《自動(dòng)控制原理》課件第12章

第十二章控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例分析12.1火炮穩(wěn)定器的設(shè)計(jì)

12.2船舶自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)

12.3磁盤讀寫頭的控制

12.4倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)小結(jié)12.1火炮穩(wěn)定器的設(shè)計(jì)

調(diào)節(jié)系統(tǒng)的任務(wù)是將被控量保持在設(shè)定值上,因此調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中主要考慮的是抑制噪聲。坦克在行駛時(shí),車身不停地振動(dòng),使火炮瞄準(zhǔn)困難,并且不能保證設(shè)計(jì)精度。為了提高坦克行進(jìn)時(shí)射擊的效果和精度,最根本的辦法是采用穩(wěn)定裝置。火炮穩(wěn)定器可以使坦克火炮在垂直平面內(nèi)保持一定的仰角φ不變(如圖12-1所示)。

圖

12-1火炮起落部分示意圖

穩(wěn)定器采用陀螺儀作為傳感器。陀螺儀組固定在火炮的起落部分上。該陀螺儀組包括一個(gè)角度陀螺儀和一個(gè)速率陀螺儀。角度陀螺儀用來在垂直平面內(nèi)建立一個(gè)穩(wěn)定的指向r(即角度的設(shè)定值)。當(dāng)火炮的仰角φ變化時(shí),角度陀螺儀的外框隨之轉(zhuǎn)動(dòng),因而形成失調(diào)角(即角度偏差)e,即e=r-φ

失調(diào)角的信號由陀螺傳感器送出。速率陀螺儀是一個(gè)單自由度陀螺儀,其輸出與炮身運(yùn)動(dòng)的角速度成比例。角度陀螺和速率陀螺的信號相加,通過執(zhí)行機(jī)構(gòu)(液壓油缸或電機(jī))轉(zhuǎn)動(dòng)火炮,從而達(dá)到穩(wěn)定的目的。

圖12-2是火炮穩(wěn)定系統(tǒng)的框圖,其中Kp和Kd分別表示由角度和角速度變化所給出的穩(wěn)定力矩。火炮的動(dòng)力學(xué)特性用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J來表示,其反映了作用于火炮起落部分的力矩和角速度的關(guān)系。顯然這個(gè)系統(tǒng)采用的是PD控制規(guī)律。從圖12-2可以看到,若無速率反饋,則這個(gè)二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中將缺少中間的阻尼項(xiàng)。也就是說,這個(gè)控制規(guī)律中的微分項(xiàng)是用來給系統(tǒng)提供阻尼的。

圖

12-2火炮穩(wěn)定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中Md為外力矩。由于火炮的耳軸與軸承之間存在摩擦,當(dāng)車體振動(dòng)時(shí),此摩擦力矩便傳給火炮,使其偏離給定位置。另外,火炮起落部分的重心也不會(huì)正好在耳軸軸線上,因此車體的各種振動(dòng)會(huì)造成慣性力矩。所有這些力矩構(gòu)成了作用于火炮的外力矩。因?yàn)檫@個(gè)外力矩是由車體振動(dòng)引起的,故接近于正弦變化規(guī)律,即式中ωk是坦克車體縱向角振動(dòng)的頻率。

所以坦克在行駛時(shí)相當(dāng)于對火炮施加了一強(qiáng)迫振蕩力矩,控制系統(tǒng)的作用就是要抑制Md對φ的影響。根據(jù)圖12-2可以寫出從Md到φ的傳遞函數(shù)為

(12.1)

上式表明,這個(gè)火炮穩(wěn)定系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)二階系統(tǒng),并且不希望系統(tǒng)的頻率特性出現(xiàn)諧振峰值,所以此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)宜取為ζ=1。

規(guī)定了阻尼系數(shù)ζ=1,實(shí)際上就是對微分項(xiàng)Kd作了限制。這樣,系統(tǒng)中就只剩下一個(gè)系數(shù)Kp了。這個(gè)前向控制環(huán)節(jié)的增益也稱伺服剛度。根據(jù)外力矩Md和允許的精度φmax,通過簡單的運(yùn)算就可以確定Kp。

