專題01 集合及其運(yùn)算(考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點(diǎn)清單-題型解讀)(解析版)-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講(人教A版必修一)_第1頁
專題01 集合及其運(yùn)算(考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點(diǎn)清單-題型解讀)(解析版)-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講(人教A版必修一)_第2頁
專題01 集合及其運(yùn)算(考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點(diǎn)清單-題型解讀)(解析版)-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講(人教A版必修一)_第3頁
專題01 集合及其運(yùn)算(考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點(diǎn)清單-題型解讀)(解析版)-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講(人教A版必修一)_第4頁
專題01 集合及其運(yùn)算(考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點(diǎn)清單-題型解讀)(解析版)-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講(人教A版必修一)_第5頁
已閱讀5頁,還剩31頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

清單01集合及其運(yùn)算(個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練)【清單01】元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto):如果是集合的元素,就說屬于,記作.(2)不屬于(notbelongto):如果不是集合的元素,就說不屬于,記作.特別說明:表示一個元素,表示一個集合.它們間的關(guān)系為:.2集合元素的三大特性(1)確定性:給定的集合,它的元素必須是確定的,也就是說,給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了,我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的確定性.(2)互異性(考試??继攸c(diǎn),注意檢驗(yàn)集合的互異性):一個給定集合中元素是互不相同的,也就是說,集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的,我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的互異性.(3)無序性:集合中的元素是沒有固定順序的,也就是說,集合中的元素沒有前后之分,我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的無序性.【清單02】集合的表示方法(1)自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法(2)列舉法:把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.注用列舉法表示集合時注意:①元素與元素之間必須用“,”隔開.②集合中的元素必須是明確的.③集合中的元素不能重復(fù).④集合中的元素可以是任何事物.(3)描述法定義:一般地,設(shè)表示一個集合,把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為,這種表示集合的方法稱為描述法.有時也用冒號或分號代替豎線.具體方法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.(4)(韋恩圖法):在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖形稱為圖。【清單03】子集一般地,對于兩個集合,,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素,我們就說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合為集合的子集(1)記法與讀法:記作(或),讀作“含于”(或“包含”)(2)性質(zhì):①任何一個集合是它本身的子集,即.②對于集合,,,若,且,則(3)圖表示:【清單04】真子集的含義如果集合,但存在元素,且,我們稱集合是集合的真子集;(1)記法與讀法:記作,讀作“真包含于”(或“真包含”)(2)性質(zhì):①任何一個集合都不是是它本身的真子集.②對于集合,,,若,且,則(3)圖表示:【清單05】并集一般地,由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集,記作(讀作:并).記作:.并集的性質(zhì):,,,,.高頻性質(zhì):若.圖形語言【清單06】交集一般地,由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合,稱為集合與集合的交集,記作(讀作:交).記作:.交集的性質(zhì):,,,,.高頻性質(zhì):若.圖形語言【清單07】全集與補(bǔ)集全集:在研究某些集合的時候,它們往往是某個給定集合的子集,這個給定的集合叫做全集,常用表示,全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集:設(shè)是全集,是的一個子集(即),則由中所有不屬于集合的元素組成的集合,叫做中子集的補(bǔ)集,記作,即.補(bǔ)集的性質(zhì):,,.【考點(diǎn)題型一】辨別元素與集合,集合與集合的關(guān)系【解題方法】元素與集合關(guān)系:屬于()和不屬于()兩個關(guān)系集合與集合關(guān)系:包含;真包含;相等關(guān)系?!纠?】(24-25高一上·重慶長壽·期中)給出下列關(guān)系,其中正確的個數(shù)為(

)①;②;③;④,A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】常見集合的元素特征,判斷元素與集合的關(guān)系.【詳解】:全體實(shí)數(shù),①正確;:整數(shù),②正確;:正整數(shù),③錯誤;:有理數(shù),④錯誤.故選:B.【變式1-1】(24-25高一上·上海·期中)以下選項(xiàng)中,是集合的元素的是(

)A. B. C. D.【答案】A【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】逐個驗(yàn)證即可.【詳解】對于A:滿足,對于B:,錯誤;對于C:,錯誤;對于D:,錯誤;故選:A【變式1-2】(24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中)若集合是16和24的公約數(shù),則8.【答案】【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【詳解】根據(jù)集合對元素的描述,用列舉法寫出集合,即可得結(jié)果.【分析】根據(jù)題意求得集合,即可得結(jié)果.因?yàn)槭?6和24的公約數(shù),所以.故答案為:.【考點(diǎn)題型二】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【解題方法】緊抓屬于()和不屬于()兩個關(guān)系,同時注意回代檢查集合元素的互異性【例2】(24-25高一上·北京·期中)若,則實(shí)數(shù)x的值為.【答案】1或5【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】由元素和集合的關(guān)系列出等式,注意驗(yàn)證集合是否滿足“互異性”.【詳解】∵,,則元素重復(fù),故舍去.,則,符合題意;,即,則,符合題意.故答案為:1或5【變式2-1】(24-25高一上·江西南昌·期中)設(shè)集合,若,則(

