專題10 三角函數(shù)（任意角和弧度制三角函數(shù)的概念誘導公式圖象與性質(zhì)）（考點清單+知識導圖+ 18個考點清單-題型解讀）（解析版）

清單10三角函數(shù)（任意角和弧度制，三角函數(shù)的概念，誘導公式，圖象與性質(zhì)）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【清單02】角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，【清單03】扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【清單04】任意角的三角函數(shù)定義1、單位圓定義法：如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數(shù)：把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)2、終邊上任意一點定義法：在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)：

③正切函數(shù)：()

【清單05】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）【清單06】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當()時，;圖象的對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()【清單07】正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸【考點題型一】終邊相同的角【例1】（23-24高一下·上?！て谥校┰趦?nèi)與終邊重合的角為．【答案】【知識點】找出終邊相同的角【分析】將表示成即可得解.【詳解】因為，所以在內(nèi)與終邊重合的角為.故答案為：.【變式1-1】（23-24高一下·上海徐匯·期中）的角屬于第象限.【答案】一【知識點】找出終邊相同的角、確定已知角所在象限【分析】根據(jù)終邊相同的角的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，且為第一象限角，故的角屬于第一象限角，故答案為：一【變式1-2】（23-24高一下·上海·期中）在0到范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是.【答案】/【知識點】找出終邊相同的角【分析】根據(jù)終邊相同的角的表達，結(jié)合題目中取值范圍，可得答案.【詳解】與角終邊相同的角的集合為，取，可得．在0到范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是.故答案為：.【考點題型二】終邊在某條直線上的角的集合【例2】（多選）（24-25高一上·山東濟南·階段練習）下列表示中正確的是（

）A．終邊在x軸上的角的集合是{|=k，k∈Z}B．終邊在y軸上的角的集合是C．終邊在坐標軸上的角的集合是D．終邊在直線y=x上的角的集合是【答案】ABC【知識點】軸線角、找出終邊相同的角【分析】根據(jù)終邊相同角的表示方法判斷．【詳解】A.終邊在x軸上的角的集合是{|=k，k∈Z}，A正確；B.結(jié)合終邊在軸上角，則終邊在y軸上的角的集合是，B正確；C.結(jié)合AB，終邊在坐標軸上的角的集合是，C正確；D.結(jié)合A，終邊在直線y=x上的角的集合是，D錯誤．故選：ABC．【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合(用0°到360°間的角表示)．【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．【知識點】軸線角【解析】先求得終邊落在y＝x(x≥0)上的角的集合和終邊落在y＝x(x≤0)上的角的集合,再取并集即可.【詳解】因為終邊落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以終邊在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．【變式2-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見解析【知識點】根據(jù)圖形寫出角（范圍）【分析】首先確定0°～360°范圍內(nèi)終邊在所給直線上的兩個角，然后分別寫出與兩個角終邊相同的角的集合，最后寫出兩個集合的并集即可.【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為，所有與180°角終邊相同的角的集合為，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為．（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為，．【考點題型三】區(qū)域角的表示【例3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）用弧度制表示頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界），如圖所示.(1)(2)【答案】(1)；(2).【知識點】根據(jù)圖形寫出角（范圍）【分析】結(jié)合圖形，由終邊相同的角的集合，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為的終邊相同，，所以陰影部分所表示的區(qū)域位于與之間且跨越x軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為.