jīng)過兩次平方才能實(shí)現(xiàn),故解題方法易想到,注意解題過程中完全平方公式的展開不要出錯(cuò).6.解:原式====1+=1+=1+=1+=.點(diǎn)撥:解決這一類問題,要在先化簡的基礎(chǔ)上進(jìn)行代入,千萬不要直接代入,那樣的話,雖然也會算出結(jié)果,但是比較浪費(fèi)精力,也非常容易出錯(cuò).7.解:原式=+++…+=+++…+=-1+-+2-+…+10-=-1+-+-+2-…-=-1+10=9點(diǎn)撥:解決這類問題的關(guān)鍵在于抓住題目中各式的規(guī)律.8.解:因?yàn)閤=,所以===所以x+=+=.所以(x+)2=,x2+=-2=.因?yàn)?x2+1+=+1=,所以=.點(diǎn)撥:把x=直接代入肯定是很麻煩的,因此須另辟蹊徑,先求出x的倒數(shù),進(jìn)而得到x2+的值,然后不直接求代數(shù)式的值,先求它的倒數(shù),通過求倒數(shù)最后得到結(jié)論,希望同學(xué)們認(rèn)真體會這種解法的妙處.二次根式的運(yùn)算專題訓(xùn)練1.化簡:+.2.計(jì)算:(1);(2).3.若x=,求(4x3-2009x-2006)2007.4.計(jì)算()1004·.5.已知x+=+1,求x4+的值.6.當(dāng)x=,y=時(shí),求的值.7.+++…+.8.已知:x=,求代數(shù)式的值.答案:1.解:原式=+=+=點(diǎn)撥:對于式子第一步的變形,我們可以理解為通分,把分式的運(yùn)算方式遷移到二次根式的運(yùn)算之中,但需要指出的是,二次根式并不是分式,只不過借用了分式的計(jì)算方法.因此,在學(xué)習(xí)中要分析和把握新舊知識之間的聯(lián)系.達(dá)到融會貫通的目的.2.解:(1)====|-|=-;(2)====.3.解:因?yàn)閤=,所以2x=1+.2x-1=,4x2-4x+1=2006,4x2-4x=2005,所以4x2=4x+2005.所以(4x3-2009x-2006)2007=(4x2·x-2009x-2006)2007=[(4x+2005)·x-2009x-2006]2007=(4x2+2005x-2009x-2006)2007=(4x2-4x-2006)2007=
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