)A.1 B.2 C.1或4 D.4【答案】C【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合元素的互異性求得.【詳解】由于,所以或,解得或,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以的值是或.故選:C【變式2-2】(24-25高一上·吉林通化·期中)若,則.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系,列出關(guān)于的方程求解即可,但是要注意集合中元素的互異性.【詳解】依題意可得或,且,所以,.故答案為:.【考點(diǎn)題型三】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【解題方法】分類討論+判別法【例3】(24-25高一上·安徽·階段練習(xí))已知集合中只有一個元素,則的所有可能取值組成的集合為.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】分和兩種情況討論,當(dāng)時,即可得解.【詳解】集合表示關(guān)于的方程的解集,因?yàn)榧现兄挥幸粋€元素,當(dāng),即,解得,此時,符合題意;當(dāng),則,解得或,當(dāng)時,時,符合題意;綜上可得的所有可能取值組成的集合為.故答案為:【變式3-1】(24-25高一上·北京·期中)已知集合,若中恰有2個元素,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】A【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】利用集合的元素個數(shù),結(jié)合一元二次方程根的情況列出不等式求解即得.【詳解】由集合中恰有2個元素,得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,因此,解得且,所以的取值范圍是.故選:A【變式3-2】(24-25高一上·河南·期中)已知關(guān)于x的方程的解集只有一個元素,則.【答案】0或【知識點(diǎn)】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】由方程只有一個解或兩個相等的實(shí)根求解可得.【詳解】當(dāng)時,得,符合題意;當(dāng)時,,得.故或.故答案為:或.【考點(diǎn)題型四】列舉法和描述法【解題方法】抓住描述法的一般元素和共同特征【例4】(24-25高一上·上海·期中)已知集合,則集合可以用列舉法表示為.【答案】【知識點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】由條件可得為的正約數(shù),且,由此確定結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋詾榈恼s數(shù),且,所以或或或,所以或或或,所以.故答案為:.【變式4-1】(24-25高一上·四川成都·期中)用列舉法可將集合表示為(

)A. B. C. D.【答案】C【知識點(diǎn)】列舉法表示集合、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】將集合化簡改寫為列舉法即可.【詳解】由題可知故選:C【變式4-2】(24-25高三上·上海·期中)已知集合,其中可以相同,用列舉法表示集合中最小的4個元素所構(gòu)成的集合為.【答案】【知識點(diǎn)】列舉法表示集合【分析】是自然數(shù)集且,所以的值越小,則的值越小,注意相同元素要舍去,即可得到對應(yīng)集合.【詳解】要想越小,則取值越小,故時,;故時,;故時,;故時,;故集合中最小的4個元素所構(gòu)成的集合為,故答案為:.【考點(diǎn)題型五】子集(真子集)問題【例5-1】(24-25高一上·四川成都·期中)集合的所有子集中的元素之和為(

)A.126 B.128 C.130 D.132【答案】B【知識點(diǎn)】求集合的子集(真子集)【分析】根據(jù)子集概念分析即可求解.【詳解】,集合的所有子集有:,,1,3,5,7分別在子集中各出現(xiàn)8次,.故選:B.【變式5-1】(24-25高一上·貴州六盤水·期中)集合的真子集的個數(shù)為(

)A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)【分析】由集合所包含元素個數(shù)與集合真子集個數(shù)之間的關(guān)系即可得解.【詳解】含有個元素的集合的真子集個數(shù)為,即所求為.故選:C.【變式5-2】(24-25高一上·江西南昌·期中)滿足的集合的個數(shù)是()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)【分析】集合中一定含有元素,然后寫出集合的含有元素的所有子集.【詳解】滿足的集合有:,,,,,,,.共8個.故選:A.【考點(diǎn)題型六】根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)(重點(diǎn)題型)【解題方法】數(shù)軸法,列舉法,特別注意不要忽視空集【例6-1】(24-25高一上·上?!て谥校┤艏希?,且,則實(shí)數(shù)組成的集合是.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】計算集合,再分別求和時,的值即可.【詳解】由題意,,又,若,則,滿足題意;若,則,所以或.故答案為:.【例6-2】(多選)(24-25高一上·吉林白城·期中)已知集合或,,且是的真子集,則的取值可能為(

