吉林省長春市雙陽區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷

吉林省長春市雙陽區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．若二次根式x?3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≥﹣3 C．x≥3 D．x≤32．在平面直角坐標系中，點A（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）3．如圖，平地上A、B兩點被池塘隔開，測量員在岸邊選一點C，并分別找到AC和BC的中點D、E，測量得DE=16米，則A、B兩點間的距離為（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米4．如圖，在一個直角三角板ABC中，∠A=60°，則cosA的值為（）A．12 B．1 C．32 5．將拋物線y＝3（x﹣1）2+1向右平移2個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線的表達式為（）A．y＝3（x﹣3）2﹣1 B．y＝3（x+1）2+3C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x﹣3）2+36．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．已知AB=2，BC=4，EF=3，則DE的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.57．如圖，某學習小組為測量學校A與河對岸涼亭B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠C=90°，∠A=α，AC=4km.據(jù)此，可求得學校與涼亭之間的距離AB等于（）A．4sinαkm B．4sinαkm C．8．如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高OD為13的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線y=4A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）9．計算：2×8=10．若3n＝4m（mn≠0），則nm＝11．拋物線y＝x2﹣2x+4的頂點坐標是．12．若關于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值可以是.（寫出一個即可）13．南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長及闊各幾步．”譯文：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的長和寬共60步，問它的長和寬各是多少步？設這塊矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可列方程為．14．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點O是位似中心，OB：BE=1，若S△ABC＝2，則S△DOF＝．三、解答題（共78分）15．計算2716．閱讀材料，并回答問題．小明在學習一元二次方程時，解方程2x2﹣8x+5＝0的過程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①x2?4x=?x2?4x+4=?(x?2)x?2=62x=2+62問題：（1）上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯誤（填序號）；（2）發(fā)生錯誤的原因是：；（3）寫出這個方程的解：．17．杭州第19屆亞運會吉祥物“江南憶”，具體指A．琮琮、B．宸宸、C．蓮蓮．如圖是三張吉祥物的不透明卡片（卡片除內(nèi)容外，其余均相同）．將這三張卡片背面朝上洗勻放好，小李同學從這三張卡片中隨機抽取一張后，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用樹狀圖法或列表法，求兩次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的概率．18．拋物線y＝ax2+bx﹣4上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣408…根據(jù)上表填空或求值：（1）拋物線與y軸的交點坐標是；（2）求a和b的值；（3）當x＝﹣3時，則y的值為．19．某數(shù)學實踐小組準備測量路燈桿的高度．先從水平地面上一點C處，測得C到路燈桿AB底部B的距離為10米，在C處放置高為1米的測角儀CD，測得路燈桿頂部A的仰角為60°，求路燈桿AB的高度（結(jié)果保留根號）．20．如圖①、圖②、圖③均是6×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，且每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C、D、F、G、K、M、H、N均在格點上．在給定的網(wǎng)格中畫圖或填空，要求只用無刻度的直尺，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．（1）圖①中，DEAE的值為（2）圖②中，在FG上找一點P，使FP＝3．（3）圖③中，在KM上找一點Q，連接HQ、NQ，使△HKQ∽△NMQ．21．某課外活動小組準備圍建一個矩形實踐基地，其中一邊靠墻，另外三邊用長為36米的籬笆圍成．已知墻長為19米（如圖所示），設這個基地垂直于墻的一邊長為x米．（1）當矩形實踐基地的面積為160平方米時，求垂直于墻的邊長x．（2）當這個基地的面積最大時，求垂直于墻的邊長x，并求這個面積最大值．22．【教材呈現(xiàn)】華師版九年級上冊63頁例1．

如圖，在△ABC中，點D是邊AB的三等分點，DE∥BC，DE=5，求BC的長．【應用拓展】（1）如圖①，在△ABC中，點D是邊AB的中點，點F為BC延長線上一點，連接DF交AC于點E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，則AC的長為．

（2）如圖②，在△ABC中，點D為邊BA延長線上一點，點E為BC上一點，連接DE交AC于點F，若點A為DB的中點，CE：EB=1：2，△DBE的面積為4，則△CFE（陰影部分）面積為．

23．如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC=8，sinB＝45（1）AB的長為．（2）求PF長度（用含x的代數(shù)式表示）．（3）當點F落在直線CD上時，求x的值．（4）當直線PF與△ABC的邊BC或AC垂直時，直接寫出x的值．24．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx﹣3的對稱軸為直線x＝1．（1）求這條拋物線的解析式．（2）當﹣1≤x≤4時，求y的最大值和最小值．（3）點P為這條拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m（m＞0），以點P為中心作正方形ABCD，AB=2m，且AB⊥x軸．

①當拋物線落在正方形內(nèi)部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，求m的取值范圍．②正方形ABCD的邊與拋物線只有兩個交點，且交點的縱坐標之差為12

