《自動控制原理》課件第8章

第八章非線性控制系統(tǒng)分析

8.1非線性控制系統(tǒng)概述

8.2相平面分析法

8.3描述函數(shù)法

小結(jié)習(xí)題8.1非線性控制系統(tǒng)概述

在構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個(gè)或一個(gè)以上的非線性特性時(shí),即稱此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。用線性方程組來描述系統(tǒng),只不過是在一定的范圍內(nèi)和一定的近似程度上對系統(tǒng)的性質(zhì)所作的一種理想化的抽象。用線性方法研究控制系統(tǒng),所得的結(jié)論往往是近似的,當(dāng)控制系統(tǒng)中非線性因素較強(qiáng)時(shí)(稱為本質(zhì)非線性),用線性方法得到的結(jié)論,必然誤差很大,甚至完全錯(cuò)誤。非線性對象的運(yùn)動規(guī)律要用非線性代數(shù)方程和(或)非線性微分方程描述,而不能用線性方程組描述。一般地,非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為(8.1)其中,f(·)和g(·)為非線性函數(shù)。8.1.1非線性特性的分類非線性特性種類很多,且對非線性系統(tǒng)尚不存在統(tǒng)一的分析方法,所以將非線性特性分類,然后根據(jù)各個(gè)非線性的類型進(jìn)行分析得到具體的結(jié)論,才能用于實(shí)際。按非線性環(huán)節(jié)的物理性能及非線性特性的形狀劃分,非線性特性有死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性和繼電器特性等,見圖8-1。圖8-1典型非線性特性

1.死區(qū)特性死區(qū)又稱不靈敏區(qū),通常以閾值、分辨率等指標(biāo)衡量。死區(qū)特性如圖8-1(a)所示。常見于測量、放大元件中,一般的機(jī)械系統(tǒng)、電機(jī)等,都不同程度地存在死區(qū)。其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號在零值附近的某一小范圍之內(nèi)時(shí),沒有輸出。只有當(dāng)輸入信號大于此范圍時(shí),才有輸出。執(zhí)行機(jī)構(gòu)中的靜摩擦影響也可以用死區(qū)特性表示?？刂葡到y(tǒng)中存在死區(qū)特性,將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差,其中測量元件的死區(qū)特性尤為明顯。摩擦死區(qū)特性可能造成系統(tǒng)的低速不均勻,甚至使隨動系統(tǒng)不能準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)。

2.飽和特性

飽和也是一種常見的非線性,在鐵磁元件及各種放大器中都存在,其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號超過某一范圍后,輸出信號不再隨輸入信號變化而保持某一常值(參見圖8-1(b))。飽和特性將使系統(tǒng)在大信號作用之下的等效增益降低,深度飽和情況下,甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。還有些系統(tǒng)中有意地利用飽和特性作信號限幅,限制某些物理參量,保證系統(tǒng)安全合理地工作。

3.間隙特性間隙又稱回環(huán)。傳動機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見的回環(huán)非線性特性(參見圖8-1(c))。在齒輪傳動中,由于間隙存在,當(dāng)主動齒輪方向改變時(shí),從動輪保持原位不動,直到間隙消除后才改變轉(zhuǎn)動方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種回環(huán)特性。間隙特性對系統(tǒng)影響較為復(fù)雜,一般來說,它將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，頻率響應(yīng)的相位遲后也增大,從而使系統(tǒng)動態(tài)性能惡化。采用雙片彈性齒輪(無隙齒輪)可消除間隙對系統(tǒng)的不利影響。

4.繼電器特性由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性(參見圖8-1(d))。當(dāng)a＝0時(shí)的特性稱為理想繼電器特性。繼電器的切換特性使用得當(dāng)可改善系統(tǒng)的性能。如從非線性環(huán)節(jié)的輸出與輸入之間存在的函數(shù)關(guān)系劃分,非線性特性又可分為單值函數(shù)非線性與多值函數(shù)非線性兩類。例如死區(qū)特性、飽和特性及理想繼電器特性都屬于輸出與輸入間為單值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。間隙特性和繼電器特性則屬于輸出與輸入之間為多值函數(shù)關(guān)系的非線性特性。8.1.2非線性系統(tǒng)的特征

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜按照平衡狀態(tài)的定義,在無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí),系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。顯然,對于線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)c＝0,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性即為該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性,而且取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),與外作用和初始條件無關(guān)。而非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡狀態(tài),各平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的也可能是不穩(wěn)定的。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),也與初始條件以及系統(tǒng)的輸入信號的類型和幅值有關(guān)。2.可能存在自持振蕩現(xiàn)象所謂自持振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時(shí),系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動。線性系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)只有收斂和發(fā)散,只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動,但由于環(huán)境或裝置老化等不可避免的因素存在,使這種臨界振蕩只可能是暫時(shí)的。而非線性系統(tǒng)則不同,即使無外加信號,系統(tǒng)也可能產(chǎn)生一定幅度和頻率的持續(xù)性振蕩,這是非線性系統(tǒng)所特有的。必須指出,長時(shí)間大幅度的振蕩會造成機(jī)械磨損,增加控制誤差,因此許多情況下不希望自持振蕩發(fā)生。但在控制中通過引入高頻小幅度的顫振,可克服間歇、死區(qū)等非線性因素的不良影響。而在振動試驗(yàn)中,還必須使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動。因此研究自持振蕩的產(chǎn)生條件與抑制,確定其頻率與幅度,是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。