)A.3 B. C.3.5 D.6【答案】BCD【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】利用真子集概念,得出關(guān)于的不等式,解之即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】因是的真子集,若,則,解得,符合題意;若,則,解得,故需使或,解得或;綜上所述:或;故選:BCD.【變式6-1】(24-25高三上·湖北·期中)已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A. B. C.0,2 D.【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù),通過數(shù)軸即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以由?shù)軸可得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:B.【變式6-2】(24-25高一上·廣東廣州·期中)已知集合,若,若集合是的子集且有兩個元素,則.【答案】或或【知識點(diǎn)】求集合的子集(真子集)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】首先根據(jù),求出參數(shù)的值;然后再根據(jù)子集的概念求解集合即可【詳解】由于,所以或,解得:或;當(dāng)時,不滿足元素的互異性,故舍去;當(dāng)時,滿足題意.又因?yàn)榧鲜羌系淖蛹矣袃蓚€元素,所以或或.故答案為:或或.【變式6-3】(24-25高一上·廣東·期中)已知集合,,若,則的取值集合為.【答案】{1}【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】利用集合間的基本關(guān)系分類討論即可.【詳解】因?yàn)?,所以,所以或,即或,?dāng)時,,,滿足;當(dāng)時,,,不滿足;綜上,1.故答案為:.【考點(diǎn)題型七】集合的綜合運(yùn)算【解題方法】并交補(bǔ)定義,請?zhí)貏e注意區(qū)分交集()并集()符合的區(qū)別【例7-1】(24-25高一上·重慶·期中)若全集,集合,則()A. B. C. D.【答案】A【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義可求.【詳解】,故,故選:A.【例7-2】(24-25高一上·廣東廣州·期中)設(shè)全集,已知集合,集合.求:(1),;(2).【答案】(1),(2)或【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】運(yùn)用交集,并集,補(bǔ)集概念計算即可.【詳解】(1)解:因?yàn)椋瑒t,;(2)解:因?yàn)槿?,,則或,或,因此,或.【變式7-1】(24-25高三上·陜西咸陽·期中)已知集合,則(

)A. B. C. D.【答案】B【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】運(yùn)用集合交集概念計算即可.【詳解】,則.故選:B.【變式7-2】(24-25高一上·陜西寶雞·期中)已知集合,則(

)A. B. C. D.【答案】C【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】求出集合,再由交集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意由可得;所以.故選:C【變式7-3】(24-25高三上·北京朝陽·期中)設(shè)集合,集合,則(

)A. B.C. D.【答案】A【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得答案.【詳解】因?yàn)榧?,集合,所?故選:A.【考點(diǎn)題型八】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【解題方法】根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果,推出包含關(guān)系,借助數(shù)軸或通過列舉求參數(shù)【例8-1】(24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí))已知:,(1),求a的取值范圍;(2),求a的取值范圍.【答案】(1)或;(2).【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】(1)求出集合,再由給定交集的結(jié)果,結(jié)合集合包含關(guān)系求出范圍.(2)由(1)中信息,由并集的結(jié)果,結(jié)合集合包含關(guān)系求出范圍.【詳解】(1)依題意,,由,得,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,,無解;當(dāng)時,,解得,所以a的取值范圍是或.(2)由,得,而集合是一元二次方程的解集,因此,由(1)知,,解得,所以a的取值范圍是.【例8-2】(24-25高一上·北京·期中)記全集,集合,.(1)若,求,;(2)若,求a的取值范圍;(3)若,求a的取值范圍.【答案】(1),(2)(3)或【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】(1)根據(jù)交集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解;(2)根據(jù)題意可得到有關(guān)的一個方程組,求解即可;(3)分和兩種情況求解即可.【詳解】(1)若,則,又或,則,;(2)集合,或,,所以,解得,所以a的取值范圍為;(3)因?yàn)?,則,,或,當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,或,解得或,綜上,若,求a的取值范圍為或.【變式8-1】(24-25高一上·浙江紹興·期中)設(shè)集合.(1)當(dāng)時,求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】(1)運(yùn)用補(bǔ)集交集概念求解即可;(2),得到.分類討論,比較端點(diǎn)即可.【詳解】(1),或x>7},.(2),.①時,得.②時,則,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式8-2】(24-25高一上·貴州·期中)已知集合,.(1)當(dāng)時,求,,;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1),;(2)或.【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、并集的概念及運(yùn)算【分析】(1)當(dāng)時,寫出集合,利用并集和交集的定義可得出集合、;(2)由題意可得,分、兩種情況討論,在時,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,;在時,根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,且,則,.(2)因?yàn)椋?當(dāng)時,,解得;當(dāng)時,則,解得.綜上,的取值范圍是或.【變式8-3】(24-25高一上·天津河北·期中)已知全集,集合,或x≥4.(1)若,求,;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或;(2).【知識點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】(1)利用集合交集、并集與補(bǔ)集的定義求解即可;(2)由可列出不等式組,解不等式組即可得出答案.【詳解】(1)將代入集合中的不等式得,因?yàn)榛?,所以或;又因?yàn)椋?;?)因?yàn)?,或,又因?yàn)椋瑒t,所以A不是空集,因?yàn)?,所以解?【考點(diǎn)題型九】實(shí)際問題中的集合問題【解題方法】利用圖解【例9】(24-25高一上·廣東廣州·期中)廣州奧林匹克中學(xué)第5屆(總第35屆)學(xué)校運(yùn)動會于2024年11月7日至8日在車陂路校區(qū)和智谷校區(qū)同時舉行,本屆校運(yùn)會,初中新增射擊比賽項(xiàng)目,初一某班共有28名學(xué)生參加比賽,其中有15人參加田賽比賽,有14人參加徑賽比賽,有8人參加射擊比賽,同時參加田賽和射擊比賽的有3人,同時參加田賽和徑賽比賽的有3人,沒有人同時參加三項(xiàng)比賽,只參加一項(xiàng)比賽的有(