設(shè)火炮起落部分對耳軸軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=350kg·m·s2,車體振動(dòng)幅度θmax=6°,振動(dòng)周期為T＝1.5s,即ωk=4.2rad/s。設(shè)在這個(gè)振動(dòng)參數(shù)下,車體傳給起落部分的力矩和慣性力矩所合成的外力矩的幅值為Mmax=38kg·m,允許的炮身強(qiáng)迫振蕩的幅值為φmax=0.001rad。根據(jù)ζ=1的要求和上述具體參數(shù)值,由式(12.1)得

所以,Kp的值大致為

Kp=32000kg·m/rad

從上面的分析可以看到,本例采用反饋控制是要在車體運(yùn)動(dòng)與火炮之間起到隔離作用。即這里的火炮穩(wěn)定器相當(dāng)于一個(gè)隔離器。本例中的隔離度大約為θmax/φmax=100，或者說隔離度等于40dB。上面結(jié)合火炮穩(wěn)定器主要是要說明這類穩(wěn)定系統(tǒng)的共同設(shè)計(jì)特點(diǎn)。至于說到火炮穩(wěn)定器,當(dāng)然還有它本身的特殊問題。注意到圖12-2的系統(tǒng)是一個(gè)Ⅱ型系統(tǒng),傳動(dòng)部分的間隙不可避免地會(huì)在系統(tǒng)中造成自振蕩。

因此設(shè)計(jì)和調(diào)試中應(yīng)控制其自身振蕩的幅值。

12.2船舶自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)

船舶自動(dòng)駕駛儀主要有兩重任務(wù):航向保持和變向航行。航向保持是指在風(fēng)、浪和洋流等環(huán)境擾動(dòng)下將船保持在給定的航向。變向是指從一個(gè)航向向另一個(gè)航向過渡時(shí)的航向控制。前者是一個(gè)調(diào)節(jié)問題,后者是一個(gè)跟蹤問題。本例主要說明航向保持時(shí)自動(dòng)駕駛儀的一些設(shè)計(jì)考慮。在所討論的問題中,船舶的數(shù)學(xué)模型可視為

式中ψ為航向角,δ為舵偏角。對應(yīng)的船的傳遞函數(shù)為

(12.2)若采用PD控制

(12.3)則可得系統(tǒng)的特征方程式(1+D(s)G(s)=0)為

(12.4)系統(tǒng)的固有頻率為

(12.5)

式(12.5)表明,控制規(guī)律中的比例項(xiàng)Kp決定了系統(tǒng)的固有頻率,即響應(yīng)速度。而系統(tǒng)的阻尼特性,即式(12.4)中的第二項(xiàng),則決定于微分項(xiàng)Kd。微分項(xiàng)起到了增加阻尼的作用,提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。船舶在航行中還受到風(fēng)浪等環(huán)境的影響。這些擾動(dòng)都是隨機(jī)的,其頻譜的頻率段比較高,因此在分析中是作為高頻噪聲來處理的。但是這些隨機(jī)擾動(dòng)的平均值并不一定都等于零。例如風(fēng)對于航向的影響,除了隨機(jī)分量以外,往往還有一個(gè)平均力矩作用在船體上。因此自動(dòng)駕駛儀中還應(yīng)該有一項(xiàng)積分項(xiàng)來補(bǔ)償這緩慢變化的風(fēng)力矩的平均值。

由此可見,控制規(guī)律中PID三項(xiàng)都是需要的。即PID控制器可以滿足航向保持的控制要求。明確了控制規(guī)律的組成以后,接下來就是確定PID的各項(xiàng)參數(shù)。參數(shù)設(shè)計(jì)常包含某種優(yōu)化的概念。對于船舶航行來說,不同的航行條件,有不同的要求。對于在大海上航行的商船來說,要求節(jié)省燃料。這對自動(dòng)駕駛儀來說,就是要盡量減小由于操舵而引起的額外阻力。當(dāng)然航向誤差也要小,因?yàn)橛辛撕较蛘`差,會(huì)加大船實(shí)際的航行距離。這兩項(xiàng)要求可歸納為下列的性能指標(biāo):(12.6)式中ε是航向誤差,δ是舵偏角,λ是加權(quán)系數(shù),并且0.1＜λ＜1.0,大船的λ可以取得小些,小船可以取得大些。