3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變穩(wěn)定的線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng),即正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出量是與輸入同頻率的正弦信號,其幅值A(chǔ)和相位φ為輸入正弦信號頻率ω的函數(shù)。而非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基波分量)外,還含有關(guān)于ω的高次諧波分量,使輸出波形發(fā)生非線性畸變。若系統(tǒng)含有多值非線性環(huán)節(jié),輸出的各次諧波分量的幅值還可能發(fā)生躍變。8.1.3非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的目的是通過求取系統(tǒng)的運(yùn)動形式,以解決穩(wěn)定性問題為中心,對系統(tǒng)實(shí)施有效的控制。由于非線性系統(tǒng)形式多樣,受數(shù)學(xué)工具限制,一般情況下難以求得非線性方程的解析解,只能采用工程上適用的近似方法。在實(shí)際工程問題中,如果不需精確求解輸出函數(shù),往往把分析的重點(diǎn)放在以下三個(gè)方面:某一平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定,如果不穩(wěn)定應(yīng)如何校正;系統(tǒng)中是否會產(chǎn)生自持振蕩,如何確定其周期和振幅;如何利用或消除自持振蕩以獲得需要的性能指標(biāo)。比較基本的非線性系統(tǒng)的研究方法有如下幾種:

1.小范圍線性近似法這是一種在平衡點(diǎn)的近似線性化方法,通過在平衡點(diǎn)附近泰勒展開,可將一個(gè)非線性微分方程化為線性微分方程,然后按線性系統(tǒng)的理論進(jìn)行處理。該方法局限于小區(qū)域研究。

2.逐段線性近似法將非線性系統(tǒng)近似為幾個(gè)線性區(qū)域,每個(gè)區(qū)域用相應(yīng)的線性微分方程描述,將各段的解合在一起即可得到系統(tǒng)的全解。

3.相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解法,由于平面在幾何上是二維的,因此只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。

4.描述函數(shù)法描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的頻域法,適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。

5.李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量概念確定非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,原則上適用于所有非線性系統(tǒng),但對于很多系統(tǒng),尋找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難。

6.計(jì)算機(jī)仿真利用計(jì)算機(jī)模擬,可以滿意地解決實(shí)際工程中相當(dāng)多的非線性系統(tǒng)問題。這是研究非線性系統(tǒng)的一種非常有效的方法,但它只能給出數(shù)值解,無法得到解析解,因此缺乏對一般非線性系統(tǒng)的指導(dǎo)意義。8.2相平面分析法

相平面法是求解一階或二階線性或非線性系統(tǒng)的一種圖解方法。它可以給出某一平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息和系統(tǒng)運(yùn)動的直觀圖像。它可以看作狀態(tài)空間法在一階和二階情況下的應(yīng)用。所以,它屬于時(shí)間域的分析方法。設(shè)二階線性系統(tǒng)如圖8-2(a)所示。設(shè)輸入r為常數(shù),誤差e為變量,可以列寫微分方程:(8.2)取狀態(tài)變量x1=e,x2=e,可列寫狀態(tài)方程:.(8.3)給定初始條件x1(0)=e(0),x2(0)=e(0),就可以確定解e(t)和e(t)。圖8-2(b)和(c)分別表示當(dāng)系統(tǒng)平衡狀態(tài)在原點(diǎn)x1＝x2＝0,而輸入為單位階躍函數(shù),即e(0)=1、e(0)=0時(shí),上述狀態(tài)方程的解e(t)和e(t)。....圖8-2二階線性系統(tǒng)及其狀態(tài)圖和相平面圖用MATLAB繪制圖8-2(b)、(c)和(d)的參考程序如下：

sys=tf(［110］,［111］)subplot(2,1,1);［x,t］=step(sys);plot(t,x)subplot(2,1,2);［xx,t］=impulse(sys);plot(t,xx)

figuret=0∶0.1∶50

x1=step(sys,t)x2=impulse(sys,t)a=［111］

n=length(a)-1p=roots(a)v=rot90(vander(p))

y0=［00］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2)hnd=plot(x1+y1′,x2+y2′)set(hnd,′linewidth′,1.3)holdony0=［0.51］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［0.20.8］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［-0.5-1］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)y0=［-0.8-1］′c=v＼y0y1=zeros(1,length(t))y2=zeros(1,length(t))fork=1∶ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1′,x2+y2′,′∶′)一般的二階系統(tǒng)均可以表示為上式可改寫為取x為相平面圖的橫坐標(biāo),x為縱坐標(biāo),則是相軌跡的斜率,相軌跡上任何一點(diǎn)都滿足這個(gè)方程。該方程的解 表示相軌跡曲線方程。相平面法的主要工作是作相軌跡,有了相平面圖,系統(tǒng)的性能也就表示出來了。.(8.4)(8.5)8.2.1相平面圖的繪制方法

1.解析法解析法適用于由較簡單的微分方程描述的系統(tǒng)。

【例8-1】

單位質(zhì)量的自由落體運(yùn)動。

解以地面為參考零點(diǎn),向上為正,則當(dāng)忽略大氣影響時(shí),單位質(zhì)量的自由落體運(yùn)動為由式(8.5)得所以積分得作相平面圖,如圖8-3所示。圖8-3單位質(zhì)量自由落體相平面圖

由分析可知,其相平面圖為一簇拋物線。在上半平面,由于速度為正,所以位移增大,箭頭向右;在下半平面,由于速度為負(fù),所以位移減小,箭頭向左。設(shè)質(zhì)量體從地面往上拋,此時(shí)位移量x為零,而速度量為正,設(shè)該初始點(diǎn)為A點(diǎn),該質(zhì)量體將沿由A點(diǎn)開始的相軌跡運(yùn)動,隨著質(zhì)量體的高度增大,速度越來越小,到達(dá)B點(diǎn)時(shí)質(zhì)量體達(dá)最高點(diǎn),而速度為零,然后又沿BC曲線自由落體下降,直至到達(dá)地面C點(diǎn),此時(shí)位移量為零,而速度為負(fù)的最大值。如果初始點(diǎn)不同,質(zhì)量體將沿不同的曲線運(yùn)動。如設(shè)圖中的D點(diǎn)為初始點(diǎn),表示質(zhì)量體從高度為D的地方放開,質(zhì)量體將沿DE曲線自由落體下降到地面E點(diǎn)?！纠?-2】