)人.A.3 B.9 C.19 D.14【答案】C【知識點(diǎn)】容斥原理的應(yīng)用、利用Venn圖求集合【分析】畫出韋恩圖求解即可.【詳解】解:設(shè)只參加射擊的人數(shù)為x,同時參加射擊和徑賽比賽的人數(shù)為y,只參加徑賽的人數(shù)為z,作出韋恩圖,如圖所示:則由韋恩圖得:,解得,所以只參加一項(xiàng)比賽的有人.故選:C.【變式9-1】(多選)(24-25高一上·陜西咸陽·期中)某高中為了迎接元旦的到來,在元旦前一周舉辦了主題為“迎元旦,向未來”的趣味運(yùn)動會,其中共有20名同學(xué)參加拔河?四人足球?羽毛球三個項(xiàng)目,其中有12人參加拔河,有10人參加四人足球,有8人參加羽毛球,拔河和四人足球都參加的有3人,拔河和羽毛球都參加的有4人,四人足球和羽毛球都參加的有5人,則(

)A.三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B.只參加拔河的有6人C.只參加四人足球的有4人 D.只參加羽毛球的有1人【答案】ACD【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合【分析】韋恩圖法解集合問題.【詳解】設(shè)三項(xiàng)比賽都參加的有人,根據(jù)題意,參加各個項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示.由,且,解得,所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人,A選項(xiàng)正確;只參加拔河的有7人,B選項(xiàng)錯誤;只參加四人足球的有4人,C選項(xiàng)正確;只參加羽毛球的有1人,D選項(xiàng)正確.

故選:ACD.【變式9-2】(24-25高一上·福建廈門·期中)某學(xué)校高一年級一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽,根據(jù)作品質(zhì)量評定為優(yōu)秀和合格兩個等級,結(jié)果如表所示:若在兩項(xiàng)比賽中都評定為合格的學(xué)生最多為10人,則在兩項(xiàng)比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人.優(yōu)秀合格合計語文202848英語301848【答案】12【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合【分析】利用Venn圖求解.【詳解】解:由題意得:設(shè)語文合格的為集合A,英語合格的為集合B,由題意畫出Venn圖,如圖所示:則,所以,即兩項(xiàng)比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人,故答案為:12【變式9-3】(24-25高一上·重慶·期中)某校有26個學(xué)生參加了數(shù)學(xué)小組,17個學(xué)生參加了物理小組,10個學(xué)生參加了化學(xué)小組,其中同時參加數(shù)學(xué)、物理小組的有12人,同時參加數(shù)學(xué)、化學(xué)小組的有6人,同時參加物理、化學(xué)小組的有5人,同時參加3個小組的有2人,現(xiàn)在這3個小組的學(xué)生都要乘車去市里參加數(shù)理化競賽,則需要預(yù)購買張車票.【答案】32【知識點(diǎn)】容斥原理的應(yīng)用、利用Venn圖求集合【分析】根據(jù)要寫條件,利用韋恩圖即可求出總?cè)藬?shù).【詳解】依題意,得如圖所示的韋恩圖,參加數(shù)理化競賽的學(xué)生有人,所以需預(yù)購32張車票.