（2）因為，，陰影部分所表示的區(qū)域由兩部分組成，所以終邊落在陰影部分的角的集合為.【變式3-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊落在圖中陰影部分(不包括邊界),試表示角的取值集合.【答案】或【知識點】根據(jù)圖形寫出角（范圍）【解析】寫出終邊在邊界上的角，根據(jù)由小到大，即可由不等式表示終邊落在陰影部分的角.【詳解】由題圖可知,終邊落在射線OA上的角構(gòu)成的集合,終邊落在射線OB上的角構(gòu)成的集合,所以角的取值集合.也可以表示為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)角的終邊位置表示終邊落在某區(qū)域的角的集合，屬于中檔題.【變式3-2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．【答案】(1)；(2).【知識點】根據(jù)圖形寫出角（范圍）【詳解】試題分析：(1)與330°角的終邊相同的角的弧度制為，且，據(jù)此可得終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為；(2)由題意可知：，則終邊在直線AB上的角為α＝kπ＋，k∈Z，又終邊在y軸上的角為β＝kπ＋，k∈Z，故終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.試題解析：(1)如題圖①，330°角的終邊與－30°角的終邊相同，將－30°化為弧度，即－，而75°＝75×＝，所以終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.(2)如題圖②，因為30°＝，210°＝，這兩個角的終邊所在的直線相同，因此終邊在直線AB上的角為α＝kπ＋，k∈Z，又終邊在y軸上的角為β＝kπ＋，k∈Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為.點睛：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成集合：.即任何一個與角的終邊相同的角都可以表示為角與周角的整數(shù)倍的和.【考點題型四】確定及的終邊所在的象限【例4】（23-24高一下·北京）設是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【知識點】確定n分角所在象限【分析】由，得到，對k賦值判斷.【詳解】解：因為是第二象限角，所以，，當時，，在第一象限；當時，，在第二象限；當時，，在第四象限；故選：D【變式4-1】（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）設是第三象限角，且，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【知識點】確定n分角所在象限、由三角函數(shù)式的符號確定角的范圍或象限【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.【詳解】因為是第三象限角，所以，，所以，，則是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故選：D．【變式4-2】（多選）（23-24高一上·安徽阜陽）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【知識點】確定已知角所在象限、由已知角所在的象限確定某角的范圍、確定n倍角所在象限、確定n分角所在象限【分析】由與關(guān)于x軸對稱，判斷A選項；由已知得，，再根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B選項；由是第一象限角判斷C選項；由不等式的性質(zhì)可得，，由此可判斷D選項．【詳解】解：因為與關(guān)于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項正確；因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項正確；因為是第二象限角，所以是第一象限角，故C選項錯誤；因為是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負半軸上，故D選項錯誤．故選：AB.【考點題型五】扇形弧長與面積（含最值）的計算【例5】（23-24高一下·上海寶山·階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【答案】(1)(2)扇形周長的最小值為，此時【知識點】弧長的有關(guān)計算、扇形面積的有關(guān)計算、扇形中的最值問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）先將圓心角化為弧度制，再根據(jù)弧長公式即可得解；（2）根據(jù)扇形的面積公式求得的關(guān)系，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）因為，，所以扇形的弧長；（2）由扇形面積，得，則扇形周長為，當且僅當，即時，取等號，此時，，所以，所以扇形周長的最小值為，此時.【變式5-1】（2024·海南·模擬預測）中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）

A．3 B．2 C． D．【答案】A【知識點】弧長的有關(guān)計算【分析】設扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，根據(jù)，得到，.【詳解】如圖，設扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.