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次根式x?3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x?3≥0，解得x≥3．故答案為：C．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：點A（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是（-2，3）．故答案為：B．【分析】關于y軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，據(jù)此求解．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵點M、N是分別是AC和BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，MN=16，

∴MN=12AB=16，

故答案為：B．

【分析】三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。據(jù)此求解。4．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠A=60°，cos60°=∴cosA=故答案為：A．

【分析】利用60°的余弦值是125．【答案】D【解析】【解答】解：拋物線y=3(x?1)2+1故答案為：D．

【分析】拋物線平移的規(guī)律：上加下減，左加右減，據(jù)此求解．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∵AB∵AB=2，BC=4，EF=3，∴2解得：DE=1.故答案為：B．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．7．【答案】C【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=α，∠C=90°，AC=4km，∴cos解得：AB=4即學校與涼亭之間的距離AB等于4cos故答案為：C．

【分析】利用余弦三角函數(shù)的定義式可得cosα=8．【答案】B【解析】【解答】解：∵OD=13，∴點D的坐標為D(當y=13時，47解得x=±7∴A(?72,∴AC=7故答案為：B．

【分析】把y=13代入二次函數(shù)的解析式，建立方程求出點A，C的坐標，即可求出杯口的口徑AC長．9．【答案】4【解析】【解答】解：原式=2×8=16=4．故答案為：4【分析】原式利用二次根式的乘法法則計算，將結(jié)果化為最簡二次根式即可．10．【答案】4【解析】【解答】解：∵3n=4m（mn≠0），∴nm故答案為：43

【分析】利用內(nèi)項之積等于外項之積求解．11．【答案】（1，3）【解析】【解答】解：∵拋物線y=x∴該拋物線的頂點坐標為(1故答案為：(1

【分析】通過配方，把拋物線解析式化為頂點式，即可寫出該拋物線的頂點坐標．12．【答案】0【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴Δ=9?4c>0，解得：c<9∴c的值可以是0．故答案為：0（答案不唯一）．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac有如下關系：①當Δ>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當13．【答案】x（60﹣x）＝864【解析】【解答】解：若設這塊矩形田地的長為x步，則寬為(60?x)步，依題意，得x(60?x)=864．故答案為：x(60?x)=864．

【分析】基本關系：矩形的面積=長×寬，由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60-x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關于x的一元二次方程．14．【答案】8【解析】【解答】解：∵OB:∴OB:∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△BOC∽△EOF，∴BC∴S△ABCS解得：S△DEF故答案為：8．【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，證明△BOC∽△EOF，求出BCEF15．【答案】解：27＝3＝53【解析】【分析】先化簡，再合并同類二次根式．16．【答案】（1）⑤（2）開方后正負號丟失（3）x＝2±6【解析】【解答】解：（1）∵(x?2)∴x?2=±∴上述過程中，從⑤步開始出現(xiàn)了錯誤，故答案為：⑤；（2）由（1）知，發(fā)生錯誤的原因是：開平方后正負號丟失，故答案為：開平方后正負號丟失；（3）∵(x?2)∴x?2=±∴x故答案為：x1【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)第⑤步直接開平方法，得x?2=±6（2）由（1）得發(fā)生錯誤的原因是：開方后正負號丟失，（3）配方法解一元二次方程的一般步驟：移項，化二次項系數(shù)為1，配方，寫成標準形式，用直接開平方法求解．17．【答案】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸有2種結(jié)果，所以兩次抽取的卡片上都是蓮蓮的概率為26【解析】【分析】先畫樹狀圖，確定共有6種等可能的結(jié)果，兩次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的結(jié)果有2種，再利用概率公式求解即可．18．【答案】（1）（0，﹣4）（2）解：∵當x=?2時，y=0，當x=1時，y=0，

∴4a?2b?4=0a+b?4=0，

解得a=2b=2，

（3）8【解析】【解答】解：（1）觀察表格可得，當x=0時，y=-4，∴拋物線與y軸的交點坐標是(0，?4)；故答案為：(0，?4)；（3）由（2）得y=2x∴當x=?3時，則y的值為2×9?6?4=8．故答案為：8．【分析】（1）拋物線與y軸的交點的橫坐標是0，在表中找出x值為0對應的函數(shù)值即可；（2）在表格中確定兩組值，利用待定系數(shù)法建立方程組求解即可；（3）把x=?3代人所求的解析式，計算求出y的值．19．【答案】解：由題意，知四邊形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝10米，EB＝CD＝1米，∠AED=90°，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝60°，tan∠ADE＝AEDE∴AE＝DE?tan60°＝103（米），∴AB＝AE+EB＝103答：路燈桿AB的高度為（103+1）米【解析】【分析】在Rt△ADE中，根據(jù)tan∠ADE＝AEDE求出AE，再利用AB=AE+EB20．【答案】（1）3（2）解：如圖②，取格點L、J，連接LF、JG，