故答案為:32【考點(diǎn)題型十】集合中的新定義題(選填題)【例10】(24-25高一上·湖南長沙·期中)對于一個由整數(shù)組成的集合,中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”,的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”.已知集合,則的“小和數(shù)”為,的“大和數(shù)”為.【答案】580【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)、集合新定義、并集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)給定定義直接求出的“小和數(shù)”;求出集合的所有非空子集中含有每個元素的子集個數(shù)即可求出的“大和數(shù)”.【詳解】依題意,的“小和數(shù)”為;集合的所有非空子集中,含有數(shù)的子集,可視為集合的每個子集與的并集,因此含有數(shù)的子集個數(shù)為,同理含有數(shù)的子集個數(shù)均為,所以的“大和數(shù)”為.故答案為:5;80【變式10-1】(24-25高一上·北京·期中)設(shè)集合,在上定義運(yùn)算,其中為被3除的余數(shù),,,則使關(guān)系式成立的有序數(shù)對共有(

)A.0對 B.2對 C.3對 D.4對【答案】C【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】由定義可知滿足成立的有序數(shù)對應(yīng)保證除以3的余數(shù)加后除以3等于0,然后分9種情況討論即可.【詳解】由定義可知滿足成立的有序數(shù)對應(yīng)保證除以3的余數(shù)加后除以3等于0,除以3的余數(shù)是0,除以3的余數(shù)是0;除以3的余數(shù)是1,除以3的余數(shù)是1;除以3的余數(shù)是2,除以3的余數(shù)是2;除以3的余數(shù)是1,除以3的余數(shù)是2;除以3的余數(shù)是2,除以3的余數(shù)是0;除以3的余數(shù)是0,除以3的余數(shù)是1;除以3的余數(shù)是2,除以3的余數(shù)是1;除以3的余數(shù)是0,除以3的余數(shù)是2;除以3的余數(shù)是1,除以3的余數(shù)是0;所以滿足條件的數(shù)對有,共3對,故選:C.【變式10-2】(24-25高一上·遼寧遼陽·期中)我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個子集族.例如集合有3個子集族:.若集合B中有3個元素,則B的不同子集族有(