二階系統(tǒng)的微分方程為試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。

解根據(jù)式(8.5),上述微分方程可以改寫為用分離變量法對x和x分別積分,得.記等式右端由初始條件決定的非負(fù)的量為(ωA)2,得相軌跡方程如下:這是以原點(diǎn)為中心的橢圓或圓簇的方程,相軌跡如圖8-4所示?？梢?該系統(tǒng)為自持振蕩,初始條件不同,橢圓的大小也隨之變化,中間的一個(gè)橢圓是初始條件為(1,0)的相軌跡。由以上兩例,可看到相平面圖的一些性質(zhì):(1)當(dāng)選擇取x作為橫坐標(biāo),x作為縱坐標(biāo)時(shí),則在上半平面(x＞0),系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡曲線運(yùn)動的方向是x增大的方向,即向右移動;類似地,在下半平面,相軌跡向左移動。..圖8-4二階系統(tǒng)相軌跡(2)相軌跡的斜率由式(8.5)表示。相平面上的一個(gè)點(diǎn)(x,x])只要不同時(shí)滿足x=0和f(x,x)=0,則該點(diǎn)相軌跡的斜率就由式(8.5)唯一確定。也就是說,通過該點(diǎn)的相軌跡只有一條,各條相軌跡曲線不會在該點(diǎn)相交。同時(shí)滿足x=0和f(x,x)=0的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。該點(diǎn)相軌跡的斜率是0/0型,是不定的。通過該點(diǎn)的相軌跡可能不止一條,且彼此斜率也不相同,即相軌跡曲線簇在該點(diǎn)發(fā)生相交。

(3)自持振蕩的相軌跡是封閉曲線。....(4)在相軌跡通過x軸的點(diǎn),相軌跡通常與x軸垂直相交。因?yàn)樵趚軸的點(diǎn),x=0,除去f(x,x)=0的奇點(diǎn)外,在這些點(diǎn)相軌跡的斜率為dx/dx=∞,即相軌跡與x軸垂直相交。在作相軌跡時(shí),考慮對稱性往往能使作圖簡化。如果關(guān)于x軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)(x,x)和(x,-x),滿足.....即f(x,x)是x的奇函數(shù),則相軌跡關(guān)于x軸對稱。..如果關(guān)于軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)(x,x)和(-x,x),滿足..即f(x,x)是x的偶函數(shù),則相軌跡關(guān)于x軸對稱。如果關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)(x,x)和(-x,-x),滿足....則相軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱。

能用解析法作相平面圖的系統(tǒng)只局限于比較簡單的系統(tǒng),對于大多數(shù)非線性系統(tǒng)很難用解析法求出解。從另一角度考慮,如果能夠求出系統(tǒng)的解析解,系統(tǒng)的運(yùn)動特性也已經(jīng)清楚了,也就不必要用相平面法分析系統(tǒng)了。因此,對于分析非線性系統(tǒng)更實(shí)用的是圖解法,我們介紹的是等傾線法。

2.等傾線法

我們知道,平面上任一光滑的曲線都可以由一系列短的折線近似代替。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點(diǎn)的連線。設(shè)斜率為k,則由式(8.5)得

即(8.6)圖8-5等傾線【例8-3】

繪制下列系統(tǒng)的相軌跡。解系統(tǒng)方程可以改寫為令相軌跡斜率為k,代入上式得到相軌跡的等傾線方程

可見,等傾線是通過原點(diǎn)的直線簇,等傾線的斜率等于-ω2/(2ζω+k),而k則是在相軌跡通過等傾線處的斜率。設(shè)系統(tǒng)參數(shù)ζ＝0.5,ω＝1。求得對應(yīng)于不同k值的等傾線,如圖8-6所示。用MATLAB繪制圖8-6的程序如下：

k=-1.2;x1=-5∶0.1∶10;x2=-x1/(1+k)plot(x1,x2)圖8-6等傾線法繪制的二階系統(tǒng)相軌跡

初始點(diǎn)為A的相軌跡可以按下述方法給出。在k＝－1和k＝－1.2的兩等傾線之間繪制相軌跡時(shí),一條短線段近似替代相軌跡曲線,其斜率取為起始等傾線的斜率,即－1(如果稍微精確一點(diǎn),可取兩等傾線斜率的平均數(shù),即－1.1)。此短線段交k＝－1.2的等傾線于B點(diǎn),近似認(rèn)為此短線段AB是相軌跡的一部分。同樣,從B點(diǎn)出發(fā),在k＝－1.2和k＝－1.4的兩等傾線之間繪制斜率為－1.2的短線段,它交k＝－1.4的等傾線于C點(diǎn),近似認(rèn)為此短線段BC是相軌跡的一部分。重復(fù)上述作圖方法,依次求得折線ABCDE…直至原點(diǎn)。就用這條折線作為由初始點(diǎn)A出發(fā)的相軌跡曲線。

上述作圖方法,由于近似和作圖誤差,以及誤差的逐步累積,因此結(jié)果可能誤差較大。一般來說,精確度取決于等傾線的密度和相軌跡本身斜率變化的快慢。等傾線愈密,相鄰等傾線的k值之差愈小,取短線段斜率引入的誤差愈小,但作圖的步驟增多,引入的累積作圖誤差增大,且作圖的工作量增大。因此,等傾線的密度要適當(dāng),一般每隔5°～10°畫一條等傾線為宜。為提高作圖精度,可采用平均斜率法,即取兩條相鄰等傾線所對應(yīng)的斜率的平均值作為短線段的斜率。對線性二階系統(tǒng),等傾線是一些直線。但一般來說,非線性系統(tǒng)的等傾線則是曲線或折線?！纠?-4】繪制下列系統(tǒng)的相軌跡。解系統(tǒng)方程可以改寫為則k=-0.2(x2-1)-x/x。相軌跡的等傾線方程為.(8.7)當(dāng)短線段的傾角為0°時(shí),其斜率k＝0,式(8.7)成為該式表示的曲線上的每一點(diǎn)斜率均為0。當(dāng)短線段的傾角為45°時(shí),其斜率k＝1,式(8.7)成為該式表示的曲線上的每一點(diǎn)斜率均為1。如此可以作出其它斜率的等傾線,由等傾線方程可知,該系統(tǒng)的等傾線是曲線而非直線。這樣就可以作出如圖8-7所示的斜率的分布場,分別以A點(diǎn)(1.6,2)和B點(diǎn)(1.5,0.5)為初始點(diǎn),繪制兩條相軌跡如圖8-7實(shí)線所示。圖8-7等傾線法繪制的非線性系統(tǒng)相軌跡用MATLAB繪制圖8-7的參考程序如下：

