專題11 三角函數(shù)三角恒等變換函數(shù)y＝Asinωx＋φ三角函數(shù)的應(yīng)用（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 9個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）

清單11三角函數(shù)（三角恒等變換函數(shù)三角函數(shù)的應(yīng)用)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】?jī)山呛团c差的余弦公式兩角和與差的余弦公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單02】?jī)山呛团c差的正弦公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,是任意角.【清單03】?jī)山呛团c差的正切公式兩角和與差的正切公式（1）（2）①簡(jiǎn)記符號(hào):,.②適用條件:公式中的角,，，，.③變形結(jié)論：【清單04】二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【清單05】半角公式①②③【清單06】輔助角公式：(其中)【清單07】五點(diǎn)法作圖必備方法：五點(diǎn)法步驟③①②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，第一步：將看做一個(gè)整體，用五點(diǎn)法作圖列表時(shí)，分別令等于，，，，，對(duì)應(yīng)的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號(hào)①②兩行）第二步：逆向解出（如上表中，序號(hào)③行。）第三步：得到五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：，,,,【清單08】根據(jù)圖象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.2、求法：通過(guò)觀察圖象，計(jì)算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一關(guān)鍵點(diǎn)法：通過(guò)觀察圖象找出第一關(guān)鍵點(diǎn)，將第一關(guān)鍵點(diǎn)代入求解.（第一關(guān)鍵點(diǎn)判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點(diǎn),且該點(diǎn)離軸最近）②最值代入法：通過(guò)觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.③特殊點(diǎn)法：當(dāng)圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點(diǎn)代入解析式求解，但用此法求解，若有多個(gè)答案注意根據(jù)條件取舍答案.【考點(diǎn)題型一】給定角或者三角函數(shù)值，求三角函數(shù)值核心方法：拼湊角，二倍角公式【例1】（廣西“貴百河——武鳴高中”2025屆高三上學(xué)期11月摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】（24-25高三上·遼寧·期中）已知，則（

）A． B．C．或 D．【變式1-2】（24-25高三上·江蘇南通·期中）若，則的值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型二】給定三角函數(shù)值，求角【例2-1】（24-25高三上·山東·期中）若，，且，，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知、為銳角，，．(1)求的值；(2)求的大?。咀兪?-1】（24-25高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高一下·四川涼山·期末）已知，，其中，則.【考點(diǎn)題型三】逆用兩角和差公式【例3】（23-24高一下·廣東佛山·期中）利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【變式3-1】（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【變式3-2】（24-25高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)等于（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型四】三角函數(shù)圖象平移，伸縮變換【例4】（多選）（24-25高三上·陜西咸陽(yáng)·期中）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向右平移個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．向右平移個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C．橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位D．橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位【變式4-1】（2024高二下·河北）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．【變式4-2】（2024·云南楚雄·一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【考點(diǎn)題型五】看圖求解析式【例5】（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析，并求出在上的值域；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得曲線關(guān)于軸對(duì)稱.求的最小值.【變式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.【變式5-2】（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)若將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，得到函數(shù)，求在的值域．【考點(diǎn)題型六】三角函數(shù)中的恒（能）成立問(wèn)題（核心考點(diǎn)）【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)減區(qū)間；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象.若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的最小值.【例6-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)設(shè)，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式6-1】.（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期，并解不等式；(2)先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變；再向左平移個(gè)單位；最后向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象．若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【變式6-2】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；(2)將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象向下平移1個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到函數(shù)的圖象，并設(shè).若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【考點(diǎn)題型七】三角函數(shù)中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題（核心考點(diǎn)）【例7】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?，，(1)若，求函數(shù)，的值域；(2)已知，且函數(shù)的最小正周期為，若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式7-1】（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)向左平移個(gè)單位后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，（?。┣螃盏淖钚≈?；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的取值范圍．【變式7-2】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為．(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知在時(shí)，求方程的所有根的和．【考點(diǎn)題型八】三角函數(shù)中的零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題（核心考點(diǎn)）【例8】（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為π．(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和．【變式8-2】（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和.【考點(diǎn)題型九】三角函數(shù)中新定義題【例9】（24-25高二上·海南?？凇るA段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其中常?shù).若存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)和是否具有性質(zhì)?(2)若，函數(shù)具有性質(zhì)，且當(dāng)時(shí)，，求不等式的解集.(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，，且的圖象是軸對(duì)稱圖形.若在上有最大值，且存在，使得，求證：.【變式9-1】（24-25高三上·湖南·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在非零常?shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱是類周期為的“類周期函數(shù)”.(1)若函數(shù)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：是周期函數(shù)；(2)已知是“類周期函數(shù)”，求的值及的類周期；(3)若奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，且，求的值，并給出符合條件的一個(gè).【變式9-2】（23-24高一下·山東青島·期末）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”(1)判斷，是否為，的“4重覆蓋函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若，是，的“3重覆蓋函數(shù)”，求的范圍；(3)若，，是，的“9重覆蓋函數(shù)”，求的取值范圍．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）定義行列式，若函數(shù)，則下列表述正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．是最小正周期為的奇函數(shù)5．（24-25高三上·福建·期中）將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．157．（24-25高三上·上海·期中）已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到；D．方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.8．（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)在0,π上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為二、多選題9．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減10．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為πB．直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸C．若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D．將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將所得的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．三、填空題11．（24-25高三上·上?！て谥校┤鐖D為函數(shù)的部分圖象，則.12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)的圖象，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.四、解答題13．（24-25高三上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，(1)若將圖象向左平移個(gè)單位，再將平移后圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，求在上的值域.(2)若，且，求的值.14．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到與其相鄰的對(duì)稱軸的距離為.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.15．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個(gè)條件作為已知.條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：函數(shù)的最大值為；條件③：函數(shù)的最小正周期為.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.16．（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知函數(shù)．(1)若在上為增函數(shù)，求的值范圍；(2)已知的圖像向右平