)A.128個 B.127個 C.256個 D.255個【答案】D【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)、集合新定義【分析】我們定義全子集族為:子集族內(nèi)的集合加上空集本身,先得出集合的子集個數(shù),類比可得不同全子集族、不同子集族個數(shù).【詳解】我們定義全子集族為:子集族內(nèi)的集合加上空集本身,一般地,設(shè)集合中有個元素,則它有個子集,我們對所有子集按元素個數(shù)分類為:,則集合不同的全子集族個數(shù)為個,從而集合不同的子集族個數(shù)為個,若集合B中有3個元素,從而B的不同子集族有個.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵在于對新定義的理解,由此即可順利得解.【變式10-3】(24-25高一上·上海浦東新·期中)已知,,定義集合A,B之間的運(yùn)算“*”,,則集合【答案】【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】中的元素是所有A中的元素與B中元素的和構(gòu)成,求出兩個集合中元素的和,寫出集合,注意元素的互異性.【詳解】,中的元素有,所以.故答案為:.【考點(diǎn)題型十一】集合中的新定義題(解答題)【例11-1】(24-25高一上·北京·期中)對于正整數(shù)集合,記,記集合所有元素之和為,.若,存在非空集合、,滿足:①;②;③,則稱存在“雙拆”.若,均存在“雙拆”,稱可以“任意雙拆”.(1)判斷集合和是否存在“雙拆”?如果是,繼續(xù)判斷可否“任意雙拆”(不必寫過程,直接寫出判斷結(jié)果);(2),判斷是否能“任意雙拆”,并證明;(3)若可以“任意雙拆”,求中元素個數(shù)的最小值.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)7.【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】(1)根據(jù)題中定義判斷可得出結(jié)論.(2)不妨設(shè),利用反證法,通過討論集合中去掉的元素,結(jié)合“任意雙拆”的定義得出等式,推出矛盾,即可證得原結(jié)論成立;(3)分析可知集合中每個元素均為奇數(shù),且集合中所有元素都為奇數(shù),分析可知,當(dāng)時,,根據(jù)“任意分拆”的定義可判斷集合可“任意分拆”,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)對于集合,,且,因此集合可雙拆,若在集合中去掉元素,因?yàn)椋?,,則集合不可“任意分拆”;對于集合,,,因此集合可雙拆,,在集合中,任意一個數(shù)與其它3個數(shù)的和都不等,任意兩個數(shù)的和與另外兩個數(shù)的和也都不等,因此集合不可“任意分拆”.(2)集合不能“任意雙拆”,不妨設(shè),反證法:如果集合可以“任意雙拆”,若去掉的元素為,將集合分成兩個交集為空集的子集,且兩個子集元素之和相等,則有,①,或,②,若去掉的元素為,將集合分成兩個交集為空集的子集,且兩個子集元素之和相等,則有,③,或,④,由①③可得,矛盾;由②③可得,矛盾;由①④可得,矛盾;由②④可得,矛盾.因此,當(dāng)時,集合一定不能“任意雙拆”.(3)設(shè)集合,由,,,得均為偶數(shù),因此均為奇數(shù)或偶數(shù),若為奇數(shù),則也均為奇數(shù),由于,則為奇數(shù);如果為偶數(shù),則也均為偶數(shù),此時設(shè),則也是可“任意分拆”的,重復(fù)上述操作有限次,便可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的“任意分拆”集,此時各項(xiàng)之和也為奇數(shù),因此集合中元素個數(shù)為奇數(shù),當(dāng)時,顯然集合不可“任意分拆”;當(dāng)時,由(2)可知,不可“任意分拆”,則,當(dāng)時,取集合,,,,,,,則集合可“任意分拆”,所以集合中元素個數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:處理集合有關(guān)的新定義問題時,關(guān)鍵在于審清題意,合理將所給定義轉(zhuǎn)化為元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系來處理,本題在證明(2)中的結(jié)論時,要充分利用題中定義,結(jié)合反證法推出矛盾,進(jìn)而得出結(jié)論成立.【例11-2】(24-25高一上·上?!て谥校┮阎强諏?shí)數(shù)集滿足:若,則;若,則.(1)若,直接寫出中一定包含的元素;(2)若由三個元素組成,且所有元素之和為,求;(3)若由2024個元素組成,求的元素個數(shù)的最大值.【答案】(1);(2);(3)674【知識點(diǎn)】集合新定義【分析】(1)由數(shù)集的屬性求出中一定包含的元素;(2)令,求出中的3個元素,進(jìn)而求出值,得數(shù)集;(3)求出數(shù)集中元素組成形式,結(jié)合元素循環(huán)的最小正周期,再分類討論求出的元素個數(shù)的最大值.【詳解】(1)由題意可得:,則,于是,則,則,則,則,所以中一定包含的元素為.(2)因?yàn)椋瑒t,令,則,,,因?yàn)椋?,,可都化為,因?yàn)?,故無解,故為中的三個元素,因?yàn)樗性刂蜑?,所以,整理得:,即,解得或或,所?(3)當(dāng),則,,,,而無解,所以,,,均無解.所以數(shù)集以形式出現(xiàn),4個數(shù)為一組出現(xiàn),組與組之間無公共元素,,而數(shù)集以形式出現(xiàn),3個數(shù)為一組出現(xiàn),組與組之間無公共元素,,于是數(shù)集,的元素個數(shù)分別是以4和3為最小正周期循環(huán),且當(dāng)時,,而4和3互素,因此數(shù)集,中各組最多只能有1個公共元素,設(shè)集合中共有個元素,滿足是4的整數(shù)倍,其中有個元素在中,滿足,由同一周期內(nèi)元素不相等,得這個元素在集合中歸屬于不同組內(nèi),則集合中有個元素,同時在內(nèi)還有個元素,并滿足是3的整數(shù)倍,,顯然,解得,當(dāng)時,符合條件的整數(shù),所以的元素個數(shù)的最大值是674個.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解析第3問的關(guān)鍵是確定集合中元素的構(gòu)成以及元素的個數(shù)表達(dá)式.【變式11-1】(24-25高一上·浙江·期中)設(shè)k是正整數(shù),A是的非空子集(至少有兩個元素),如果對于A中的任意兩個元素x,y,都有,則稱A具有性質(zhì).(1)試判斷集合,是否具有性質(zhì)?并說明理由;(2)若集合,證明A不可能具有性質(zhì);(3)若集合且具有性質(zhì)和,求A中元素個數(shù)的最大值.【答案】(1)不具有性質(zhì),具有性質(zhì),理由見解析(2)證明見解析(3)455個.【知識點(diǎn)】判斷兩個集合的包含關(guān)系、集合新定義【分析】(1)根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可;(2)將集合中的元素分為10個集合,進(jìn)行求解即可;(3)先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合A中最多選取5項(xiàng),然后求出集合A中共有455個元素,即可.【詳解】(1),不具有性質(zhì).,,,具有性質(zhì);(2)將集合中的元素分為如下10個集合,,,,,,,,,,.所以從集合中取11個元素,那么這10個集合至少有一個集合要選2個數(shù),存在兩個元素其差為5,不可能具有性質(zhì);(3)先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合A中最多選取5項(xiàng),以1,2,3…,11為例.將這11個數(shù)分為,,,,,,7個集合,①,6,7同時選,因?yàn)榫哂行再|(zhì)和,所以選5則不選1,;選6則不選2,;選7則不選3,;則只剩4,.故1,2,…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.②,6,7選2個,若只選5,6,則1,2,9,10,7不可選,又只能選一個元素,3,8可以選,故1,2,…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.若選5,7,則只能從2,4,8,10中選,但4,8不能同時選,故1,2,…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.若選6,7,則2,3,10,11,5不可選,又只能選一個元素,4,9可以選,故1,2,…11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.③,6,7中只選1個,又四個集合,,,每個集合至多選1個元素,故1,2,…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.由上述①②③可知,連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合A的元素至多只有5個,如取1,4,6,7,9.因?yàn)椋瑒t把每11個連續(xù)自然數(shù)分組,前90組每組至多選取5項(xiàng);從991開始,最后10個數(shù)至多選取5項(xiàng),故集合A的元素最多有個.給出如下選取方法:從1,2,…,11中選取1,4,6,7,;然后在這5個數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11,構(gòu)造90次.此時集合A的元素為:1,4,6,7,;,15,17,18,;,26,28,29,;;,2017,2019,2020,2022,991,994,996,997,999共455個元素.經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求,故集合A的元素最多有455個.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第三問的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)集合新定義對集合的中元素進(jìn)行分類,可先取其中連續(xù)11項(xiàng)進(jìn)行討論較為簡單.【變式11-2】(24-25高一上·四川成都·期中)已知集合,對于,,定義A與B的差為;A與B之間的距離為.(1)設(shè),求;(2)證明:對,有,且;(3)證明:對,,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【知識點(diǎn)】集合新定義、集合綜合【分析】(1)由題中的定義計算即可;(2)由題中的定義首先證明:,有,然后證明即可.(3)結(jié)合(2)中的結(jié)論和奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,得,于是.?)證明:設(shè),,,因?yàn)椋?,從而,又,由題意知,當(dāng)時,,當(dāng)時,.所以.(3)證明:設(shè),,,,,,記,由(2)可知:,所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為l,設(shè)t是使成立的i的個數(shù).則,由此可知,k,l,h三個數(shù)不可能都是奇數(shù),即,,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).提升訓(xùn)練一、單選題1.(24-25高一上·北京·期中)已知集合,則下列說法正確的是(