x1=-5∶0.1∶5k=0x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)holdonx1=-2∶0.1∶2k=-1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)x1=-5∶0.1∶5k=1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,′k′)hnd=line(［0,0］,［-5,10］)set(hnd,′color′,′black′)hnd=line(［-5,5］,［0,0］)set(hnd,′color′,′black′)axis(［-5,5,-5,5］)

［t,x］=ode45(@figure-8-7,［0,12］,［1.50.5］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure-8-7,［0,12］,［1.62］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)functionxdot=figure-8-7(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=0.2*x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)xdot(1)=x(2)8.2.2奇點(diǎn)和極限環(huán)前已提到,同時(shí)滿足x=0和f(x,x)=0的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。由定義可知,奇點(diǎn)一定位于相平面的橫軸上,在奇點(diǎn)處,系統(tǒng)的速度和加速度(x=-f(x,x))均為0。對于二階系統(tǒng)來說,系統(tǒng)不再發(fā)生運(yùn)動,處于平衡狀態(tài),故奇點(diǎn)亦稱為平衡點(diǎn)。首先研究線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)。二階線性系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為....(8.8)即則圖8-8二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn)圖8-8二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn)圖8-8二階線性系統(tǒng)的不同奇點(diǎn)

當(dāng)阻尼比0＜ζ＜1時(shí),系統(tǒng)有一對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,系統(tǒng)穩(wěn)定,其相軌跡呈螺旋線型,軌跡簇收斂于奇點(diǎn),這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)阻尼比－1＜ζ＜0時(shí),系統(tǒng)有一對正實(shí)部的共軛復(fù)根,系統(tǒng)不穩(wěn)定,其相軌跡也呈螺旋線型,但軌跡簇發(fā)散至無窮,這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)阻尼比ζ＞1時(shí),系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,系統(tǒng)穩(wěn)定,相平面內(nèi)的相軌跡簇?zé)o振蕩地收斂于奇點(diǎn),這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)阻尼比ζ＜－1時(shí),系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)根,系統(tǒng)不穩(wěn)定,相平面內(nèi)的相軌跡簇直接從奇點(diǎn)發(fā)散出來,這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)阻尼比ζ＝0時(shí),系統(tǒng)有一對共軛虛根,系統(tǒng)等幅振蕩,其相軌跡為一簇圍繞奇點(diǎn)的封閉曲線,這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。如果二階線性系統(tǒng)的項(xiàng)和x項(xiàng)異號,即則系統(tǒng)有一個(gè)正實(shí)根,有一個(gè)負(fù)實(shí)根,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,其相軌跡呈鞍形,中心是奇點(diǎn),這種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。

綜上所述,對應(yīng)不同的阻尼比ζ,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根在復(fù)平面上的分布也不同,系統(tǒng)的運(yùn)動以及相平面圖也不同,換言之,特征根在復(fù)平面的位置決定了奇點(diǎn)的性質(zhì)。二階線性系統(tǒng)的相軌跡和奇點(diǎn)的性質(zhì),由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參量決定,而與初始狀態(tài)無關(guān)。不同的初始狀態(tài)只能在相平面上形成一組幾何形狀相似的相軌跡,而不能改變相軌跡的性質(zhì)。由于相軌跡的性質(zhì)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān),相平面中局部范圍內(nèi)相軌跡的性質(zhì)就有決定性意義,從局部范圍內(nèi)相軌跡的性質(zhì)可以推知全局。

在非線性系統(tǒng)中,穩(wěn)定性分析是針對奇點(diǎn)而言的,在分析中特別關(guān)心的是奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和奇點(diǎn)附近的運(yùn)動,相平面法的任務(wù)之一就是分析奇點(diǎn)附近運(yùn)動的特性。對于非線性系統(tǒng),可以用小范圍線性化方法求出其在平衡點(diǎn)附近的線性化方程,然后再去分析系統(tǒng)的相軌跡和奇點(diǎn)的情況。設(shè)原點(diǎn)是平衡點(diǎn),即f(0,0)＝0,則原點(diǎn)也是奇點(diǎn)。又設(shè)f(x,x)在原點(diǎn)附近是x和x的解析函數(shù),則可以在原點(diǎn)附近展成泰勒級數(shù):..其中，g(x,x)是不低于二階的各項(xiàng)。注意到在原點(diǎn)附近x和x都很小,因此可以略去g(x,x)。代入式(8.4),得...它對應(yīng)于二階線性微分方程式(8.8)。

另外,對于線性系統(tǒng)來說,奇點(diǎn)的類別完全確定了系統(tǒng)運(yùn)動的性質(zhì)。而對于非線性系統(tǒng)來說,奇點(diǎn)的類別只能確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的行為,而不能確定整個(gè)相平面上的運(yùn)動狀態(tài)。所以還要研究離平衡狀態(tài)較遠(yuǎn)處的相平面圖。其中極限環(huán)具有特別重要的意義。相平面上如果存在一條孤立的相軌跡,而且它附近的其他相軌跡都無限地趨向或者離開這條封閉的相軌跡,則這條封閉相軌跡為極限環(huán)。極限環(huán)本身作為一條相軌跡來說,既不存在平衡點(diǎn),也不趨向無窮遠(yuǎn),而是一個(gè)封閉的環(huán)圈,它把相平面分隔成內(nèi)部平面和外部平面兩個(gè)部分。任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部平面穿過極限環(huán)而進(jìn)入外部平面,也不能從外部平面穿過極限環(huán)而進(jìn)入內(nèi)部平面。

