專題01 集合及其運(yùn)算（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 11個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單01集合及其運(yùn)算（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】元素與集合1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說(shuō)屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說(shuō)不屬于，記作.特別說(shuō)明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試常考特點(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無(wú)序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說(shuō)，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無(wú)序性.【清單02】集合的表示方法（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z(yǔ)言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖?！厩鍐?3】子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合，，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合是它本身的子集，即.②對(duì)于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單04】真子集的含義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)（2）性質(zhì)：①任何一個(gè)集合都不是是它本身的真子集.②對(duì)于集合，，，若，且，則（3）圖表示：【清單05】并集一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合稱為集合與集合的并集，記作（讀作：并）.記作：.并集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語(yǔ)言【清單06】交集一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.交集的性質(zhì)：,,,,.高頻性質(zhì)：若.圖形語(yǔ)言【清單07】全集與補(bǔ)集全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.補(bǔ)集：設(shè)是全集，是的一個(gè)子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補(bǔ)集，記作，即.補(bǔ)集的性質(zhì)：,,.【考點(diǎn)題型一】辨別元素與集合，集合與集合的關(guān)系【解題方法】元素與集合關(guān)系：屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系集合與集合關(guān)系：包含；真包含；相等關(guān)系?！纠?】（24-25高一上·重慶長(zhǎng)壽·期中）給出下列關(guān)系，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④，A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（24-25高一上·上海·期中）以下選項(xiàng)中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）若集合是16和24的公約數(shù)，則8．【考點(diǎn)題型二】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【解題方法】緊抓屬于（）和不屬于（）兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)注意回代檢查集合元素的互異性【例2】（24-25高一上·北京·期中）若，則實(shí)數(shù)x的值為.【變式2-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）設(shè)集合，若，則（

）A．1 B．2 C．1或4 D．4【變式2-2】（24-25高一上·吉林通化·期中）若，則.【考點(diǎn)題型三】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【解題方法】分類討論+判別法【例3】（24-25高一上·安徽·階段練習(xí)）已知集合中只有一個(gè)元素，則的所有可能取值組成的集合為.【變式3-1】（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2個(gè)元素，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（24-25高一上·河南·期中）已知關(guān)于x的方程的解集只有一個(gè)元素，則.【考點(diǎn)題型四】列舉法和描述法【解題方法】抓住描述法的一般元素和共同特征【例4】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，則集合可以用列舉法表示為.【變式4-1】（24-25高一上·四川成都·期中）用列舉法可將集合表示為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列舉法表示集合中最小的4個(gè)元素所構(gòu)成的集合為．【考點(diǎn)題型五】子集（真子集）問題【例5-1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和為（

）A．126 B．128 C．130 D．132【變式5-1】（24-25高一上·貴州六盤水·期中）集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【變式5-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）滿足的集合的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考點(diǎn)題型六】根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)（重點(diǎn)題型）【解題方法】數(shù)軸法，列舉法，特別注意不要忽視空集【例6-1】（24-25高一上·上?！て谥校┤艏希?，且，則實(shí)數(shù)組成的集合是.【例6-2】（多選）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，則的取值可能為（

）A．3 B． C．3.5 D．6【變式6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．0,2 D．【變式6-2】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有兩個(gè)元素，則．【變式6-3】（24-25高一上·廣東·期中）已知集合，，若，則的取值集合為.【考點(diǎn)題型七】集合的綜合運(yùn)算【解題方法】并交補(bǔ)定義，請(qǐng)?zhí)貏e注意區(qū)分交集（）并集（）符合的區(qū)別【例7-1】（24-25高一上·重慶·期中）若全集，集合，則（）A． B． C． D．【例7-2】（24-25高一上·廣東廣州·期中）設(shè)全集，已知集合，集合.求：(1)，；(2).【變式7-1】（24-25高三上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式7-2】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．【變式7-3】（24-25高三上·北京朝陽(yáng)·期中）設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【解題方法】根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果，推出包含關(guān)系，借助數(shù)軸或通過(guò)列舉求參數(shù)【例8-1】（24-25高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知：，(1)，求a的取值范圍；(2)，求a的取值范圍．【例8-2】（24-25高一上·北京·期中）記全集，集合，.(1)若，求，；(2)若，求a的取值范圍；(3)若，求a的取值范圍.【變式8-1】（24-25高一上·浙江紹興·期中）設(shè)集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式8-2】（24-25高一上·貴州·期中）已知集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求，，；(2)若，求的取值范圍.【變式8-3】（24-25高一上·天津河北·期中）已知全集，集合，或x≥4.(1)若，求，；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【考點(diǎn)題型九】實(shí)際問題中的集合問題【解題方法】利用圖解【例9】（24-25高一上·廣東廣州·期中）廣州奧林匹克中學(xué)第5屆（總第35屆）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)于2024年11月7日至8日在車陂路校區(qū)和智谷校區(qū)同時(shí)舉行，本屆校運(yùn)會(huì)，初中新增射擊比賽項(xiàng)目，初一某班共有28名學(xué)生參加比賽，其中有15人參加田賽比賽，有14人參加徑賽比賽，有8人參加射擊比賽，同時(shí)參加田賽和射擊比賽的有3人，同時(shí)參加田賽和徑賽比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加一項(xiàng)比賽的有（