故選：A【變式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一個扇環(huán)形狀的花壇，該扇環(huán)是由以點O為圓心的兩個同心圓構(gòu)造出的，小圓半徑米，大圓半徑米，圓心角.(1)求該花壇的周長；(2)求該花壇的面積.【答案】(1)；(2).【知識點】弧長的有關(guān)計算、扇形面積的有關(guān)計算【分析】（1）利用弧長公式計算即可；（2）利用扇形面積公式計算即可.【詳解】（1）的長度為米，的長度為米，米，故該花壇的周長為（米）;（2）該花壇的面積平方米.【考點題型六】利用定義求三角函數(shù)值【例6】（23-24高一下·北京豐臺）在平面直角坐標系中，角與角均以軸的非負半軸為始邊，終邊關(guān)于原點對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用定義求某角的三角函數(shù)值【分析】根據(jù)對稱可得，進而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】角與角終邊關(guān)于原點對稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點，所以角的終邊與單位圓⊙交于點，故，故選：B【變式6-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】利用定義求某角的三角函數(shù)值【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，則.故選：D【變式6-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎堑捻旤c為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，且終邊經(jīng)過點，則．【答案】【知識點】利用定義求某角的三角函數(shù)值、由終邊或終邊上的點求三角函數(shù)值【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及終邊上的點求函數(shù)值.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的定義知：.故答案為：【考點題型七】根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)【例7】（23-24高一上·吉林延邊）已知角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)的a值是（

）A． B． C．或 D．1【答案】B【知識點】由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)【分析】由題設可得且，求解即可.【詳解】由題設，且，即，∴，則，解得或，綜上，.故選：B.【變式7-1】（24-25高三上·重慶·開學考試）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義列式計算即得.【詳解】依題意，，（為坐標原點），則，所以.故選：A【變式7-2】（23-24高一下·上海楊浦）若點是角終邊上的一點，且，則.【答案】-4【知識點】由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)【分析】由正弦的定義,可得,即可求出的值.【詳解】由題意,,解得.故答案為:-4.【點睛】本題考查了利用角的終邊上任意一點(除原點)的坐標定義三角函數(shù),屬于基礎題.【考點題型八】已知,求關(guān)于和的齊次式的值核心方法：商數(shù)關(guān)系:（，）【例8】（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習）（1）已知角的終邊經(jīng)過點，求值.（2）已知，計算的值.【答案】（1）；（2）0【知識點】由終邊或終邊上的點求三角函數(shù)值、正、余弦齊次式的計算【分析】（1）利用三角函數(shù)定義計算可得，再由同角三角函數(shù)之間的商數(shù)關(guān)系計算可得結(jié)果；（2）根據(jù)商數(shù)關(guān)系化簡可得，再利用平方關(guān)系以及“1”的應用計算可得結(jié)果.【詳解】（1）由角的終邊經(jīng)過點，可知，則可得.（2）由，化簡得，因此.所以【變式8-1】（24-25高三上·江西·階段練習）已知，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【知識點】正、余弦齊次式的計算【分析】根據(jù)齊次式，弦切互化即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得.故選：D.【變式8-2】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知，則【答案】【知識點】正、余弦齊次式的計算【分析】將原式中的分子、分母同除以，再將代入即可.【詳解】.故答案為：【考點題型九】利用,與之間的關(guān)系求值核心方法：平方關(guān)系【例9】（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習）設，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知識點】sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系【分析】將兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系求出A，即可判斷，則，即可判斷B、C，利用平方差公式判斷D.【詳解】因為，所以，即，即，所以，故A錯誤；又，，所以，則，則，所以，故B正確、C錯誤；，故D正確；故選：BD【變式9-1】（24-25高三上·上海·階段練習）已知是三角形的內(nèi)角，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系【分析】將兩邊平方，求出，即可得到且，最后根據(jù)計算可得.【詳解】因為，所以，即，所以，即，又是三角形的內(nèi)角，所以，則，所以.故選：A【變式9-2】（23-24高一下·山東威?！るA段練習）已知，且，則．【答案】【知識點】sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的值．【詳解】，，則，故答案為：．【考點題型十】五點法作圖【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函數(shù)（其中，，）的圖象過點，且圖象上與點最近的一個最低點的坐標為．(1)求函數(shù)的解析式并用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象簡圖；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．【答案】(1)，圖象見解析；(2)【知識點】五點法畫余弦函數(shù)的圖象、由余弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）由最低點的坐標得出，由周期求出，利用五點作圖法得出，求出函數(shù)的解析式，進而畫出圖象；（2）通過平移得出的解析式，利用函數(shù)為偶函數(shù)列方程求出的最小值．【詳解】（1）由題意可得，，且周期，則，又，解得，，，（2），函數(shù)是偶函數(shù)，則，解得又，則當時，的最小值為．