注意到式(12.6)所表示的實(shí)際上是一種動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。由對PID三種控制作用的分析可知,影響這一性能指標(biāo)的主要是Kp和Kd,因?yàn)榉e分項(xiàng)主要是用來補(bǔ)償緩慢變化的擾動(dòng)力矩的。所以應(yīng)該是根據(jù)性能指標(biāo)首先確定Kp和Kd,然后根據(jù)系統(tǒng)的帶寬或固有頻率ωn,使Ki<<ωn來確定積分項(xiàng)Ki/s的系數(shù)。因?yàn)樾阅苤饕怯蒔D決定的,根據(jù)式(12.2)和式(12.3),利用線性最優(yōu)控制理論,便可求得使式(12.6)為最小的最優(yōu)控制器參數(shù)為

(12.7)(12.8)

作為數(shù)字例子,設(shè)船的時(shí)間常數(shù)τ=16s,K=0.07s-1。取加權(quán)系數(shù)λ=1,代入上式得最優(yōu)控制器的增益為Kp=1,Kd=11.43在這組參數(shù)下,系統(tǒng)的固有頻率為ωn=0.066rad/s,或0.01Hz。顯然,在這樣的ωn下,駕駛儀功放級的時(shí)間常數(shù)以及舵機(jī)的時(shí)間常數(shù)可忽略不計(jì)。這一特點(diǎn)對調(diào)節(jié)系統(tǒng)來說具有普遍性。大多數(shù)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中執(zhí)行機(jī)構(gòu)和功放級的動(dòng)特性以及測量元件的動(dòng)特性在系統(tǒng)的工作頻帶內(nèi)均可忽略不計(jì)。即在系統(tǒng)的工作頻帶內(nèi),PID就已經(jīng)概括了包括執(zhí)行機(jī)構(gòu)在內(nèi)的整個(gè)控制器的特性。

12.3磁盤讀寫頭的控制圖

12-3磁盤讀寫頭工作原理圖

運(yùn)用Newton定律,可以得出磁盤讀寫頭的動(dòng)力學(xué)模型為

其中,J是讀寫頭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,c是軸承的粘滯阻尼系數(shù),K

是彈簧的剛度系數(shù),Ki是電機(jī)力矩常數(shù),θ表示讀寫頭的角位移,i是輸入電流。上式取拉氏變換可得系統(tǒng)從i到θ的傳遞函數(shù)為

給定系統(tǒng)的具體參數(shù)如下:J=0.01kgm2,c=0.004Nm/(rad/s) K=10Nm/rad,Ki=0.05Nm/rad使用MATLAB可以馬上建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型,相應(yīng)的程序和結(jié)果如下:J=.01;C=0.004;K=10;Ki=.05;num=Ki;den=［JCK］;H=tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果為

Transferfunction:0.05------------------------------------0.01s^2+0.004s+10

令采樣周期T＝0.005s,并且保持器采用零階保持器,則可以得到系統(tǒng)的離散化模型,程序如下：

Ts=0.005;%samplingperiod=0.005secondHd=c2d(H,Ts,′zoh′)Transferfunction:6.233e-05z+6.229e-05-------------------------------------z^2-1.973z+0.998圖

12-4磁盤讀寫頭離散化模型的階躍響應(yīng)

為了提高系統(tǒng)的阻尼,需要設(shè)計(jì)一個(gè)補(bǔ)償器。用下面語句繪制離散系統(tǒng)的根軌跡:rlocus(Hd);其結(jié)果如圖12-5所示。由圖可見，未加補(bǔ)償器的系統(tǒng)根軌跡將很快離開單位圓,趨向無窮遠(yuǎn)處。所以應(yīng)該引入超前補(bǔ)償器,或含有零點(diǎn)的補(bǔ)償器。嘗試采用如下的超前補(bǔ)償器：其中,a=-0.85,b=0。因此,相應(yīng)的開環(huán)系統(tǒng)模型為D(z)Hd(z),程序如下：

