浙江省湖州市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省湖州市2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，即，由，解得，即，所以.故選：A.2.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，則.故選：D.3.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由不等式，可得，構(gòu)成集合，又由，解得，構(gòu)成集合，則集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.圖中實線是某景點收支差額關于游客量的圖像，由于目前虧損，景點決定降低成本，同時提高門票價格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，當時，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯誤；對于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價不變，不合題意，B錯誤；對于C，當時，值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯誤；對于D，當時，虛線值變大，說明成本見減小，又因為虛線的傾斜角變大，說明提高了門票的價格，符合題意，D正確.故選：D.5.已知函數(shù)，則使成立的實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，得，解得：，所以不等式的解集為.故選：C.6.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，可得，且，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.7.我們知道，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是．已知某音是由3個不同的純音合成，其函數(shù)為，則（）A. B.的最大值為C.的最小正周期為 D.在上是增函數(shù)【答案】D【解析】A.，故A錯誤；B.，當，時，函數(shù)取得最大值1，，當，時，函數(shù)取得最大值，，當，時，函數(shù)取得最大值，由，但三個函數(shù)不能同時取得最大值，所以函數(shù)的最大值小于，故B錯誤；C.的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C錯誤；D.，，，所以函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)（）的零點為，函數(shù)（）的零點為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上只有一個零點；而函數(shù)，且函數(shù)的零點為，所以，所以，故B錯誤；對于A，因為函數(shù)的零點為，所以，所以，所以，故A正確；對于，故C正確；對于，故D正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.給出下列四個選項中，其中正確的選項有（）A.若角終邊過點且，則B.設角為銳角（單位為弧度），則C.命題“，使得”的否定是：“，均有”D.若，，則“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對于選項A：由題意可得：，解得，故A正確；對于選項B：設角的終邊與單位圓的交點為，單位圓與x軸正方向的交線為A，作軸，角為銳角，可知：等于的長，，則，故B正確；對于選項C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯誤；對于選項D：由可得，故充分性成立，若成立，則不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD.10.若，，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.【答案】BD【解析】對于A：當，時，滿足且，但，故A錯誤；對于B：因為且，所以，故，故B正確；對于C：因為，所以，即，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確．故選：BD．11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間，點的高度隨時間（單位秒）變化時滿足函數(shù)模型，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的初相為 B.1秒時，函數(shù)的相位為0C.4秒后，點第一次到達最高點 D.7秒和15秒時，點高度相同【答案】BC【解析】由題意知，函數(shù)模型中，，，，所以，又，得，顯然，所以，即函數(shù)的初相為，故A錯誤；因為，1秒時，，所以函數(shù)的相位為，故B正確；4秒時，，點第一次到達最高點，故C正確；，，所以7秒和15秒時，點高度不相同，故D錯誤．故選：BC．12.已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.【答案】ACD【解析】因為，令，得，因為，所以，故B錯誤；令，則，即，所以，故A正確；令，則，所以，令，則，所以，則，所以函數(shù)周期為，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是________.【答案】【解析】由于同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的反函數(shù)為.14.已知扇形的圓心角是，半徑是3，則該扇形的面積是______.【答案】【解析】由題意，在扇形中，弧長，扇形面積.15.設函數(shù)，，則函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】，，令，設，設，，因為，則，，，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又也為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的值域為.16.已知，其中，且，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，則的范圍為______．【答案】【解析】因為函數(shù)的周期為，再由可知，函數(shù)的一條對稱軸是，所以，，得，，又，所以，所以，當，，由函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，所以，解得：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）求和；（2）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，則.（2）由集合，且，可得，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍．18.在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊過點．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意得，，則；另解：由角終邊過點，得，，則.（2）由題意得，，，，，.19.隨著電動汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速（不含）．經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示．01030700132533759275為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．（1）當時，請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；（2）在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為．若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：）最??？并計算出該最小值．解：（1）對于，當時，它無意義，所以不符合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，所以不符合題意，故選．根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有，解得，當時，．（2）設車速為，所用時間為，所耗電量，要使得續(xù)航里程最長，則耗電量達到最小，即．所以當測試員控制的車速為，該電動汽車的電池所需的最小容量為．20.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）解關于的不等式．解：（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，所以，故在上是遞減函數(shù)．證明：任取，，且，，，，，即，故是定義在上的遞減函數(shù).（2），，是上的減函數(shù)，，，.21.2023年12月1日，“民族魂·中國夢——陽光下成長”2023年浙江省中小學生藝術(shù)節(jié)閉幕式暨頒獎晚會在湖州大劇院舉行．為迎接藝術(shù)節(jié)閉幕式的到來，承辦方計劃將場地內(nèi)一處扇形荒地進行改造．已知該扇形荒地的半徑為20米，圓心角，承辦方初步計劃將其中的（如下左圖，點位于弧上，，分別位于半徑，）區(qū)域改造為花卉區(qū)，扇形荒地內(nèi)其余區(qū)域改造為草坪區(qū)．（1）承辦方進一步計劃將，設計為觀光步道，其寬度忽略不計．若觀光步道造價為元/米，請你設計觀光步道的造價預算，確保觀光步道最長時仍有資金保障；（2）因某種原因，承辦方修改了最初的改造計劃，將花卉區(qū)設計為矩形（如下右圖，其中，位于半徑上，位于半徑上）．為美觀起見，承辦方最后決定將四邊形設計為正方形．求此時花卉區(qū)的面積．解：（1）設，，過點做的垂線交于，則，，，所以，，則，所以預算應該設定為元．（2）由題意得，，因為，可得，則，所以，所以.22.已知函數(shù)滿足，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若關于的方程有四個不同的