【變式10-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)請用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；0x【答案】作圖見解析【知識點】五點法畫正弦函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)五點作圖法，分別令填寫表格，再作出函數(shù)圖象.【詳解】令，得：0x0100畫出函數(shù)在一個周期的圖象，如圖，【變式10-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知函數(shù).(1)先補充下列表格，然后用五點法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；x0000101(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)答案見詳解(2)【知識點】五點法畫正弦函數(shù)的圖象、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值【分析】（1）先填表，再描點連線即可得出答案；（2）求出的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）x0010010121函數(shù)在區(qū)間上的圖象為（2）當時，，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【考點題型十一】求方程的解或函數(shù)零點的個數(shù)問題【例11】（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知函數(shù)的表達式為，(1)設，求函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；(2)設實數(shù)，的最小正周期為，若在上恰有3個零點，求的取值范圍．【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是；(2)．【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）由，得，考慮正弦函數(shù)在上的零點，可得關(guān)于的不等式，解之可得．【詳解】（1），，，則，時，，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，因此增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）的最小正周期為，則，即，，則，由題意，解得．【變式11-1】（23-24高一下·廣西梧州·階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；(2)若函數(shù)在上有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】（1）利用正弦函數(shù)的周期性和對稱性即可得到答案.（2）求出函數(shù)的解析式及對應的相位范圍，再把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題即可求出的范圍.【詳解】（1）依題意，函數(shù)的最小正周期；由，得，所以函數(shù)對稱軸方程為．（2），故條件等價于方程在上有個解.由，得，且和一一對應，所以條件等價于方程在上有兩個解.作出在上的圖象如下：由于在和上遞增，在上遞減，且，，，.故方程在上有兩個解等價于或，解得或.所以的取值范圍是.【變式11-2】（23-24高一下·江西·階段練習）已知函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)．(1)證明：為定值．(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點，且零點為，記，請寫出X的所有可能取值．【答案】(1)證明見解析；(2)的所有可能取值為.【知識點】求函數(shù)的零點、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助正弦型函數(shù)是偶函數(shù)的特性求出，求出解析式即可計算得證.（2）由（1）求出，換元并構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖象求出的所有可能取值.【詳解】（1）依題意，，由為偶函數(shù)，得，解得，而，則，又，所以，為定值.（2）由（1）得，令，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

當時，有3個零點，，因此；當時，有4個零點，，因此；當時，有3個零點，，因此；當時，有2個零點，，因此；當時，有1個零點，，因此，所以的所有可能取值為.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)圖象法：作出函數(shù)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).【考點題型十二】正（余）弦函數(shù)的周期性【例12】（多選）（24-25高三上·重慶·階段練習）在下列函數(shù)中，最小正周期為π且在為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【知識點】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正切（型）函數(shù)的周期、三角恒等變換的化簡問題、復合函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐項判斷即可.【詳解】對于A，的最小正周期為，當時，，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故A正確；對于B，的最小正周期，故B不正確；對于C，，所以最小正周期，當時，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；對于D，最小正周期，當時，，由復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知，此時單調(diào)遞減，故D正確.故選：ACD.【變式12-1】（23-24高一下·遼寧大連·期末）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——誘導公式、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正切（型）函數(shù)的周期【分析】利用誘導公式和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期性和奇偶性即可判斷.【詳解】對A，，其定義域為，設，因為，故其為偶函數(shù)，故A錯誤；對B，，其定義域為，設，則，則其為奇函數(shù)，且最小正周期為，故B正確；對C，，其最小正周期為，故C錯誤；對D，，其最小正周期為，故D錯誤.故選：B.【變式12-2】（多選）（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）下列函數(shù)中，以為周期的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識點】三角函數(shù)恒等式的證明——誘導公式、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正切（型）函數(shù)的周期【分析】利用周期的定義，結(jié)合誘導公式逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于，故A正確；對于B.