）人.A．3 B．9 C．19 D．14【變式9-1】（多選）（24-25高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）某高中為了迎接元旦的到來(lái)，在元旦前一周舉辦了主題為“迎元旦，向未來(lái)”的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中共有20名同學(xué)參加拔河?四人足球?羽毛球三個(gè)項(xiàng)目，其中有12人參加拔河，有10人參加四人足球，有8人參加羽毛球，拔河和四人足球都參加的有3人，拔河和羽毛球都參加的有4人，四人足球和羽毛球都參加的有5人，則（

）A．三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B．只參加拔河的有6人C．只參加四人足球的有4人 D．只參加羽毛球的有1人【變式9-2】（24-25高一上·福建廈門·期中）某學(xué)校高一年級(jí)一班48名同學(xué)全部參加語(yǔ)文和英語(yǔ)書面表達(dá)寫作比賽，根據(jù)作品質(zhì)量評(píng)定為優(yōu)秀和合格兩個(gè)等級(jí)，結(jié)果如表所示：若在兩項(xiàng)比賽中都評(píng)定為合格的學(xué)生最多為10人，則在兩項(xiàng)比賽中都評(píng)定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人．優(yōu)秀合格合計(jì)語(yǔ)文202848英語(yǔ)301848【變式9-3】（24-25高一上·重慶·期中）某校有26個(gè)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)小組，17個(gè)學(xué)生參加了物理小組，10個(gè)學(xué)生參加了化學(xué)小組，其中同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理小組的有12人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、化學(xué)小組的有6人，同時(shí)參加物理、化學(xué)小組的有5人，同時(shí)參加3個(gè)小組的有2人，現(xiàn)在這3個(gè)小組的學(xué)生都要乘車去市里參加數(shù)理化競(jìng)賽，則需要預(yù)購(gòu)買張車票．【考點(diǎn)題型十】集合中的新定義題（選填題）【例10】（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”.已知集合，則的“小和數(shù)”為，的“大和數(shù)”為.【變式10-1】（24-25高一上·北京·期中）設(shè)集合，在上定義運(yùn)算，其中為被3除的余數(shù)，，，則使關(guān)系式成立的有序數(shù)對(duì)共有（

）A．0對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【變式10-2】（24-25高一上·遼寧遼陽(yáng)·期中）我們將集合S的子集為元素的集合稱為S的一個(gè)子集族.例如集合有3個(gè)子集族：.若集合B中有3個(gè)元素，則B的不同子集族有（

）A．128個(gè) B．127個(gè) C．256個(gè) D．255個(gè)【變式10-3】（24-25高一上·上海浦東新·期中）已知，，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”，，則集合【考點(diǎn)題型十一】集合中的新定義題（解答題）【例11-1】（24-25高一上·北京·期中）對(duì)于正整數(shù)集合，記，記集合所有元素之和為，．若，存在非空集合、，滿足：①；②；③，則稱存在“雙拆”．若，均存在“雙拆”，稱可以“任意雙拆”．(1)判斷集合和是否存在“雙拆”？如果是，繼續(xù)判斷可否“任意雙拆”（不必寫過(guò)程，直接寫出判斷結(jié)果）；(2)，判斷是否能“任意雙拆”，并證明；(3)若可以“任意雙拆”，求中元素個(gè)數(shù)的最小值.【例11-2】（24-25高一上·上海·期中）已知非空實(shí)數(shù)集滿足：若，則;若，則.(1)若，直接寫出中一定包含的元素；(2)若由三個(gè)元素組成，且所有元素之和為，求；(3)若由2024個(gè)元素組成，求的元素個(gè)數(shù)的最大值.【變式11-1】（24-25高一上·浙江·期中）設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì).(1)試判斷集合，是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；(2)若集合，證明A不可能具有性質(zhì)；(3)若集合且具有性質(zhì)和，求A中元素個(gè)數(shù)的最大值.【變式11-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，對(duì)于，，定義A與B的差為；A與B之間的距離為．(1)設(shè)，求；(2)證明：對(duì)，有，且；(3)證明：對(duì)，，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·陜西寶雞·期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·福建漳州·期中）設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，則陰影部分所表示的集合是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┮阎蠞M，則集合的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25高一上·北京通州·期中）設(shè)集合為非空集合，且，若，則，滿足上述條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．15 C．31 D．326．（24-25高一上·湖南·階段練習(xí)）已知集合，則的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（23-24高一下·云南昆明·期中）設(shè)集合，若，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，則的值是（

）A．0 B．3 C． D．3，09．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)非空數(shù)集同時(shí)滿足條件：①中不含元素；②若，則.則下列結(jié)論正確的是（

）A．集合中至多有2個(gè)元素B．集合中至多有3個(gè)元素C．集合中有且僅有4個(gè)元素D．集合中至少有5個(gè)元素二、多選題10．（24-25高一上·福建漳州·期中）中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（

）A．23 B．68 C．128 D．23311．（24-25高一上·新疆喀什·期中）取整函數(shù)：不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，.取整函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等都是按照"取整函數(shù)"進(jìn)行計(jì)費(fèi)的.以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題的有（

）A．，B．，C．，，，則D．，12．（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c滿足，則符合要求的集合P個(gè)數(shù)是.14．（24-25高