根據(jù)極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動特點(diǎn),可將極限環(huán)分為三種類型:(1)穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡最終均卷向極限環(huán),則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán),其內(nèi)部及外部的相軌跡均為極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域。穩(wěn)定的極限環(huán)對狀態(tài)微小的擾動具有穩(wěn)定性。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運(yùn)動表現(xiàn)為自持振蕩。例8-4系統(tǒng)的相軌跡就是穩(wěn)定的極限環(huán)。(2)不穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡最終均卷離極限環(huán),則該極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。不穩(wěn)定的極限所表示的周期運(yùn)動是不穩(wěn)定的。因?yàn)榧词瓜到y(tǒng)狀態(tài)沿極限環(huán)運(yùn)動,但狀態(tài)的微小擾動都將使系統(tǒng)的運(yùn)動偏離該閉合曲線,并將永遠(yuǎn)回不到閉合曲線。不穩(wěn)定極限環(huán)的鄰近范圍其內(nèi)部及外部均為該極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。(3)半穩(wěn)定的極限環(huán)。如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部相軌跡均卷向極限環(huán),外部相軌跡均卷離極限環(huán);或者內(nèi)部相軌跡均卷離極限環(huán),外部相軌跡均卷向極限環(huán),則這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。對于半穩(wěn)定極限環(huán),相軌跡均卷向極限環(huán)的內(nèi)部或外部鄰域稱為該極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡均卷離極限環(huán)的內(nèi)部或外部鄰域稱為該極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。同樣，半穩(wěn)定極限環(huán)儀表的等幅振蕩也是一種不穩(wěn)定的運(yùn)動。因?yàn)榧词瓜到y(tǒng)狀態(tài)沿極限環(huán)運(yùn)動,但狀態(tài)的微小擾動都將使系統(tǒng)的運(yùn)動偏離該閉合曲線,并將永遠(yuǎn)回不到閉合曲線?！纠?-5】

已知非線性系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的奇點(diǎn),并繪制系統(tǒng)的相平面圖。解系統(tǒng)方程可以改寫為令dx/dx=0,求得系統(tǒng)的兩個(gè)奇點(diǎn)(0,0),(-2,0)。.在(0,0)點(diǎn)附近,因?yàn)閨x|和|x|很小,系統(tǒng)的微分方程可以近似為.特征根為－0.25±j1.39,故奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。在(-2,0)點(diǎn)附近,令x*=x+2,則系統(tǒng)方程為因?yàn)閨x*|和|x*|很小,所以系統(tǒng)可以近似為.特征根為1.19和－1.69,故奇點(diǎn)(-2,0)為鞍點(diǎn)。圖8-9非線性系統(tǒng)的相平面圖用MATLAB繪制圖8-9的參考程序如下：［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.5］,［46］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′)set(hnd,′linewidth′,1.5)holdon

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.8］,［36］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,2.3］,［26］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,6］,［-3.66］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,40］,［-34］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,40］,［-32］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,3.9］,［-3.954］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,1.0］,［-4.53］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)

［t,x］=ode45(@figure_8_9,［0,0.7］,［-66］)hnd=plot(x(∶,1),x(∶,2),′k′);set(hnd,′linewidth′,1.5)hnd=line(［0,0］,［-10,6］);set(hnd,′color′,′black′)hnd=line(［-8,6］,［0,0］);set(hnd,′color′,′black′)functionxdot=figure_8_9(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=-0.5*x(2)-2*x(1)-x(1)^2xdot(1)=x(2)8.2.3從相軌跡求時(shí)間信息相軌跡是消去時(shí)間后畫出的,盡管它直觀地給出了系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動軌跡,但卻將時(shí)間信息隱含其中,使時(shí)間信息變得不直觀了。有時(shí)我們希望給出時(shí)間響應(yīng)以便得到與時(shí)間有關(guān)的性能指標(biāo),這就需通過相軌跡求出時(shí)間信息。我們可通過以下方法求出時(shí)間信息。因?yàn)閤=dx/dt,所以.(8.9)通過積分可得(8.10)

當(dāng)然,對于無解析解的情況,式(8.9)也可以通過選取合理的增量,變成下式求出時(shí)間:(8.11)式中,為對應(yīng)Δx范圍內(nèi)的x平均值。.8.2.4非線性系統(tǒng)的相平面分析【例8-6】

機(jī)械系統(tǒng)中的庫侖摩擦力。對于如圖8-10所示的機(jī)械系統(tǒng),分析其運(yùn)動特性,其中物體m受到彈簧力和庫侖摩擦力。

解系統(tǒng)可表示為即積分并整理得其中,C為積分常數(shù)。圖8-10機(jī)械系統(tǒng)

由此可見,當(dāng)x＞0時(shí),系統(tǒng)相軌跡是中心在(-F/k,0)的一簇橢圓;而當(dāng)x＜0時(shí),其相軌跡是中心在(F/k,0)的一簇橢圓(見圖8-11)。由圖可見,當(dāng)物體沿相軌跡運(yùn)動到x軸的(-F/k,0)和(F/k,0)之間時(shí)將停止運(yùn)動,這是庫侖摩擦力造成的運(yùn)動死區(qū)。x軸從(-F/k,0)到(F/k,0)的部分為奇點(diǎn)。若初始點(diǎn)為A點(diǎn),則相軌跡為ABC,終止于C點(diǎn)。..圖8-11機(jī)械系統(tǒng)的相軌跡