)A. B. C. D.【答案】D【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】由元素與集合的關(guān)系判斷A,根據(jù)集合中的元素判定BCD.【詳解】由于元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,不是包含關(guān)系,故A錯誤;因?yàn)椋訠C錯誤,D正確.故選:D2.(24-25高一上·陜西寶雞·期中)已知集合,則(

)A. B. C. D.【答案】C【知識點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】求出集合,再由交集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意由可得;所以.故選:C3.(24-25高一上·福建漳州·期中)設(shè)全集是實(shí)數(shù)集,則陰影部分所表示的集合是(

)A. B.C. D.【答案】A【知識點(diǎn)】利用Venn圖求集合【分析】由陰影部分表示的集合求解.【詳解】解:陰影部分表示的集合為:,故選:A4.(24-25高一上·廣東珠海·期中)已知集合滿,則集合的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以必有,因此集合可以是,因此集合的個數(shù)為4,故選:D5.(24-25高一上·北京通州·期中)設(shè)集合為非空集合,且,若,則,滿足上述條件的集合的個數(shù)為(

)A.12 B.15 C.31 D.32【答案】B【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)【分析】寫出72在大于3時的全部因數(shù),為了滿足題意集合中的元素需要成對出現(xiàn),所以看作只有4個元素的集合,求非空子集的個數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴滿足“,則”的的集合是的子集,但3和24,4和18,6和12,8和9需同時出現(xiàn),∴將集合看作有4個元素,求其非空子集個數(shù)為:.故選:B.6.(24-25高一上·湖南·階段練習(xí))已知集合,則的非空真子集的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)【分析】由題意利用列舉法寫出集合的元素,進(jìn)而寫出交集,利用公式,可得答案.【詳解】因?yàn)椋?,故其非空真子集的個數(shù)為.故選:B.7.(23-24高一下·云南昆明·期中)設(shè)集合,若,則的取值范圍(

)A. B. C. D.【答案】B【知識點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】若,則,結(jié)合數(shù)軸分析即可.【詳解】若,則,畫出數(shù)軸可得,.故選:B8.(23-24高一上·湖北·期中)已知集合,若,則的值是(

)A.0 B.3 C. D.3,0【答案】D【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】根據(jù),可得,分類討論即可.【詳解】因?yàn)?,所以,?dāng)時,此時,,符合題意;當(dāng)時,解得或,當(dāng)時,,符合題意;當(dāng)時,與集合元素的互異性矛盾,不符合題意,綜上:或,故選:D.9.(23-24高一上·北京·階段練習(xí))設(shè)非空數(shù)集同時滿足條件:①中不含元素;②若,則.則下列結(jié)論正確的是(