由勾股定理得，F(xiàn)G=32+42=5，

∵LF∥JG，LF=3，JG=2，

∴△LFP∽△JGP，

∴FPPG=FL（3）解：如圖③，取格點Q、連接QN，QH，

∵KH=KQ=3，MN=MQ=2，

∴KHMN=32=KQMQ，

∵∠HKQ=∠NMQ=90°，

∴△HKQ∽△NMQ【解析】【解答】解：（1）如圖①，∵DC∥AB，AB=2，CD=3，∴△DEC∽△AEB，∴DEAE故答案為：32【分析】（1）利用△DEC∽△AEB可得DEAE（2）取格點L、J，連接LF、JG，由勾股定理得FG=5，利用△LFP∽△JGP得FPPG=FLJG=（3）取格點Q、連接QN，QH，根據(jù)KHMN=32=KQMQ，∠HKQ=∠NMQ=90°21．【答案】（1）解：∵垂直于墻的一邊長為x米，三邊用長為36米的籬笆圍成，∴平行于墻的一邊長為（36﹣2x）米，根據(jù)題意，得x（36﹣2x）＝160，解得x1＝8，x2＝10，當x1＝8時，36﹣2x＝20＞19，舍去；當x2＝10時，36﹣2x＝16，符合題意，答：垂直于墻的邊長為10米（2）解：設矩形實踐基地的面積為y平方米，根據(jù)題意，得y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∵﹣2＜0，∴當x＝9時，y取最大值，最大值為162米2．答：垂直于墻的一邊長為9米時，這個矩形實踐基地的面積最大，最大面積為162米2．【解析】【分析】（1）利用矩形三邊的長為36米，用x表示出矩形另一邊的長，再利用“矩形實踐基地的面積為160平方米”列方程求解即可；（2）列出矩形實踐基地的面積與垂直于墻的邊長x間的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的最值求出這個基地的面積最大時和垂直于墻的邊長x．22．【答案】（1）16（2）1【解析】【解答】解：[教材呈現(xiàn)]∵點D是邊AB的三等分點，∴AD∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABE，∴AD∵DE=5，∴BC=15；[應用拓展]（1）∵DE:∴EF∵DG∥AC，∴△FEC∽△FDB，∴EFDF=解得DG=16；故答案為：16．（2）過點A作AG∥DE，∵點A為DB的中點，∴AB∵CE:∴BG=CE=EG，∵△DBE的面積為4，∴△ABG的面積為1，∴△ACG的面積2，∴S△CFES∴△CFE的面積為12故答案為：12【分析】[教材呈現(xiàn)]利用DE∥BC可得△ADE∽△ABE，再利用相似比即可求解．[應用拓展]（1）由DE:EF=3:1得出EFDF（2）過點A作AG∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例得出ABBD=BGBE=12，結(jié)合題意可證BG=CE=EG23．【答案】（1）10（2）解：∵點D是斜邊AB的中點，AB＝10，∴CD＝12∵DP長為x，∴CP＝5﹣x，∵作點C關于直線EP對稱點F，∴PF＝PC＝5﹣x；（3）解：如圖，當點F落在直線CD上時，

∵點E是邊AC的中點，

∴CE=12AC=4，

∵D為AB的中點，

∴CD=AD=12AB，

∴∠A=∠ECP，

∴cos∠A=cos∠ECP=ACAB=45，

由軸對稱的性質(zhì)可得∠CPE=∠FPE，

∵∠CPE+∠FPE=180°，

∴∠CPE=∠FPE=90°，

∴（4）解：x＝1或3【解析】【解答】解：(1)∵在△ABC中，∠BCA=90°，AC=8，sinB=∴AB=AC故答案為：10；(4)當PF⊥AC時，延長FP交CA于點G，在Rt△ABC中，BC=A∴sinA=由軸對稱的性質(zhì)可得∠F=∠PCE=∠A，PC=PF，EC=EF=4，∴cos∠F=∴PGPC∴PG=∴FG=PF+PG=8∵在Rt△EFG中，cos∠F=∴85解得x=3；當PF⊥BC時，延長FP交BC于點M，則MF∥AC，∴∠CEN=∠F=∠ACD=∠A=∠MPC，∴sin∠MPC=∴Rt△MPC中，sin∴MC=∵在Rt△CEN中，CE=4，∴EN=5，∴CN=E∴MN=CM+CN=6?35在Rt△MNF中，sin∠F=∴6?3解得x=1．綜上所述，x的值為1或3．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用正弦的定義式求解即可；（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD=5，進而得到CP=5?x，再由軸對稱的性質(zhì)可得PF=CP=5?x；（3）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=12AB，由等邊對等角得∠A=∠ECP，于是有cos∠A=cos∠ECP=ACAB=（4）分兩種情況：當PF⊥AC時，延長FP交CA于點G，利用勾股定理求得BC=6，則sinA=BCAB=35，利用軸對稱的性質(zhì)可得∠F=∠PCE=∠A，PC=PF，EC=EF=4，則cos∠F=cos∠PCG=cos∠A=45，sin∠PCG=s