許多與信號有關(guān)的非線性控制系統(tǒng)由分區(qū)線性系統(tǒng)構(gòu)成。所以對這類非線性系統(tǒng)可以按照非線性特性將相平面劃分為幾個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)一個(gè)線性系統(tǒng)。分析每一個(gè)線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的性質(zhì),并結(jié)合某種作圖方法就可以繪制出該區(qū)域內(nèi)的相軌跡。線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)如果在線性系統(tǒng)對應(yīng)的區(qū)域內(nèi),就稱為實(shí)奇點(diǎn),否則稱為虛奇點(diǎn)。因?yàn)樘撈纥c(diǎn)對應(yīng)的運(yùn)動方程不適用于該虛奇點(diǎn)所在的區(qū)域,所以即使虛奇點(diǎn)是穩(wěn)定的,運(yùn)動也無法到達(dá)該虛奇點(diǎn)?！纠?-7】

分段線性的角度隨動系統(tǒng)。圖8-12(a)所示的是某角度隨動系統(tǒng)的方塊圖,其中執(zhí)行電機(jī)近似為一階慣性環(huán)節(jié),增益K1(e)是隨信號大小變化的,大信號時(shí)的增益為1,小信號時(shí)的增益為k(k＜1),其特性如圖8-12(b)所示。分析輸入為階躍信號和斜坡信號時(shí)的系統(tǒng)運(yùn)動情況。

解線性部分的系統(tǒng)方程為由圖8-12(a)可得所以微分方程為由圖8-12(b)可得非線性特性的表達(dá)式為由于e和m的關(guān)系分為3個(gè)線性段,在|e|＞e0時(shí)斜率均為1,在|e|＜e0時(shí)斜率均為k＜1,所以盡管在相平面上有3個(gè)區(qū)域(記為Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ),但系統(tǒng)只有兩個(gè)不同的微分方程。假設(shè)系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài),便可令 。圖8-12分段線性的角度隨動系統(tǒng)(1)階躍輸入r(t)＝1(t)的情形。由于 ,故有(區(qū)域Ⅰ和Ⅲ)(區(qū)域Ⅱ)(8.12)(8.13)奇點(diǎn)為e=0,e=0,即原點(diǎn)。所以對區(qū)域Ⅱ,它是實(shí)奇點(diǎn);對區(qū)域Ⅰ和Ⅲ,它是虛奇點(diǎn)。通過選K和T值,使1－4kKT＞0,且使1－4KT＜0。不妨設(shè)T＝1,K＝4,k＝0.062,e0＝0.2。輸入較大時(shí),如|e|＞e0,運(yùn)動方程為式(8.12),1－4KT＜0,為欠阻尼,所以原點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn);輸入較小時(shí),如|e|＜e0,運(yùn)動方程為式(8.13),1－4kKT＞0,為過阻尼,故原點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。其相軌跡如圖8-13所示。.圖8-13系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡

由A點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動以原點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn),但到達(dá)邊界的B點(diǎn)后,原點(diǎn)又變成了穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。CD段的運(yùn)動方程又變?yōu)槭?8.12)。如此每經(jīng)過邊界時(shí),都改變運(yùn)動的性質(zhì),只有最后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ,沿DO段漸近收斂到原點(diǎn)。在這種情況下,調(diào)節(jié)過程可以加快。因?yàn)檎`差信號較大時(shí),系統(tǒng)為欠阻尼,運(yùn)動速度較快,所以使誤差很快變小;而誤差變小后,系統(tǒng)為過阻尼,可以避免振蕩。(2)斜坡輸入r(t)＝R＋Vt的情形。由于r=V,r=0,故有...(區(qū)域Ⅰ和Ⅲ)(區(qū)域Ⅱ)(8.14)(8.15)

在區(qū)域Ⅱ,奇點(diǎn)為e=V/(kK),e=0,記P2＝V/(kK)。在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ,奇點(diǎn)為e=V/(K),e=0,記P1＝V/(K)。顯然,P2

＞P1。參數(shù)設(shè)置同上,則1－4kKT＞0,且1－4KT＜0。則e軸上的P2點(diǎn)是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),P1點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。但它們的位置將與參數(shù)設(shè)定有關(guān)。下面分3種情況討論：..①V＜kKe0。這時(shí)P2＝V/(kK)＜e0,所以是實(shí)奇點(diǎn);P1＝V/(K)＜ke0＜e0,所以是虛奇點(diǎn)。設(shè)r(t)＝0.3＋0.04t,則又V＝0.04,所以P2＝V/(kK)＝0.16,P1＝V/(K)＝0.01。其相軌跡如圖8-14所示。運(yùn)動在到達(dá)邊界進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后改變性質(zhì),P2代表穩(wěn)定的實(shí)節(jié)點(diǎn),所以運(yùn)動收斂到P2,因此穩(wěn)態(tài)誤差ess=P2

。圖8-14系統(tǒng)在斜坡輸入①下的相軌跡②kKe0＜V＜Ke0

。這時(shí)P2＝V/(kK)＞e0,所以是虛奇點(diǎn);P1＝V/(K)＜e0,也是虛奇點(diǎn)。設(shè)r(t)＝0.4t,則又V＝0.4,所以P2＝V/(kK)＝1.6,P1＝V/(K)＝0.1。其相軌跡如圖8-15所示。因?yàn)閮蓚€(gè)奇點(diǎn)都是虛奇點(diǎn),運(yùn)動無法收斂到任何奇點(diǎn),每到達(dá)邊界便改變運(yùn)動方程,最后將終止在邊界處,因此穩(wěn)態(tài)誤差ess=e0。圖8-15系統(tǒng)在斜坡輸入②下的相軌跡③V＞Ke0

