浙江省嘉興市2024屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省嘉興市2024屆高三上學(xué)期期末檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式，即，則，而，故，故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】，故.故選：D3.已知單位向量，的夾角為，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，，，所以.故選：B.4.已知直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閳A心為到直線的距離為：，所以=所以,即.故選：B5.衛(wèi)生紙是人們生活中的必需品，隨處可見(jiàn)．衛(wèi)生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛(wèi)生紙厚度為0.1mm．若未使用時(shí)直徑為90mm，使用一段時(shí)間后直徑為60mm，則這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙大約已經(jīng)使用了（）A.25.7m B.30.6m C.35.3m D.40.4m【答案】C【解析】未使用時(shí)，可認(rèn)為外層衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度為：，可認(rèn)為每層紙的長(zhǎng)度為等差數(shù)列，使用到現(xiàn)在，相當(dāng)于等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：，且.由等差數(shù)列的求和公式得：故選：C6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位后函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可得.故選：D7.設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時(shí)含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，，即，或，即，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C8.已知正實(shí)數(shù)滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因，由可得：，則．由化簡(jiǎn)得：，分別設(shè)函數(shù)，．由，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減,在上遞增，故.又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；在上遞增，故．由，則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．函數(shù)與的圖象如圖．令．由于，則，，排除C，D；由于，，則．令，其在R上單調(diào)遞增．由于，則，則有，即得．綜上，.故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)4，4，5，5，6，7，9的75%分位數(shù)為6B.若隨機(jī)變量滿足，則C.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則D.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】BCD【解析】A.樣本共7個(gè)數(shù)據(jù)，，所以第75%分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)據(jù)，為7，故A錯(cuò)誤；B.，故B正確；C.由條件可知，，，，故C正確；D.由條件可知，正態(tài)分布函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在單調(diào)遞減C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】AB【解析】，函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，函數(shù)的最小正周期是，∴，∴，，故A正確；由，解得，所以的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為，而，∴在上單調(diào)遞減，故B正確；當(dāng)時(shí)，有，則，所以，∴，故C錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.已知正方體的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得平面B.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得平面C.當(dāng)，滿足時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.當(dāng)，滿足時(shí)，三棱錐的體積的最小值為【答案】ACD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，取，則點(diǎn)P與A重合，得，∴，∴，∴,∵平面,平面,∴平面，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，取，則點(diǎn)P與B重合，得，∵，∴，，∴，，又∵,平面，∴平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由及，得，則，∴，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，∴點(diǎn)到平面的距離為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，為正三角形，，則，由，，，可得，則可設(shè)，則，則，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，∴點(diǎn)到平面的距離為，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，從而，∴三棱錐的體積的最小值為，故D正確.故選：ACD.12.已知點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線：的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，H為線段MN的中點(diǎn)，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，則（）A.若，則直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)F B.直線軸C.點(diǎn)H的軌跡方程為 D.【答案】ABD【解析】已知拋物線的方程，求經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線的方程由，可得或，不妨設(shè)，則，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，故所求切線方程為，化簡(jiǎn)得即又在拋物線上，，所以切線方程為(可驗(yàn)證對(duì),此方程也適用)所以設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線為，過(guò)點(diǎn)N的切線為，這兩條切線交于點(diǎn)，則，從而直線MN的方程為．若，則直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A正確．設(shè)過(guò)點(diǎn)M的切線為，過(guò)點(diǎn)N的切線為，聯(lián)立，解得，即，從而，即，由于點(diǎn)H為M，N中點(diǎn)，則，而軸，B正確．點(diǎn)，由于，，從而點(diǎn)H的軌跡方程為，C錯(cuò)誤．由于，，，則．又，則，同理可得，從而，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．【答案】15【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：15.14.已知，則______．【答案】【解析】由題意可得：，即.故答案為：.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在C上且滿足，，則C的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，由勾股定理得，即，解得，故，，故點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，故，即，所以，離心率.故答案為：16.已知圓錐的母線長(zhǎng)與底面圓的直徑均為．現(xiàn)有一個(gè)半徑為1的小球在內(nèi)可向各個(gè)方向自由移動(dòng)，則圓錐內(nèi)壁上（含底面）小球能接觸到的區(qū)域面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)與底面圓的直徑均為．小球的半徑為1在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開(kāi)后是一個(gè)扇環(huán)，可知扇環(huán)的半徑為，，扇環(huán)所在扇形的圓心角為，所以扇環(huán)其面積為；在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑為其面積為．綜上，圓錐內(nèi)壁上（含底面）小球能接觸到的區(qū)域面積為．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，．（1）若，求的面積；（2）若為鈍角三角形，求a的取值范圍．解：（1）由及正弦定理，則．當(dāng)時(shí)，，，由余弦定理，，從而，此時(shí)的面積．（2）由于，，由三角形三邊關(guān)系可得，即，解得．由于C為的最大內(nèi)角，故，即，解得．由于，則．18.已知是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，求m．解：（1）在中，令，得，把，代入解得：，所以；把代入，化簡(jiǎn)得：，即是公比為3的等比數(shù)列，所以．（2），，由可得：，即，解得或，因，則.19.等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，O，P分別是邊AB和AC上的點(diǎn)，且，如圖1．將沿OP折起到的位置，連結(jié)，．點(diǎn)Q滿足，且點(diǎn)Q到平面的距離為，如圖2．（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．證明：（1）證法1（坐標(biāo)法）：因?yàn)?，點(diǎn)Q到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為1，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，，所以，所以，所以，所以以O(shè)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，又平面的法向量可取，由于，直線平面，所以∥平面．證法2（幾何法）：取OB中點(diǎn)S和線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)T，連結(jié)ST，SP，TO，因?yàn)?，，所以∥，，所以∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．解：?）解法1（坐標(biāo)法）：平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，由，令，則，，即．設(shè)平面與平面夾角大小，則，即平面與平面夾角的余弦值．解法2（幾何法）：延長(zhǎng)BC，OP交于點(diǎn)R，連結(jié)，作，連結(jié)BD．因，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，記為，在直角中，，，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．20.某校舉行知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：選手每?jī)扇艘唤M，同一組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，比賽進(jìn)行到一方比另一方多2分為止，且多得2分的一方勝出．現(xiàn)甲乙兩人分在同一組，兩人都參與每一次搶題，每次搶到的概率都為．若甲、乙正確回答每道題的概率分別為和，每道題回答是否正確相互獨(dú)立．（1）求第1題答完甲得1分的概率；（2）求第2題答完比賽結(jié)束的概率；（3）假設(shè)準(zhǔn)備的問(wèn)題數(shù)足夠多，求甲最終勝出的概率．解：（1）記“答完1題甲得1分”為事件A，則，第1題答完甲得1分的概率為．（2）第2題答完比賽結(jié)束，甲得了2分，或乙得了2分．記“答完1題乙得1分為事件B，”則．記“第2題答完比賽結(jié)束”為事件C，．（3）記甲最終勝出的概率為．答完2題，有四種情況：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，與初始狀態(tài)（即比賽前）的情況相同，從而，即，解得，即甲最終勝出的概率為．21.已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，，點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），直線OP與直線交于點(diǎn)Q．若直線與的斜率分別為，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出此定值；否不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意知．點(diǎn)到直線的距離為，解得，從而雙曲線C的方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，則，從而，解得且，此時(shí)．直線OP的方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，．由于.即．22.已知函數(shù)．（1）若時(shí)，在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，．令，顯然不是該方程的解，故，令，，當(dāng)以及時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在遞減，在遞減，在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由