，故B正確；對于C.，，，故不是以為周期的函數(shù)，故C錯誤；對于D.函數(shù)的最小正周期為，所以也是它的一個周期，故D正確.故選：ABD【考點題型十三】正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性【例13-1】（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）已知函數(shù).(1)求y=fx(2)若，求y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)【知識點】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合周期公式即可；（2）通過，進而可求解.【詳解】（1），所以的最小正周期為.（2）令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.又因為，分別取和，得到，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式13-1】（2024高二上·北京）函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、誘導公式五、六【分析】利用誘導公式化簡，再結(jié)合的圖象性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，由的圖象可知在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故A正確，BCD均錯誤.故選：A.【變式13-2】（23-24高一下·北京·階段練習）已知函數(shù)，(1)如果點是角終邊上一點，求的值；(2)設，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)【知識點】輔助角公式、二倍角的余弦公式、求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、由終邊或終邊上的點求三角函數(shù)值【分析】（1）由角終邊上的點，求出，代入利用誘導公式和倍角公式化簡即可；（2）輔助角公式化簡解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（1）點是角終邊上一點，則，所以；（2），由，得：，所以的單調(diào)增區(qū)間為.【考點題型十四】正余弦函數(shù)對稱性【例14-1】（24-25高二上·陜西漢中·開學考試）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【知識點】誘導公式五、六、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、利用cosx（型）函數(shù)的對稱性求參數(shù)【分析】由已知可得，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式可求．【詳解】由題意得，，所以，由三角函數(shù)的誘導公式可得，，所以，故當時，的最小值為故選：C．【例14-2】（24-25高三上·全國·階段練習）已知函數(shù)的最小正周期為，則的對稱軸可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求cosx（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心、由余弦（型）函數(shù)的周期性求值【分析】由條件，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期公式可求，再根據(jù)余弦型性質(zhì)求函數(shù)的對稱軸即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，所以，令，，可得，，所以函數(shù)的對稱軸為，，結(jié)合選項考慮令，化簡可得，所以取，此時對稱軸方程為.故選：B.【變式14-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）函數(shù)的一個對稱中心的橫坐標是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【知識點】求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】由可求得對稱中心的橫坐標.【詳解】由，可得，，所以，，所以當時，，故選：D【變式14-2】（24-25高二上·甘肅甘南·期中）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用cosx（型）函數(shù)的對稱性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式【分析】求出平移后的函數(shù)解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得，依題意，，解得，顯然不存在自然數(shù)使得選項ACD成立，當時，，B滿足.故選：B【考點題型十五】正余弦函數(shù)的值域或最值核心方法：圖象法+可化為一元二次函數(shù)型【例15-1】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．-2【答案】B【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、求含cosx的二次式的最值【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)，配方后求最小值.【詳解】因為，所以當時，，故選：B【例15-2】（23-24高一上·寧夏吳忠·期末）函數(shù)的最小值為．【答案】【知識點】求含cosx的二次式的最值【分析】配方后根據(jù)求最小值即可.【詳解】因為，，所以當時，，故函數(shù)的最小值為．故答案為：【變式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·階段練習）函數(shù)的值域為.【答案】【知識點】求含sinx（型）的二次式的最值【分析】利用三角恒等變換結(jié)合換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到單調(diào)性，求解最值，得到原函數(shù)值域即可.【詳解】因為，所以，故，令，得到，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，而，，故，故原函數(shù)值域為.故答案為：【變式15-2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列函數(shù)的最大值，并求出取得最大值時所有x的值：(1)；(2)，.【答案】(1)時，該函數(shù)取得最大值.(2)時，該函數(shù)取得最大值【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、二倍角的余弦公式、求含sinx（型）的二次式的最值【分析】（1）由三角恒等變換化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由配方法將該函數(shù)化為二次函數(shù)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）∵，，即時，該函數(shù)取得最大值.（2），時，該函數(shù)取得最大值.