D=zpk(0.85,0,1,Ts);oloop=Hd*D則可以繪制引入補(bǔ)償器以后系統(tǒng)的根軌跡圖如圖12-6所示,對應(yīng)的MATLAB語句為

rlocus(oloop);圖12-5未加補(bǔ)償器時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖（離散情況）圖

12-6引入補(bǔ)償器后系統(tǒng)的根軌跡圖(離散情況)

在MATLAB中可以從根軌跡圖上直接讀出閉環(huán)極點(diǎn)處于某一位置時(shí),系統(tǒng)的阻尼比和相應(yīng)的增益k。例如取閉環(huán)極點(diǎn)為0.584±0.229j,則相應(yīng)的阻尼比和開環(huán)增益為

ζ=0.781,k=4090并且可以用下面的MATLAB語句得到閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(見圖12-8):k=4.11e+03;cloop=feedback(oloop,k);step(cloop)圖

12-7磁盤讀寫頭閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖

12-8磁盤讀寫頭閉環(huán)控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

12.4倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

圖

12-9倒立擺控制系統(tǒng)

倒立擺系統(tǒng)希望盡可能把擺保持在垂直的位置上,為此,還將對小車的位置進(jìn)行控制,例如使小車作步進(jìn)式的運(yùn)動(dòng)。為了控制小車的位置,需要建立I型伺服系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)安裝在小車上,它沒有積分器。因此,把位置信號x(它表示小車的位置)反饋到輸入端,并且把積分器插入到前向通道中,如圖12-10所示。假設(shè)倒立擺的角度θ和角速度θ都很小,則有sinθ≈θ,cosθ≈1和θθ≈0。另外假設(shè)M、m和l的數(shù)值給定為

..M=2kg,m=0.1kg,l=0.5m倒立擺控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(12.9)(12.10)將上述參數(shù)值代入方程(12.9)和(12.10)得

定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

把小車的位置x看作系統(tǒng)的輸出,并考慮圖12-10可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

(12.11)(12.12)(12.13)(12.14)其中，

圖

12-10倒立擺控制系統(tǒng)(控制對象無積分器的I型伺服系統(tǒng))

為了分析方便,可以將式(12.11)～式(12.14)改寫成如下狀態(tài)誤差方程的形式:(12.15)其中,而控制信號ue為

式中,

為了使設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)具有合理的響應(yīng)速度和阻尼(例如希望小車在階躍響應(yīng)中的調(diào)整時(shí)間約為4～5s,最大超調(diào)量為15％～16％),選擇希望的閉環(huán)極點(diǎn)為s=λi(i=1,2,3,4,5)，其中，

可以驗(yàn)證,式(12.15)表示的系統(tǒng)是完全可控的,因此可以任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。并且利用下面的MATLAB程序可以求出狀態(tài)反饋增益矩陣K:A=［0100;20.601000;0001;-0.4905000］;B=［0;-1;0;0.5］;C=［0010］;Ahat=［Azeros(4,1);-C0］;Bhat=［B;0］;J=［-1+j*sqrt(3)-1-j*sqrt(3)-5-5-5］;Khat=acker(Ahat,Bhat,J)Khat=-157.6336-35.3733-56.0652-36.746650.9684^所以有

和

確定了反饋增益矩陣K和積分增益常數(shù)kI以后,小車位置的階躍響應(yīng)就可以通過求解下列方程得到:(12.16)系統(tǒng)的輸出為y=x3,即

(12.17)

根據(jù)方程(12.16)和方程(12.17)，可以在前面程序的基礎(chǔ)上,通過以下MATLAB程序求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng):K=Khat(1:4);KI=-Khat(5);AA=［A-B*KB*KI;-C0］;BB=［0;0;0;0;1］;CC=［C0］;DD=［0］;t=0:0.02:6;［y,x,t］=step(AA,BB,CC,DD