。這時(shí)P2＝V/(kK)＞V/K＞e0

是虛奇點(diǎn);P1＝V/(K)＞e0是實(shí)奇點(diǎn)。設(shè)r(t)＝1.2t,則e(0)=r(0)-c(0)=0,e(0)=r(0)-c(0)=1.2又V＝1.2,所以P2＝V/(kK)＝4.8,P1＝V/(K)＝0.3。其相軌跡如圖8-16所示。初始點(diǎn)A在區(qū)域Ⅱ內(nèi),所以系統(tǒng)遵循式(8.15)向P2穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)運(yùn)動,而一旦運(yùn)動到邊界,進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ后,系統(tǒng)便遵循式(8.14)向P1穩(wěn)定焦點(diǎn)運(yùn)動,如此在e0=0.2線兩邊穿越,直至收斂到PP1點(diǎn),因此穩(wěn)態(tài)誤差ess=P1

。...圖8-16系統(tǒng)在斜坡輸入③下的相軌跡8.3描述函數(shù)法8.3.1定義對于線性系統(tǒng),當(dāng)輸入是正弦信號時(shí),輸出穩(wěn)定后是相同頻率的正弦信號,其幅值和相位隨著頻率的變化而變化,這就是利用頻率特性分析系統(tǒng)的頻域法的基礎(chǔ)。對于非線性系統(tǒng),當(dāng)輸入是正弦信號時(shí),輸出穩(wěn)定后通常不是正弦的,而是與輸入同頻率的周期非正弦信號,它可以分解成一系列正弦波的疊加,其基波頻率與輸入正弦信號的頻率相同。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入為x(t)=Xsinωt,則輸出為(8.16)式中,(8.17)(8.18)令式(8.17)～(8.20)中,n＝1,2,…。

由于系統(tǒng)通常具有低通濾波特性,其他諧波各項(xiàng)比基波小,所以可以用基波分量近似系統(tǒng)的輸出。假定非線性環(huán)節(jié)關(guān)于原點(diǎn)對稱,則輸出的直流分量等于零,即A0＝0,則

y(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+φ1)(8.21)定義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為非線性環(huán)節(jié)輸出的基波與輸入信號二者的復(fù)數(shù)符號的比值,即(8.22)式中,N為描述函數(shù),X是正弦輸入信號的幅值,Y1是輸出信號基波的幅值,φ1為輸出信號基波與輸入信號的相位差。

如果非線性環(huán)節(jié)中不包含儲能機(jī)構(gòu)(即非記憶),即N的特性可以用代數(shù)方程(而不是微分方程)描述,則y(t)與頻率無關(guān)。描述函數(shù)只是輸入信號幅值X的函數(shù),即N＝N(X),而與ω?zé)o關(guān)。8.3.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1.飽和特性

若非線性環(huán)節(jié)具有飽和特性(如圖8-17(a)所示),則

(1)當(dāng)輸入為正弦信號時(shí),其輸出波形如圖8-17(b)所示。根據(jù)輸出波形,飽和非線性環(huán)節(jié)的輸出由下式表示:(ωt＜β)(β＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.23)由式(8.17)和式(8.18)可求得因代入上式有則(8.24)

當(dāng)輸入X幅值較小,不超出線性區(qū)時(shí),該環(huán)節(jié)是個(gè)比例系數(shù)為k的比例環(huán)節(jié),所以飽和特性的描述函數(shù)為(X≤a)(X>a)由此可見,飽和特性的描述函數(shù)N與頻率無關(guān),它僅僅是輸入信號振幅的函數(shù)。(8.25)圖8-17飽和特性及其正弦響應(yīng)

2.死區(qū)特性

死區(qū)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入時(shí)的輸入輸出關(guān)系如圖8-18所示。輸出的時(shí)間函數(shù)表示為(ωt＜β)(β＜ωt<π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.26)圖8-18死區(qū)特性及其正弦響應(yīng)同樣,根據(jù)式(8.17)和式(8.18)可求得因代入上式有則當(dāng)輸入X幅值小于死區(qū)a時(shí),輸出為零,因而描述函數(shù)N也為零,故死區(qū)特性描述函數(shù)為(X＞a)(X≤a)可見,死區(qū)特性的描述函數(shù)N也與頻率無關(guān),只是輸入信號振幅的函數(shù)。(8.27)3.繼電器特性圖8-19繼電器特性及其正弦響應(yīng)輸出的時(shí)間函數(shù)表示為(ωt＜α)(α＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)(8.28)因a=Xsinα,ma=Xsinβ,且X≥a。根據(jù)式(8.17)和式(8.18)可求得因此,繼電器特性的描述函數(shù)為(8.29)取a＝0,得理想繼電器特性的描述函數(shù)為(8.30)取m＝1,得死區(qū)繼電器特性的描述函數(shù)為取m＝－1,得滯環(huán)繼電器特性的描述函數(shù)為(8.32)4.間隙特性對于如圖8-20所示的間隙特性,其輸出的時(shí)間函數(shù)表示為(ωt＜π/2)(π/2＜ωt＜π-β)(π-β＜ωt＜π)式中,β=arcsin(1-2a/X)。圖8-20間隙特性及其正弦響應(yīng)根據(jù)式(8.17)和式(8.18)可求得因此,間隙特性的描述函數(shù)為(X≥a)(8.34)8.3.3利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性對于圖8-21所示的非線性系統(tǒng),G(s)表示的是系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù),線性部分具有低通濾波特性,故其極點(diǎn)位于復(fù)平面的左半平面。N表示系統(tǒng)非線性部分的描述函數(shù)。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號時(shí),實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量,但經(jīng)線性部分傳遞之后,由于低通濾波的作用,高次諧波分量將被大大削弱,因此閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次諧波分量,從而保證應(yīng)用描述函數(shù)分析方法所得的結(jié)果比較準(zhǔn)確。對于實(shí)際的非線性系統(tǒng),大部分都容易滿足這一條件。線性部分的階次越高,低通濾波性能越好。圖8-21含非線性環(huán)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的頻率特性反映正弦信號作用下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化,是輸入正弦信號頻率ω的函數(shù);而非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)則反映非線性系統(tǒng)正弦響應(yīng)中一次諧波分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化,是輸入正弦信號幅值X的函數(shù),這正是非線性環(huán)節(jié)的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。對于圖8-21的系統(tǒng),有其特征方程為1+NG(jω)=0(8.35)