)A.集合中至多有2個元素B.集合中至多有3個元素C.集合中有且僅有4個元素D.集合中至少有5個元素【答案】C【知識點(diǎn)】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)【分析】由題意可求出都在中,然后計算這些元素是否相等,繼而判斷的元素個數(shù)的特點(diǎn).【詳解】因?yàn)槿?,則,所以,,則,當(dāng)時,4個元素中,任意兩個元素都不相等,所以集合中有且僅有4個元素,故選:C二、多選題10.(24-25高一上·福建漳州·期中)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題:“今有物,不知其數(shù).三三數(shù)之,剩二;五五數(shù)之,剩三;七七數(shù)之,剩二.問:物幾何?”現(xiàn)有如下表示:已知,,,若,則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為(

)A.23 B.68 C.128 D.233【答案】ACD【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、交集的概念及運(yùn)算【分析】依題意可知整數(shù)除以3余數(shù)為2,除以5余數(shù)為3,除以7余數(shù)為2;對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知,代表的是除以3余數(shù)為2,除以5余數(shù)為3,除以7余數(shù)為2的整數(shù);對于A,可知,即A正確;對于B,可得,不合題意,即B錯誤;對于C,可得,即C正確;對于D,易知.可知D正確.故選:ACD11.(24-25高一上·新疆喀什·期中)取整函數(shù):不超過x的最大整數(shù),如,,.取整函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,諸如停車收費(fèi),出租車收費(fèi)等都是按照"取整函數(shù)"進(jìn)行計費(fèi)的.以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題的有(

)A.,B.,C.,,,則D.,【答案】BCD【知識點(diǎn)】判斷特稱(存在性)命題的真假、判斷全稱命題的真假【分析】判斷特稱命題正確,只要舉出例子即可,判斷全稱命題錯誤,也只要舉出例子即可.可以用特殊值法,舉例判斷.【詳解】對于A,根據(jù)新定義“取整函數(shù)”的意義知不一定成立,如x取1.5,,,故A錯誤;對于B,x取1,,,B正確;對于C,設(shè),,若,則,因此,故C正確;對于D,設(shè),當(dāng)時,,,所以,當(dāng)時,,,所以,即D正確.故選:BCD.12.(24-25高一上·重慶·階段練習(xí))設(shè),則(

)A. B.C. D.【答案】BCD【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】利用數(shù)的特征及元素與集合的關(guān)系計算即可.【詳解】設(shè),而,即A錯誤,C正確;,即B正確;,即D正確.故選:BCD.三、填空題13.(24-25高三上·上?!て谥校┮阎?,集合P是集合M的三元子集,即,P中的元素a,b,c滿足,則符合要求的集合P個數(shù)是.【答案】1012【知識點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)【分析】根據(jù)題中條件先用表示出,得到,再由,求出范圍,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,整理得,所以,故或(舍去),則,所以,令,得,又,,所以符合要求的集合的個數(shù)為.故答案為:1012.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù),用表示出,再由集合滿足的條件,求解即可.14.(24-25高一上·江蘇·期中)若或,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】由或,則,解得,故答案為:1215.(24-25高一上·云南昭通·階段練習(xí))已知集合,若,則.【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)集合元素的互異性分別討論集合中三個元素分別為1時的值,再計算即可;【詳解】因?yàn)椋魰r,,不符合元素的互異性;若,即或2時:當(dāng)時,集合,不符合元素的互異性;當(dāng)時,,不符合元素的互異性;若,即或2時:當(dāng)時,由以上可知不符合題意;當(dāng)時,,符合;所以,所以,故答案為:.16.(24-25高一上·北京·期中)已知非空集合A,B滿足以下四個條件:①;②;③A中的元素個數(shù)不是A中的元素;④B中的元素個數(shù)不是B中的元素.(?。┤绻螦中只有1個元素,那么集合A的元素是;(ⅱ)有序集合對的個數(shù)是.【答案】510【知識點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、列舉法求集合中元素的個數(shù)、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)【分析】由集合A中只有1個元素,且集合滿足①②③,集合滿足①②④可得第一空;分別討論集合中元素個數(shù)結(jié)合題意可得第二空;【詳解】若集合A中只有1個元素,則集合中有5個元素,則,所以;當(dāng)集合中有一個元素時,由以上可得,只能為5,此時,有序集合對為1個;當(dāng)集合中有兩個元素時集合中有4個元素,,所以,此時四種情況,對應(yīng)的,有序集合對為4個;當(dāng)集合中有三個元素時,此時集合中也有三個元素,,不符合題意;當(dāng)

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論