【考點題型十六】正切函數(shù)的定義域【例16】（2024高一上·全國·專題練習）函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【知識點】求對數(shù)型復合函數(shù)的定義域、求正切（型）函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)對數(shù)式中真數(shù)大于零，列出不等式，從而求解.【詳解】由題意得，即，所以，，所以，，故B項正確.故選:B.【變式16-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求函數(shù)的定義域，最小正周期及單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【知識點】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、求正切（型）函數(shù)的周期、求正切（型）函數(shù)的定義域【分析】首先將轉(zhuǎn)化為然后結(jié)合正切函數(shù)的定義域、單調(diào)性，整體代入求解即可；【詳解】x應滿足即函數(shù)的定義域為；周期公式法：，函數(shù)的最小正周期為：；又由解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.【變式16-2】（2024高一·全國·專題練習）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點】求正切（型）函數(shù)的定義域、求含tanx的函數(shù)的定義域【分析】(1)由有意義，列不等式求其解集可得函數(shù)的定義域，(2)由有意義可得且，，解不等式求其解集可得函數(shù)的定義域.【詳解】（1）由得，，所以函數(shù)y＝tan的定義域為.（2）由且有意義得且，，即，，所以函數(shù)的定義域為【考點題型十七】正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性【例17-1】（多選）（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．的圖象在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點對稱D．在區(qū)間上有兩個零點【答案】ACD【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、求正切（型）函數(shù)的對稱中心、求正切（型）函數(shù)的周期、求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用正切型函數(shù)的周期公式求解判斷A；結(jié)合正切函數(shù)的定義域分析判斷B；結(jié)合正切函數(shù)的對稱性求解判斷C；求出指定區(qū)間上的零點判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B，當時，，而當，即時，無意義，因此函數(shù)的圖象在上不單調(diào)，B錯誤；對于C，由，得，因此的圖象關(guān)于點對稱，C正確；對于D，由，得，當或，即或時，，所以在區(qū)間上有兩個零點，D正確.故選：ACD【例17-2】（多選）（2024·河北）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的對稱中心B．函數(shù)的定義域為C．函數(shù)的最小正周期是D．函數(shù)的解集是【答案】BCD【知識點】求正切（型）函數(shù)的對稱中心、求正切（型）函數(shù)的周期、解正切不等式【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心判斷A，求出正切型函數(shù)定義域判斷B，根據(jù)正切函數(shù)周期判斷C，解正切型函數(shù)不等式判斷D.【詳解】因為正切函數(shù)的對稱中心為，則,l可知函數(shù)的對稱中心應為，所以A錯誤；由，則fx定義域為，所以B對；函數(shù)的最小正周期與函數(shù)的最小正周期相同，都是，所以C對；函數(shù)等價于，解之可得：，所以D對.故選：BCD.【變式17-1】（多選）（24-25高三上·山東日照·階段練習）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．點為函數(shù)圖象的對稱中心B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值范圍為D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【答案】AC【知識點】求正切（型）函數(shù)的周期、求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】先求出解析式，對于A，求出函數(shù)的對稱中心即可判斷；對于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；對于C，根據(jù)變量范圍得出角的范圍即可得出函數(shù)的函數(shù)值范圍；對于D，求出正切型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間以及零點即可根據(jù)正切（型）函數(shù)圖象性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題，又，故，所以，對于A，令，則，所以的對稱中心為，當時，，故點為函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A正確；對于B，由上的最小正周期為，故B錯誤；對于C，當，，故，故C正確；對于D，令，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，令即，所以即，所以函數(shù)的零點為，作出函數(shù)的示意圖，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故D錯誤.故選：AC.【變式17-2】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）已知函數(shù)，則有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)的最小正周期為【答案】BCD【知識點】求正切（型）函數(shù)的奇偶性、求正切（型）函數(shù)的周期、求正切（型）函數(shù)的對稱中心、二倍角的余弦公式【分析】根據(jù)二倍角公式對函數(shù)解析式化簡變形，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)逐項分析即可判斷.【詳解】，由的最小正周期為可知，函數(shù)的最小正周期為，故D正確；又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；，所以，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故A錯誤.故選：BCD.【考點題型十八】正切函數(shù)的值域或最值【例18】（23-24高一下·上?！ふn后作業(yè)）已知，求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】最大值為，最小值為2【知識點】求含tanx的二次式的最值【分析】換元法求函數(shù)值域，首先令，根據(jù)得，進而結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】令，因為，所以，則，因為對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，；當時，.