當(dāng)G(jω)=-1/N時(shí),系統(tǒng)輸出將出現(xiàn)自持振蕩。這相當(dāng)于在線性系統(tǒng)中,當(dāng)開環(huán)頻率特性Go(jω)=-1時(shí),系統(tǒng)將出現(xiàn)等幅振蕩,此時(shí)為臨界穩(wěn)定的情況。上述-1/N即-1/N(X)稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù),-1/N(X)曲線上箭頭表示隨X增大,-1/N(X)的變化方向。對于線性系統(tǒng),我們已經(jīng)知道可以用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在非線性系統(tǒng)中運(yùn)用奈氏判據(jù)時(shí),(-1,j0)點(diǎn)擴(kuò)展為-1/N曲線。例如,對于圖8-22(a),系統(tǒng)線性部分的頻率特性G(jω)沒有包圍非線性部分負(fù)倒描述函數(shù)-1/N的曲線,系統(tǒng)是穩(wěn)定的;圖8-22(b)系統(tǒng)G(jω)軌跡包圍了-1/N的軌跡,系統(tǒng)不穩(wěn)定;圖8-22(c)系統(tǒng)G(jω)軌跡與-1/N

軌跡相交,系統(tǒng)存在極限環(huán)。圖8-22非線性系統(tǒng)奈氏判據(jù)應(yīng)用【例8-8】

已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8-23所示,試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖8-23含飽和非線性的非線性系統(tǒng)解前面已推導(dǎo)出飽和非線性的描述函數(shù)為(X＞a)(X≤a)則當(dāng)X≤a時(shí),-1/N=-1/k;當(dāng)X→∞時(shí),-1/N=-∞。對于線性部分,當(dāng)ω→0時(shí),G(jω)=∞∠-90°;當(dāng)ω→+∞時(shí),G(jω)=0∠-270°。G(jω)奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸有一交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為(-KT1T2/(T1+T2),j0),交點(diǎn)頻率為。本題飽和非線性描述函數(shù)的負(fù)倒特性曲線和線性部分頻率特性的奈氏曲線如圖8-24所示。圖8-24穩(wěn)定極限環(huán)

當(dāng)線性部分放大倍數(shù)K充分大,使得KT1T2/(T1+T2)＞1/k時(shí),G(jω)與-1/N曲線相交,產(chǎn)生極限環(huán)。當(dāng)擾動使得幅值X變大時(shí),-1/N上該點(diǎn)A移到交點(diǎn)左側(cè)B點(diǎn),使得G(jω)曲線不包圍B點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定,于是其幅值逐漸變小,又回到交點(diǎn)A。當(dāng)擾動使得幅值X變小時(shí),A點(diǎn)移到交點(diǎn)右側(cè)C點(diǎn),使得G(jω)曲線包圍C點(diǎn),系統(tǒng)不穩(wěn)定,于是其幅值逐漸變大,同樣回到交點(diǎn)A。因此,該極限環(huán)為穩(wěn)定極限環(huán),其極限環(huán)的頻率等于A點(diǎn)的頻率 ,其極限環(huán)的幅值對應(yīng)-1/N

的A點(diǎn)的幅值。

無論是穩(wěn)定極限環(huán),還是不穩(wěn)定極限環(huán),都是系統(tǒng)所不希望的。對于上述系統(tǒng),只要使線性部分放大倍數(shù)K小到使KT1T2/(T1+T2)＜1/k,則系統(tǒng)的G(jω)與-1/N沒有交點(diǎn),就不會產(chǎn)生極限環(huán)?！纠?-9】

已知非線性系統(tǒng)的G(jω)曲線與-1/N曲線如圖8-25所示,試分析其穩(wěn)定性。圖8-25穩(wěn)定極限環(huán)和不穩(wěn)定極限環(huán)

解如果系統(tǒng)工作在A點(diǎn),當(dāng)遇到擾動使工作點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)附近,由于G(jω)曲線沒有包圍該點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定,其幅值逐漸變小,越來越遠(yuǎn)離A點(diǎn);當(dāng)擾動使工作點(diǎn)離開A點(diǎn)到C點(diǎn)附近,由于G(jω)曲線包圍了該點(diǎn),系統(tǒng)不穩(wěn)定,其幅值逐漸變大,同樣遠(yuǎn)離A點(diǎn),向B點(diǎn)的方向運(yùn)動,因此A點(diǎn)是不穩(wěn)定的極限環(huán)。如果系統(tǒng)工作在B點(diǎn),當(dāng)遇到擾動使工作點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)附近,由于G(jω)曲線沒有包圍該點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定,其幅值變小,工作點(diǎn)又回到了B點(diǎn);當(dāng)擾動使工作點(diǎn)運(yùn)動到F點(diǎn)附近,由于G(jω)曲線包圍了該點(diǎn),系統(tǒng)不穩(wěn)定,其幅值變大,同樣回到B點(diǎn),因此B點(diǎn)是穩(wěn)定的極限環(huán)。從以上例子可以歸納出用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟:(1)將非線性系統(tǒng)化成如圖8-21所示的典型結(jié)構(gòu)圖;(2)由定義求出非線性部分的描述函數(shù)N;(3)在復(fù)平面作出G(jω)和-1/N的軌跡;(4)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定,是否存在極限環(huán);(5)如果系統(tǒng)存在極限環(huán),進(jìn)一步分析極限環(huán)的穩(wěn)定性,確定它的頻率