【變式18-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）求函數(shù)的定義域和值域．【答案】定義域為，值域為.【知識點】與二次函數(shù)相關(guān)的復合函數(shù)問題、求含tanx的函數(shù)的定義域、求含tanx的二次式的最值【分析】本題首先可以根據(jù)解得函數(shù)的定義域為，然后令，則，最后采用配方法即可求出值域.【詳解】因為，即，所以函數(shù)的定義域為，設，則，，故函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域以及值域的求法，考查正切函數(shù)的性質(zhì)，考查換元法求值域以及配方法的應用，考查計算能力，是中檔題.【變式18-2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）求函數(shù)在時的值域.【答案】【知識點】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、求含tanx的二次式的最值【分析】先求出的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得值域．【詳解】∵，∴，，∴時，，函數(shù)無最大值，∴所求值域為．故答案為：．【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)的值域，解題時利用整體思想（即換元思想）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題求解，使問題更加簡便易求．提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·山東青島·期中）在周長為定值的扇形中，面積最大時扇形的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】扇形面積的有關(guān)計算【分析】用半徑表示出面積，結(jié)合函數(shù)知識得結(jié)論.【詳解】設扇形半徑為，則扇形面積為，所以時，取得最大值.故選：C2．（24-25高二上·重慶·期中）若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【知識點】三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系、正、余弦齊次式的計算【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為“齊次式”求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：C3．（24-25高三上·四川·階段練習）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)、已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號【分析】利用三角函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合象限角的定義，可得答案.【詳解】依題意，，其中，為坐標原點，則，所以．故選：D.4．（24-25高二上·河南·階段練習）已知，則（

）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】B【知識點】正、余弦齊次式的計算【分析】由已知可得，即可求值.【詳解】.故選：B.5．（24-25高三上·青海西寧·期中）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及復合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)判斷．【詳解】，，在0,π上均不是單調(diào)函數(shù)，時，，所以在0,π上為增函數(shù)，在0,π上為減函數(shù).故選：D．6．（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】D【知識點】由正弦（型）函數(shù)的周期性求值、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)周期求出，代入，計算檢驗即可判斷各選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，因為，所以AC錯誤；，所以B錯誤，D正確.故選：D7．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線y=fx的兩個交點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】特殊角的三角函數(shù)值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式【分析】根據(jù)的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函數(shù)圖象上，代入計算，求出，從而求出.【詳解】令，解得或，是與曲線的兩個相鄰的交點，且在單調(diào)遞增區(qū)間上，在單調(diào)遞減區(qū)間上，在左邊，不妨設，，兩式相減得，又，故，所以，解得，故，又圖象可知，在函數(shù)圖象上，故，解得，所以.故選：C8．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應用【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求解即可.【詳解】因為，所以，所以所以，故選：A二、多選題9．（24-25高二上·廣東深圳·期中）設函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．的最大值為1【答案】AB【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根題意結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)逐項分析判斷即可.【詳解】對于選項A：函數(shù)最小正周期為，故A正確；對于選項BD：因為為最大值，可知的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確，D錯誤；對于選項C：因為，所以不為的零點，故C錯誤；故選：AB.10．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為1C．是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BC【知識點】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的奇偶性、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)，所以的圖像關(guān)于軸對稱，且不具備周期性，不關(guān)于直線對稱，故選項AD錯誤，C正確，且的最大值為1，故B正確.故選：BC三、填空題11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為.

【答案】【知識點】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式【分析】根據(jù)最值可得，根據(jù)周期可求解，代入最高點即可求解.【詳解】由圖可知,解得，故，周期,故，又,解得，由于所以，故，故答案為：12．（23-24高一上·江蘇揚州·階段練習）函數(shù)的值域為.【答案】【知識點】求cosx(型